Korperturm ist ein Begriff aus der Algebra Es handelt sich um mehrere ineinander verschachtelte Korpererweiterungen Definition BearbeitenEin Korperturm der Hohe n N displaystyle n in mathbb N nbsp ist eine Folge von Korpererweiterungen K 0 K 1 K n displaystyle K 0 subset K 1 subset ldots subset K n nbsp Fur jedes j 1 n displaystyle j in 1 ldots n nbsp soll K j 1 K j displaystyle K j 1 subset K j nbsp eine Korpererweiterung sein Trotz des verwendeten Inklusionssymbols ist das mehr als eine Teilmengenbeziehung die Verknupfungen des Korpers K j 1 displaystyle K j 1 nbsp sollen die Einschrankungen der Verknupfungen des Korpers K j displaystyle K j nbsp sein Auch bei unendlichen Folgen solcher Korpererweiterungen spricht man von Korperturmen Beispiele und Anwendungen BearbeitenQ Q 2 Q 2 3 R C displaystyle mathbb Q subset mathbb Q sqrt 2 subset mathbb Q sqrt 2 sqrt 3 subset mathbb R subset mathbb C nbsp ist ein Korperturm Jede Korpererweiterung K L displaystyle K subset L nbsp ist ein Korperturm der Hohe 1 Ist M displaystyle M nbsp ein Zwischenkorper so ist K M L displaystyle K subset M subset L nbsp ein Korperturm der Hohe 2 Ist K X 1 X n displaystyle K X 1 ldots X n nbsp der Korper der rationalen Funktionen in n displaystyle n nbsp Unbestimmten so istK K X 1 K X 1 X 2 K X 1 X n displaystyle K subset K X 1 subset K X 1 X 2 subset ldots subset K X 1 ldots X n nbsp dd ein Korperturm Dieses Beispiel lasst sich zu einem unendlichen Korperturm fortsetzen Eine Korpererweiterung K L displaystyle K subset L nbsp heisst eine Radikalerweiterung wenn es einen KorperturmK K 0 K 1 K n L displaystyle K K 0 subset K 1 subset ldots subset K n L nbsp dd gibt in dem jede Erweiterung K j 1 K j displaystyle K j 1 subset K j nbsp durch Adjunktion einer m j displaystyle m j nbsp ten Wurzel entsteht das heisst zu jedem j 1 n displaystyle j in 1 ldots n nbsp gibt es eine naturliche Zahl m j displaystyle m j nbsp und ein Element b j K j displaystyle b j in K j nbsp mit b j m j K j 1 displaystyle b j m j in K j 1 nbsp und es ist K j K j 1 b j displaystyle K j K j 1 b j nbsp 1 Solche Radikalerweiterungen spielen eine wichtige Rolle in der Untersuchung der Frage fur welche Polynomgleichungen die Nullstellen durch Formeln aus Korperoperationen und Wurzelziehen in den Koeffizienten des Polynoms ausgedruckt werden konnen Der Gradsatz verallgemeinert sich wie folgt auf Korperturme Ist K 0 K 1 K n displaystyle K 0 subset K 1 subset ldots subset K n nbsp ein Korperturm aus endlichen Korpererweiterungen so gilt fur die Erweiterungsgrade 2 K n K 0 j 1 n K j K j 1 displaystyle K n colon K 0 prod j 1 n K j colon K j 1 nbsp dd Gibt es einen KorperturmQ K 0 K 1 K n C displaystyle mathbb Q K 0 subset K 1 subset ldots subset K n subset mathbb C nbsp dd und gilt K j K j 1 2 displaystyle K j colon K j 1 2 nbsp fur alle j 1 n displaystyle j in 1 ldots n nbsp so sind alle Punkte der komplexen Ebene die in einem der K j displaystyle K j nbsp liegen mit Zirkel und Lineal konstruierbar 3 4 Die Elemente der Korper heissen konstruierbare Zahlen Einzelnachweise Bearbeiten Christian Karpfinger Kurt Meyberg Algebra Gruppen Ringe Korper Springer Spektrum 2017 ISBN 3 6625 4721 X Abschnitt 29 2 1 Radikalerweiterungen Kurt Meyberg Algebra 2 Carl Hanser Verlag Munchen Wien 1976 ISBN 3 446 12172 2 Korollar 3 zu Satz 6 2 6 Ina Kersten Algebra Universitatsverlag Gottingen 2006 ISBN 3 9386 1661 X Kapitel 19 4 Algebraische Formulierung der Konstruierbarkeit Rainer Schulze Pillot Einfuhrung in Algebra und Zahlentheorie Springer Spektrum 2014 ISBN 3 6425 5215 3 Kapitel 9 5 Erganzung Konstruktionen mit Zirkel und Lineal Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Korperturm amp oldid 215047888
