Eine isotrope Funktion ist in der Kontinuumsmechanik eine von einem oder mehreren Skalaren geometrischen Vektoren oder Tensoren abhangige Funktion deren Wert bei einer Drehung ihrer Argumente genauso transformiert wird wie ihre Argumente Tensoren zweiter Stufe werden hier als lineare Abbildungen von geometrischen Vektoren auf geometrische Vektoren benutzt die im Allgemeinen dabei gedreht und gestreckt werden siehe die Abbildung rechts Die Tensoren bestehen aus Dyaden von zwei geometrischen Vektoren und werden gedreht indem beide Vektoren in der Dyade in gleicher Weise gedreht werden Eine isotrope Funktion folgt dieser Drehung ihrer Argumente Lineare Abbildung eines Vektors v displaystyle vec v durch einen Tensor T displaystyle mathbf T Isotrope Funktionen spielen eine wichtige Rolle in der Definition von Eigenschaften isotroper Materialien z B in der Hyperelastizitat Inhaltsverzeichnis 1 Definition 1 1 Skalare Funktion 1 2 Tensorwertige Funktion oder Tensorfunktion 2 Beispiele 2 1 Skalare Funktionen 2 2 Tensorfunktionen 3 Isotrope Tensorfunktionen eines symmetrischen Argumentes 3 1 Eigensystem 3 2 Darstellungssatz 3 3 Kommutativitat 4 Fussnoten 5 LiteraturDefinition BearbeitenGegeben sei der dreidimensionale euklidische Vektorraum V displaystyle mathbb V nbsp der Vektorraum L V V displaystyle mathcal L mathbb V mathbb V nbsp der linearen tensoriellen Abbildungen dieses Raumes auf sich und die Spezielle orthogonale Gruppe SO Q L Q 1 QT det Q 1 displaystyle mathcal SO mathbf Q in mathcal L mathbf Q 1 mathbf Q mathrm T wedge det mathbf Q 1 nbsp der eigentlich orthogonalen Tensoren die reine Drehungen ohne Spiegelungen verkorpern Dann gelten bei einer Drehung die Transformationsgleichungen Grosse Transformierte GrosseSkalar y R displaystyle y in mathbb R nbsp y y displaystyle y y nbsp Vektor v V displaystyle vec v in mathbb V nbsp v Q v displaystyle vec v mathbf Q cdot vec v nbsp Tensor T L displaystyle mathbf T in mathcal L nbsp T Q T QT displaystyle mathbf T mathbf Q cdot T cdot Q mathrm T nbsp Skalare Funktion Bearbeiten Eine skalare Funktion reell vektor oder tensorwertiger Argumente ist isotrop wenn fur jeden orthogonalen Tensor aus der speziellen orthogonalen Gruppe gilt f y1 y2 v 1 v 2 T1 T2 f y1 y2 Q v 1 Q v 2 Q T1 QT Q T2 QT Q SOmity1 y2 R v 1 v 2 V T1 T2 L displaystyle begin array l f y 1 y 2 ldots vec v 1 vec v 2 ldots mathbf T 1 mathbf T 2 dots ldots ldots f y 1 y 2 ldots mathbf Q cdot vec v 1 mathbf Q cdot vec v 2 ldots mathbf Q cdot T 1 cdot mathbf Q mathrm T mathbf Q cdot T 2 cdot mathbf Q mathrm T ldots quad forall mathbf Q in mathcal SO textsf mit quad y 1 y 2 ldots in mathbb R quad vec v 1 vec v 2 ldots in mathbb V quad mathbf T 1 mathbf T 2 ldots in mathcal L end array nbsp Tensorwertige Funktion oder Tensorfunktion Bearbeiten Eine Tensorfunktion von Tensoren ist isotrop wenn fur jeden orthogonalen Tensor aus der speziellen orthogonalen Gruppe gilt f Q T1 QT Q T2 QT Q f T1 T2 QT Q SOmitT1 T2 L displaystyle begin array l mathbf f mathbf Q cdot T 1 cdot mathbf Q mathrm T mathbf Q cdot T 2 cdot mathbf Q mathrm T ldots mathbf Q cdot mathbf f mathbf T 1 mathbf T 2 dots cdot mathbf Q mathrm T quad forall mathbf Q in mathcal SO textsf mit quad mathbf T 1 mathbf T 2 ldots in mathcal L end array nbsp Beispiele BearbeitenSkalare Funktionen Bearbeiten Alle Hauptinvarianten und anderen Invarianten der Tensoren sind per definitionem isotrope Funktionen ihres Tensors beispielsweise Sp Q T QT Sp QT Q T Sp T displaystyle operatorname Sp mathbf Q cdot T cdot Q mathrm T operatorname Sp mathbf Q mathrm T cdot mathbf Q cdot T operatorname Sp mathbf T nbsp Tensorfunktionen Bearbeiten Die Ableitungen 1 der Invarianten nach ihrem Tensor sind isotrope Tensorfunktionen beispielsweise dI2 T dT Sp T I TT dI2dT Q T QT Sp Q T QT I Q T QT T Sp T Q I QT Q TT QT Q Sp T I TT QT Q dI2 T dT QT displaystyle begin array rcl dfrac mathrm d operatorname I 2 mathbf T mathrm d mathbf T amp amp operatorname Sp mathbf T mathbf I mathbf T mathrm T rightarrow dfrac mathrm d operatorname I 2 mathrm d mathbf T mathbf Q cdot T cdot Q mathrm T amp amp operatorname Sp mathbf Q cdot T cdot Q mathrm T mathbf I mathbf Q cdot T cdot Q mathrm T mathrm T amp amp operatorname Sp mathbf T mathbf Q cdot I cdot Q mathrm T mathbf Q cdot T mathrm T cdot mathbf Q mathrm T amp amp mathbf Q cdot operatorname Sp mathbf T mathbf I mathbf T mathrm T cdot mathbf Q mathrm T amp amp mathbf Q cdot dfrac mathrm d operatorname I 2 mathbf T mathrm d mathbf T cdot mathbf Q mathrm T end array nbsp Ein Polynom einer tensorwertigen Variable mit konstanten reellen Koeffizienten f T a0I n 1NanT T T n mal displaystyle mathbf f mathbf T a 0 mathbf I sum n 1 N a n underbrace mathbf T cdot T ldots cdot T textsf n mal nbsp ist eine isotrope Tensorfunktion denn f Q T QT a0I n 1Nan Q T QT Q T QT Q T QT n mal a0Q I QT n 1NanQ T T T n mal QT Q a0I n 1NanT T T n mal QT Q f T QT displaystyle begin array rcl mathbf f mathbf Q cdot T cdot Q mathrm T amp amp displaystyle a 0 mathbf I sum n 1 N a n underbrace mathbf Q cdot T cdot Q mathrm T cdot mathbf Q cdot T cdot Q mathrm T cdot ldots cdot mathbf Q cdot T cdot Q mathrm T textsf n mal amp amp displaystyle a 0 mathbf Q cdot I cdot Q mathrm T sum n 1 N a n mathbf Q cdot underbrace mathbf T cdot T cdot ldots cdot T textsf n mal cdot mathbf Q mathrm T amp amp displaystyle mathbf Q cdot left a 0 mathbf I sum n 1 N a n underbrace mathbf T cdot T ldots cdot T textsf n mal right cdot mathbf Q mathrm T amp amp mathbf Q cdot mathbf f mathbf T cdot mathbf Q mathrm T end array nbsp Isotrope Tensorfunktionen eines symmetrischen Argumentes BearbeitenDie Spannungs Verzerrungs und Strecktensoren spielen in der Formulierung von Materialmodellen in der Kontinuumsmechanik eine hervorragende Rolle und sind symmetrisch Wenn nun die Argumente einer isotropen Tensorfunktion symmetrisch sind dann hat diese Funktion besondere und wichtige Eigenschaften Eigensystem Bearbeiten Die Eigenvektoren einer isotropen Tensorfunktion eines symmetrischen Tensors stimmen mit denen des Tensors uberein Wenn also T v lv displaystyle mathbf T cdot vec v lambda vec v nbsp gilt dann ist f T v hv displaystyle mathbf f mathbf T cdot vec v eta vec v nbsp d h die Eigenvektoren stimmen uberein nicht so aber im Allgemeinen die Eigenwerte Dies ist einer der Ausgangspunkte fur den folgenden Darstellungssatz Darstellungssatz Bearbeiten Jede isotrope Tensorfunktion eines symmetrischen Argumentes lasst sich in der Form f T ϕ0 I1 I2 I3 I ϕ1 I1 I2 I3 T ϕ2 I1 I2 I3 T T displaystyle mathbf f mathbf T phi 0 operatorname I 1 operatorname I 2 operatorname I 3 mathbf I phi 1 operatorname I 1 operatorname I 2 operatorname I 3 mathbf T phi 2 operatorname I 1 operatorname I 2 operatorname I 3 mathbf T cdot T nbsp wiedergeben Darin sind ϕ0 1 2 displaystyle phi 0 1 2 nbsp skalare Funktionen der Hauptinvarianten I1 2 3 T displaystyle operatorname I 1 2 3 mathbf T nbsp des Tensors Nach dem Satz von Cayley Hamilton kann gleichbedeutend f T ps0 I1 I2 I3 I ps1 I1 I2 I3 T ps 1 I1 I2 I3 T 1 displaystyle mathbf f mathbf T psi 0 operatorname I 1 operatorname I 2 operatorname I 3 mathbf I psi 1 operatorname I 1 operatorname I 2 operatorname I 3 mathbf T psi 1 operatorname I 1 operatorname I 2 operatorname I 3 mathbf T 1 nbsp mit anderen skalaren Funktionen ps 1 0 1 displaystyle psi 1 0 1 nbsp der Hauptinvarianten geschrieben werden Kommutativitat Bearbeiten Im Tensorprodukt einer isotropen Tensorfunktion eines symmetrischen Tensors mit ihrem Argument kann die Reihenfolge der Faktoren vertauscht werden f T T T f T displaystyle mathbf f mathbf T cdot mathbf T mathbf T cdot mathbf f mathbf T nbsp was eine direkte Folge des obigen Darstellungssatzes ist Fussnoten Bearbeiten Die Frechet Ableitung einer skalaren Funktion f T displaystyle f mathbf T nbsp nach einem Tensor T displaystyle mathbf T nbsp ist der Tensor A displaystyle mathbf A nbsp fur den sofern er existiert gilt A H ddsf T sH s 0 lims 0f T sH f T s H displaystyle mathbf A mathbf H left frac mathrm d mathrm d s f mathbf T s mathbf H right s 0 lim s rightarrow 0 frac f mathbf T s mathbf H f mathbf T s quad forall mathbf H nbsp Darin ist s R displaystyle s in mathbb R nbsp und das Frobenius Skalarprodukt Dann wird auch f T A displaystyle frac partial f partial mathbf T mathbf A nbsp geschrieben Literatur BearbeitenH Altenbach Kontinuumsmechanik Springer 2012 ISBN 978 3 642 24118 5 P Haupt Continuum Mechanics and Theory of Materials Springer 2000 ISBN 3 540 66114 X Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Isotrope Funktion amp oldid 216753846
