In der Mathematik sind K3-Flächen gewisse komplexe Flächen. Ein klassisches Beispiel ist die Lösungsmenge der Gleichung
im dreidimensionalen projektiven Raum. Die Bezeichnung „K3-Fläche“ geht auf André Weil zurück, „in honor of Kummer, Kähler, Kodaira, and the beautiful K2 mountain in Kashmir“.
Definition Bearbeiten
Eine K3-Fläche ist eine einfach zusammenhängende, kompakte, komplexe Fläche, deren kanonisches Bündel trivial (äquivalent: auf der es eine nirgends verschwindende holomorphe -Form gibt).
Eine äquivalente Definition ist, dass eine K3-Fläche eine kompakte, zusammenhängende, komplexe Fläche mit und ist.
Beispiele Bearbeiten
- glatte Quartiken im (d. h. durch ein homogenes Polynom vom Grad ohne kritische Punkte gegebene Hyperflächen)
- Kummer-Flächen (d. h. Quotienten einer abelschen Varietät modulo der Involution )
- entlang einer Sextik verzweigte Überlagerungen der komplex-projektiven Ebene
Eigenschaften Bearbeiten
- Der Hodge-Zahlen einer K3-Fläche sind . Insbesondere sind die Betti-Zahlen . Die Schnittform ist , wobei die gleichnamige Form und die hyperbolische Schnittform vom Rang bezeichnet.
- Alle K3-Flächen sind diffeomorph zueinander.
- K3-Flächen tragen eine Hyperkähler-Metrik, insbesondere sind sie Kähler-Mannigfaltigkeiten.