Bei vielen Messaufgaben ist eine physikalische Grosse nicht direkt messbar sondern sie muss indirekt aus messbaren Grossen nach einer mathematischen Formel bestimmt werden Jeder gemessene Wert weicht von seinem richtigen Wert ab siehe Messabweichung 1 die altere Bezeichnung war Messfehler Diese Messabweichungen werden mit der Formel ubertragen oder fortgepflanzt Daher wird auch das Ergebnis von seinem richtigen Wert abweichen Diese Tatsache wird Fehlerfortpflanzung genannt Fur diese existieren Rechenregeln mit denen die Abweichung des Ergebnisses bestimmt oder abgeschatzt werden kann Seit der Unterscheidung zwischen Messabweichung und Messfehler ist die Bezeichnung Fehlerfortpflanzung als uberholt anzusehen Da sich aber noch kein neuer Ausdruck etabliert hat wird zur sprachlichen Einheitlichkeit hier noch die Bezeichnung Fehler beibehalten Inhaltsverzeichnis 1 Aufgabe 2 Fallunterscheidung 2 1 Systematischer Fehler 2 2 Messgeratefehler 2 3 Zufalliger Fehler 2 4 Fehler des mathematischen Modells 3 Regeln zur Fehlerfortpflanzung 3 1 Grundlage 3 2 Fehler mit Vorzeichen 3 2 1 Eine fehlerbehaftete Grosse 3 2 2 Mehrere fehlerbehaftete Grossen 3 3 Fehlergrenzen 3 4 Messunsicherheiten 3 4 1 Eine fehlerbehaftete Grosse 3 4 2 Mehrere fehlerbehaftete Grossen 3 4 2 1 Voneinander unabhangige fehlerbehaftete Grossen 3 4 2 2 Voneinander abhangige fehlerbehaftete Grossen 3 4 3 Generalisiertes Fehlerfortpflanzungsgesetz 4 BelegeAufgabe BearbeitenHaufig soll ein Ergebnis y displaystyle y nbsp aus einer Grosse x displaystyle x nbsp oder im allgemeinen Fall aus mehreren Grossen x 1 displaystyle x 1 nbsp x 2 displaystyle x 2 nbsp displaystyle dotsc nbsp berechnet werden Mit einer fehlerbehafteten Bestimmung der Eingangsgrosse n wird auch die Ergebnisgrosse fehlerbehaftet sein Nach groben Fehlern muss neu gemessen oder neu gerechnet werden Sonst ist es eher angebracht nur die Auswirkung des Fehlers oder der Fehler auf das Ergebnis zu bestimmen Mathematisch gesagt Gibt es eine Funktion y y x 1 x 2 displaystyle y y x 1 x 2 dotsc nbsp mit mehreren unabhangigen Variablen x i displaystyle x i nbsp die um ein kleines D x i displaystyle Delta x i nbsp falsch sind so wird auch das Ergebnis y displaystyle y nbsp falsch um ein kleines D y displaystyle Delta y nbsp Dieses D y displaystyle Delta y nbsp soll berechnet werden konnen Messtechnisch gesagt Ist ein Messergebnis aus Messwerten verschiedener Grossen auszurechnen wobei diese Messwerte von ihren richtigen Werten abweichen so wird ein Ergebnis berechnet das entsprechend auch vom richtigen Ergebnis abweicht Die Grosse der Abweichung des Messergebnisses soll ausgerechnet werden konnen im Rahmen des quantitativ Sinnvollen siehe Fehlergrenze 1 Fallunterscheidung BearbeitenSystematischer Fehler Bearbeiten Systematische Fehler 1 sind im Prinzip bestimmbar sie haben Betrag und Vorzeichen Beispiel Die in einem Verbraucher umgesetzte elektrische Leistung soll berechnet und dazu die Stromstarke durch den Verbraucher gemessen werden Dazu wird ein Strommesser in die Leitung geschaltet An dem Messgerat fallt aber eine Spannung ab dadurch wird die Spannung am Verbraucher kleiner als die Speisespannung dadurch wird bei einem ohmschen Verbraucher die Stromstarke auch kleiner es wird etwas zu wenig gemessen negative Ruckwirkungsabweichung die sich bei bekannter Speisespannung und bei bekanntem Messgerate Innenwiderstand ausrechnen lasst Die aus Speisespannung und gemessener Stromstarke berechnete Leistung wird damit auch zu niedrig angegeben Bei einem systematischen Fehler der Eingangsgrosse oder bei systematischen Fehlern der Eingangsgrossen lasst sich mittels der Fehlerfortpflanzungs Regeln zu den Fehlern mit Vorzeichen der systematische Fehler der Ausgangsgrosse berechnen Messgeratefehler Bearbeiten Ferner kann nicht davon ausgegangen werden dass die vom Messgerat erfasste Grosse ohne Messgeratefehler angezeigt wird In seltenen Fallen ist anhand einer Fehlerkurve zu dem Messwert der zugehorige systematische Fehler bekannt Im Allgemeinen ist von einem Messgeratefehler nur dessen vorzeichenloser Grenzwert die Fehlergrenze bekannt Beispiel Kann die Stromstarke im obigen Beispiel nur mit einer Fehlergrenze von 4 bestimmt werden kann die Leistung auch nur in einem Bereich von 4 bis 4 um den berechneten Wert bestimmt werden Bei einer Fehlergrenze der Eingangsgrosse oder bei Fehlergrenzen der Eingangsgrossen lasst sich mittels der zugehorigen Fehlerfortpflanzungs Regeln die Fehlergrenze der Ausgangsgrosse berechnen Zufalliger Fehler Bearbeiten Soweit bisher behandelt gibt es mehrere Eingangsgrossen unabhangige Variable Messgrossen und davon jeweils nur einen Wert Anders ist es bei zufalligen Fehlern 1 die erkannt werden wenn von einer Eingangsgrosse mehrere Werte vorliegen gewonnen durch wiederholte Bestimmung Messung unter konstanten Bedingungen Aus diesen Werten lasst sich ein arithmetischer Mittelwert berechnen der als Schatzwert der Eingangsgrosse weiterverwendet wird der aber mit einer vorzeichenlosen Typ A Komponente der Messunsicherheit behaftet ist 1 2 Bei einer Messunsicherheit der Eingangsgrosse oder bei Messunsicherheiten mehrerer Eingangsgrossen lasst sich mittels der zugehorigen Fehlerfortpflanzungs Regeln die Unsicherheit der Ausgangsgrosse berechnen Bei Messgeratefehlern kann gemass 1 davon ausgegangen werden dass der Betrag des zufalligen Fehlers wesentlich kleiner ist als die Fehlergrenze anderenfalls ist auch der zufallige Fehler bei der Festlegung der Fehlergrenze zu berucksichtigen Bei voneinander unabhangigen Messwerten deren Qualitat von den Fehlergrenzen der Messgerate bestimmt wird ist die Untersuchung zufalliger Fehler dann aber nicht sinnvoll Fehler des mathematischen Modells Bearbeiten Die zu berechnende Grosse muss durch die mathematische Formel korrekt beschrieben werden Um leichter rechnen zu konnen oder mangels vollstandiger Kenntnis wird aber oft auf Naherungen ausgewichen Beispiel Die Speisespannung im obigen Beispiel wird als bekannt angenommen wie das bei Bezug aus einer Konstantspannungsquelle zulassig ist Falls die Spannung der Quelle aber von der Belastung abhangig ist ist ihre Kenngrosse Leerlaufspannung nicht mehr die Speisespannung es entsteht ein weiterer Fehler Ein Fehler der Ausgangsgrosse welcher aufgrund eines unzureichenden mathematischen Modells fur den Zusammenhang mit den Eingangsgrossen entsteht lasst sich mit Fehlerfortpflanzungs Regeln nicht berechnen Regeln zur Fehlerfortpflanzung BearbeitenGrundlage Bearbeiten Eine Funktion lasst sich in der Umgebung einer Stelle durch eine Taylorreihe darstellen die zweckmassigerweise an dieser Stelle entwickelt wird Als Voraussetzung dafur muss ein Zusammenhang zwischen einer jeden Eingangsgrosse und der Ergebnisgrosse eine glatte Funktion y x displaystyle y x nbsp sein wie das in der klassischen Physik und in der Technik fast immer gegeben ist Der nachfolgend dargestellte Formalismus mit linearer Naherung benotigt nur die einfache Differenzierbarkeit Fehler mit Vorzeichen Bearbeiten Eine fehlerbehaftete Grosse Bearbeiten Der Einfluss einer fehlerbehafteten Eingangsgrosse x displaystyle x nbsp auf das Ergebnis y displaystyle y nbsp kann mittels der Taylorreihe abgeschatzt werden y y x y x D x y x 1 1 d y x d x D x 1 2 d 2 y x d x 2 D x 2 displaystyle y y x quad Rightarrow quad y x Delta x y x frac 1 1 frac dy x dx cdot Delta x frac 1 2 frac d 2 y x dx 2 cdot Delta x 2 cdots nbsp Bei genugend kleinem D x displaystyle Delta x nbsp kann die Reihenentwicklung nach dem linearen Glied abgebrochen werden weil Glieder mit D x 2 displaystyle Delta x 2 nbsp und noch hoheren Potenzen erst recht klein werden Damit ergibt sich die Naherungslosung nbsp Mit einer Eingangsgrosse Bei deren Anderung um D x displaystyle Delta x nbsp andert sich die Aus gangs grosse um D y displaystyle Delta y nbsp Bei genugend kleinem D x displaystyle Delta x nbsp wird D y displaystyle Delta y nbsp proportional zu D x displaystyle Delta x nbsp mit dem Anstieg der Tangente als Proportionalitatsfaktory x D x y x D y d y d x D x displaystyle y x Delta x y x Delta y frac dy dx cdot Delta x nbsp Dieses liefert eine Regel zur Fehlerfortpflanzung wenn die D displaystyle Delta nbsp Werte als absolute Fehler angesehen werden Anwendung bei Proportionalitaty c x D y c D x D y y D x x displaystyle y c cdot x quad Rightarrow quad Delta y c cdot Delta x quad quad frac Delta y y frac Delta x x nbsp Fur die Ausgangsgrosse y displaystyle y nbsp enthalt deren absoluter Fehler D y displaystyle Delta y nbsp die spezielle Proportionalitatskonstante c displaystyle c nbsp Besser wird mit dem relativen Fehler D y y displaystyle Delta y y nbsp gerechnet der unabhangig von c displaystyle c nbsp ist und stets genauso gross wie der relative Fehler D x x displaystyle Delta x x nbsp der Eingangsgrosse x displaystyle x nbsp Anwendung bei umgekehrter Proportionalitat Kehrwertbildung y c x D y c D x x 2 D y y D x x displaystyle y frac c x quad quad Rightarrow quad Delta y c cdot frac Delta x x 2 quad frac Delta y y frac Delta x x nbsp Der relative Fehler der Ausgangsgrosse hat denselben Betrag wie der relative Fehler der Eingangsgrosse aber entgegengesetztes Vorzeichen Mehrere fehlerbehaftete Grossen Bearbeiten nbsp Mit zwei Eingangsgrossen Kleine Ande run gen D x 1 displaystyle Delta x 1 nbsp auf der Flache x 2 const displaystyle x 2 text const nbsp und kleine Ande run gen D x 2 displaystyle Delta x 2 nbsp auf der Flache x 1 const displaystyle x 1 text const nbsp erzeugen kleine Ande run gen der Ausgangs grosse D y 1 displaystyle Delta y 1 nbsp und D y 2 displaystyle Delta y 2 nbsp die addiert D y displaystyle Delta y nbsp ergeben Bei mehreren voneinander unabhangigen Eingangsgrossen wird die entsprechende Reihenentwicklung verwendet ebenfalls bis zum linearen Glied als Naherungslosung fur kleine D x i displaystyle Delta x i nbsp y y x 1 x 2 D y y x 1 D x 1 y x 2 D x 2 displaystyle y y x 1 x 2 dots quad Rightarrow quad Delta y frac partial y partial x 1 cdot Delta x 1 frac partial y partial x 2 cdot Delta x 2 cdots nbsp D y displaystyle Delta y nbsp Gesamtfehler F y displaystyle F y nbsp des Ergebnisses y displaystyle y nbsp D y y displaystyle frac Delta y y nbsp relativer Fehler f y displaystyle f y nbsp des Ergebnisses y displaystyle y nbsp D x i displaystyle Delta x i nbsp Fehler F i displaystyle F i nbsp der Eingangsgrosse x i displaystyle x i nbsp D x i x i displaystyle frac Delta x i x i nbsp relativer Fehler f i displaystyle f i nbsp der Eingangsgrosse x i displaystyle x i nbsp dd Die hier einzusetzenden partiellen Differentialquotienten y x i displaystyle frac partial y partial x i nbsp liefern Aussagen wie stark sich y displaystyle y nbsp andert wenn sich von allen unabhangigen Eingangsgrossen ausschliesslich x i displaystyle x i nbsp andert die ubrigen Eingangsgrossen werden jeweils als Konstanten behandelt Die allgemeine Losung vereinfacht sich fur die vier Grundrechenarten Bei Addition y x 1 x 2 displaystyle y x 1 x 2 quad nbsp y x 1 1 displaystyle frac partial y partial x 1 1 nbsp y x 2 1 displaystyle frac partial y partial x 2 1 nbsp F y F 1 F 2 displaystyle F y F 1 F 2 nbsp Bei Subtraktion y x 1 x 2 displaystyle y x 1 x 2 nbsp y x 1 1 displaystyle frac partial y partial x 1 1 nbsp y x 2 1 displaystyle frac partial y partial x 2 1 nbsp F y F 1 F 2 displaystyle F y F 1 F 2 nbsp Bei Multiplikation y x 1 x 2 displaystyle y x 1 cdot x 2 nbsp y x 1 x 2 displaystyle frac partial y partial x 1 x 2 nbsp y x 2 x 1 displaystyle frac partial y partial x 2 x 1 nbsp f y f 1 f 2 displaystyle f y f 1 f 2 nbsp Bei Division y x 1 x 2 displaystyle y x 1 x 2 nbsp y x 1 1 x 2 displaystyle frac partial y partial x 1 frac 1 x 2 quad nbsp y x 2 x 1 x 2 2 displaystyle frac partial y partial x 2 frac x 1 x 2 2 quad nbsp f y f 1 f 2 displaystyle f y f 1 f 2 nbsp Hinweis Dabei sind Angaben mit ungewissem Vorzeichen keine Angaben von Fehlern der Unterschied zwischen Fehler und Fehlergrenze ist zu beachten Bei Fehlergrenzen und Messunsicherheiten gelten andere Sachverhalte siehe dazu die nachsten Abschnitte Die Formeln gelten nur wenn die tatsachlichen Werte der Fehler mit Vorzeichen bekannt sind Bei Fehlerfortpflanzung konnen sich die Fehler mehr oder weniger erganzen oder aufheben Beispiel Wenn x 1 displaystyle x 1 nbsp um 2 zu gross und x 2 displaystyle x 2 nbsp um 3 zu gross sind Dann wird bei der Multiplikation y displaystyle y nbsp um 5 zu gross Dann wird bei der Division y displaystyle y nbsp um 1 zu klein dd Zur Verdeutlichung kann folgendes Beispiel dienen Wer 1 00 1 00 displaystyle tfrac 1 00 1 00 nbsp ausrechnen will aber im Zahler eine um 2 zu grosse Zahl einsetzt und im Nenner eine um 3 zu grosse Zahl berechnet 1 02 1 03 displaystyle tfrac 1 02 1 03 nbsp und erhalt 0 99 Dieses Ergebnis weicht vom richtigen Wert 1 00 um 1 ab Diese Feststellung zum Fehler lasst sich mit der Formel f y f 1 f 2 2 3 displaystyle quad f y f 1 f 2 2 3 quad nbsp einfacher bekommen Und das Minuszeichen vor f 2 displaystyle f 2 nbsp ist offensichtlich richtig Fehlergrenzen Bearbeiten Sind nicht die Fehler selber bekannt sondern nur ihre Grenzen so lasst sich derselbe mathematische Ansatz verwenden wenn die D displaystyle Delta nbsp Werte als Fehlergrenzen angesehen werden Diese sind vorzeichenlos also als Betrag definiert Fur das Ergebnis lasst sich so auch nur die Fehlergrenze ausrechnen dazu ist mit der ungunstigsten Vorzeichenkombination zu rechnen indem Betrage addiert werden D y y x 1 D x 1 y x 2 D x 2 displaystyle Delta y left frac partial y partial x 1 right cdot Delta x 1 left frac partial y partial x 2 right cdot Delta x 2 cdots nbsp dd D y displaystyle Delta y nbsp Gesamtfehlergrenze G y displaystyle G y nbsp des Ergebnisses y displaystyle y nbsp D x i displaystyle Delta x i nbsp Fehlergrenze G i displaystyle G i nbsp der Eingangsgrosse x i displaystyle x i nbsp D x i x i displaystyle frac Delta x i x i nbsp relative Fehlergrenze g i displaystyle g i nbsp der Eingangsgrosse x i displaystyle x i nbsp D y y displaystyle frac Delta y y nbsp relative Fehlergrenze g y displaystyle g y nbsp des Ergebnisses y displaystyle y nbsp dd Die allgemeine Losung vereinfacht sich bei den vier Grundrechenarten Bei Addition und Subtraktion G y G 1 G 2 displaystyle G y G 1 G 2 nbsp Bei Multiplikation und Division g y g 1 g 2 displaystyle g y g 1 g 2 nbsp Beispiel Wenn x 1 displaystyle x 1 nbsp um bis 2 zu gross oder zu klein und x 2 displaystyle x 2 nbsp um bis 3 zu gross oder zu klein sein konnen Dann kann bei der Multiplikation wie bei der Division y displaystyle y nbsp um bis 5 zu gross oder zu klein sein dd Messunsicherheiten Bearbeiten Eine fehlerbehaftete Grosse Bearbeiten Gibt es von der Grosse x displaystyle x nbsp mehrere mit zufalligen Fehlern behaftete Werte v j displaystyle v j nbsp mit j 1 n displaystyle j 1 dotsc n nbsp so ergibt sich nach den Regeln der Fehlerrechnung fur Normalverteilung gegenuber dem Einzelwert eine verbesserte Aussage durch Bildung des empirischen Mittelwertes v x displaystyle overline v x nbsp 2 v x 1 n j 1 n v j displaystyle overline v x frac 1 n sum j 1 n v j nbsp Jeder neu hinzukommende Wert verandert mit seinem individuellen zufalligen Fehler den Mittelwert und macht ihn somit unsicher Die Unsicherheit u x displaystyle u x nbsp die dem berechneten Mittelwert anhaftet ist gegeben 2 u x 1 n n 1 j 1 n v j v x 2 displaystyle u x sqrt frac 1 n n 1 sum j 1 n v j overline v x 2 nbsp Anschaulich sind hier naherungsweise die quadrierten zufalligen Fehler addiert worden Fur grosse n displaystyle n nbsp strebt die Unsicherheit gegen null und bei Abwesenheit systematischer Fehler strebt der Mittelwert gegen den richtigen Wert Wird in einer Rechnung zur Fehlerfortpflanzung als Eingangsgrosse x displaystyle x nbsp der Mittelwert v x displaystyle overline v x nbsp verwendet so wirkt sich dessen Unsicherheit u x displaystyle u x nbsp auf die Unsicherheit u y displaystyle u y nbsp des Ergebnisses y displaystyle y nbsp aus Bei genugend kleinem u x displaystyle u x nbsp kann dieser Wert fur die Fehlerfortpflanzung als D x displaystyle Delta x nbsp in die lineare Naherung der Taylorreihe eingesetzt werden Dabei ist zu beachten dass Unsicherheiten als Betrage definiert sind 2 D y d y d x D x u y d y d x u x displaystyle Delta y frac dy dx cdot Delta x qquad qquad Rightarrow qquad qquad u y left frac dy dx right cdot u x nbsp Mehrere fehlerbehaftete Grossen Bearbeiten Voneinander unabhangige fehlerbehaftete Grossen Bearbeiten Bei mehreren voneinander unabhangigen Eingangsgrossen x 1 x 2 displaystyle x 1 x 2 dotsc nbsp seien die Mittelwerte jeweils mit einer Unsicherheit u 1 u 2 displaystyle u 1 u 2 dotsc nbsp bestimmt worden Das Ergebnis y displaystyle y nbsp wird aus den Mittelwerten berechnet Zur Berechnung seiner Unsicherheit u y displaystyle u y nbsp wird wieder mit der linearen Naherung bei mehreren unabhangigen Variablen begonnen allerdings mussen wie bei der Berechnung der Unsicherheit die quadrierten Beitrage der Einzel Unsicherheiten addiert werden 2 D y y x 1 D x 1 y x 2 D x 2 u y y x 1 u 1 2 y x 2 u 2 2 displaystyle Delta y frac partial y partial x 1 cdot Delta x 1 frac partial y partial x 2 cdot Delta x 2 cdots Rightarrow u y sqrt left frac partial y partial x 1 cdot u 1 right 2 left frac partial y partial x 2 cdot u 2 right 2 cdots nbsp Diese Gleichung wurde fruher Gausssches Fehlerfortpflanzungsgesetz genannt 2 3 Sie betrifft jedoch nicht die Fortpflanzung von Messabweichungen fruher Fehler sondern die von Unsicherheiten Die Gleichung vereinfacht sich fur die vier Grundrechenarten Bei Addition und Subtraktion y x 1 x 2 x 3 displaystyle y x 1 x 2 x 3 qquad nbsp u y 2 u 1 2 u 2 2 u 3 2 displaystyle quad u y 2 u 1 2 u 2 2 u 3 2 nbsp Bei Multiplikation und Division y x 1 x 2 x 3 displaystyle y x 1 cdot x 2 x 3 nbsp u y y 2 u 1 x 1 2 u 2 x 2 2 u 3 x 3 2 displaystyle bigg frac u y y bigg 2 bigg frac u 1 x 1 bigg 2 bigg frac u 2 x 2 bigg 2 bigg frac u 3 x 3 bigg 2 nbsp Das Gesetz ist nur anwendbar wenn sich die Modellfunktion y y x 1 x 2 displaystyle y y x 1 x 2 cdots nbsp bei Anderungen der Einflussgrossen x i displaystyle x i nbsp im Bereich ihrer Standardunsicherheiten u i displaystyle u i nbsp hinreichend linear verhalt Ist dies nicht der Fall ist das Rechenverfahren erheblich aufwandiger Die Norm DIN 1319 3 und der Leitfaden zur Angabe der Unsicherheit beim Messen geben Hinweise wie eine unzulassige Nichtlinearitat zu erkennen und zu umgehen ist Ausserdem ist Varianzhomogenitat vorausgesetzt Voneinander abhangige fehlerbehaftete Grossen Bearbeiten Bei einer Abhangigkeit Korrelation zwischen m displaystyle m nbsp fehlerbehafteten Grossen muss das Gauss sche Fehlerfortpflanzungsgesetz unter Einbeziehung der Kovarianzen oder der Korrelationskoeffizienten zwischen jeweils zwei Grossen zum verallgemeinerten generalisierten Gauss schen Fehlerfortpflanzungsgesetz erweitert werden 2 u y i 1 m k 1 m y x i y x k u x i x k i 1 m y x i u i 2 w i e o b e n 2 i 1 m 1 k i 1 m y x i y x k u x i x k K o r r e l a t i o n s t e r m e displaystyle u y sqrt sum i 1 m sum k 1 m frac partial y partial x i frac partial y partial x k cdot u x i x k sqrt underbrace sum i 1 m left frac partial y partial x i cdot u i right 2 mathrm wie oben 2 underbrace sum i 1 m 1 sum k i 1 m frac partial y partial x i frac partial y partial x k cdot u x i x k mathrm Korrelationsterme nbsp mit der Kovarianz u x i x k displaystyle u x i x k nbsp Fur unabhangige Grossen fallen die Korrelationsterme weg und es ergibt sich die Formel aus dem Abschnitt fur unabhangige Grossen Die relative Unsicherheit einer Grosse die sich aus zwei vollkommen korrelierten Grossen ableitet kann dabei kleiner besser werden als die beiden relativen Unsicherheiten der Eingangsgrossen Die Fehlerfortpflanzung fur ein Ergebnis y displaystyle y nbsp und den korrelierten Messfehlern lasst sich auch folgendermassen formulieren u y grad y T V x grad y displaystyle u y sqrt operatorname grad y T cdot V x cdot operatorname grad y nbsp mit V x displaystyle V x nbsp als Kovarianzmatrix Generalisiertes Fehlerfortpflanzungsgesetz Bearbeiten Mit Hilfe des Matrixformalismus kann das allgemeine Fehlerfortpflanzungsgesetz kompakt ausgedruckt werden als 4 V y J x V x J T x displaystyle V y J x cdot V x cdot J T x nbsp wobei V x displaystyle V x nbsp und V y displaystyle V y nbsp die jeweiligen Kovarianzmatrizen der Vektoren x displaystyle boldsymbol x nbsp und y displaystyle boldsymbol y nbsp sind und J displaystyle J nbsp die Jacobi Matrix J i j x y i x j x displaystyle J ij x frac partial y i partial x j x nbsp Dabei handelt es sich hier nicht nur um ein Ergebnis y displaystyle y nbsp wie im oben genannten Beispiel sondern um einen Vektor mit vielen Ergebnissen die aus den Eingangsgrossen x displaystyle boldsymbol x nbsp abgeleitet werden Die Standardabweichung fur jedes y i displaystyle y i nbsp ergibt sich nun aus den Wurzeln der Diagonalelemente u y diag V y displaystyle boldsymbol u y sqrt operatorname diag V y nbsp Belege Bearbeiten a b c d e f DIN 1319 1 a b c d e f g DIN 1319 3 a b DIN 1319 4 Roger J Barlow A Guide to the Use of Statistical Methods in the Physical Sciences Wiley Chichester 1989 ISBN 0 471 92295 1 S 60 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Fehlerfortpflanzung amp oldid 228642216 Gausssches Fehlerfortpflanzungsgesetz
