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Fehlerrechnung Es ist praktisch nie möglich exakt zu messen Die Abweichungen der Messwerte von ihren wahren Werten wirke

Fehlerrechnung

Es ist praktisch nie möglich, exakt zu messen. Die Abweichungen der Messwerte von ihren wahren Werten wirken sich auf ein Messergebnis aus, so dass dieses ebenfalls von seinem wahren Wert abweicht. Die Fehlerrechnung versucht, die Einflussnahme der Messabweichungen auf das Messergebnis quantitativ zu bestimmen.

Messabweichungen wurden früher als Messfehler bezeichnet. Die Bezeichnung „Fehlerrechnung“ ist ein Überbleibsel aus jener Zeit.

Abgrenzung Bearbeiten

Der Begriff Fehlerrechnung kann verschieden verstanden werden.

  • Häufig will man ein Messergebnis aus einer Messgröße oder im allgemeinen Fall aus mehreren Messgrößen mittels einer bekannten Gleichung (mathematische Formel) berechnen. Bei fehlerhafter Bestimmung der Eingangsgröße(n) wird auch die Ausgangsgröße falsch bestimmt, denn die Einzelabweichungen werden mit der Gleichung bzw. übertragen und führen zu einer Abweichung des Ergebnisses. Man nennt dieses Fehlerfortpflanzung. Unter diesem Stichwort werden Formeln angegeben, getrennt für die Fälle, dass die Abweichungen (im Sprachgebrauch teilweise noch als Fehler bezeichnet) bekannt sind als
  • Wenn man die Messung einer Größe unter gleichen Bedingungen wiederholt, stellt man häufig fest, dass sich die Einzelmesswerte unterscheiden; sie streuen. Sie haben dann

Normalverteilung Bearbeiten

Häufigkeitsverteilung streuender Messwerte

Die Streuung von Messwerten kann man sich in einem Diagramm veranschaulichen. Man teilt den Bereich der möglichen Werte in kleine Bereiche mit der Breite ein und trägt zu jedem Bereich auf, wie viele gemessene Werte in diesem Bereich vorkommen, siehe Beispiel in nebenstehendem Bild.

Normalverteilung streuender Messwerte

Bei der Gauß- oder Normalverteilung (nach Carl Friedrich Gauß) lässt man die Anzahl der Messungen gehen und zugleich . Bei dem Diagramm geht der gestufte Verlauf über in eine stetige Kurve. Diese beschreibt

  • die Dichte der Messwerte in Abhängigkeit vom gemessenen Wert und außerdem
  • für eine zukünftige Messung, welcher Wert mit welcher Wahrscheinlichkeit zu erwarten ist.

Mit der mathematischen Darstellung der Normalverteilung lassen sich viele statistisch bedingte natur-, wirtschafts- oder ingenieurwissenschaftliche Vorgänge beschreiben. Auch zufällige Messabweichungen können in ihrer Gesamtheit durch die Parameter der Normalverteilung beschrieben werden. Diese Kenngrößen sind

  • der Erwartungswert der Messwerte. Dieser ist so groß wie die Abszisse des Maximums der Kurve. Zugleich liegt er an der Stelle des wahren Wertes.
  • die Standardabweichung als Maß für die Breite der Streuung der Messwerte. Sie ist so groß wie der horizontale Abstand eines Wendepunktes vom Maximum. Im Bereich zwischen den Wendepunkten liegen etwa 68 % aller Messwerte.

Unsicherheit einer einzelnen Messgröße Bearbeiten

Das Folgende gilt bei Abwesenheit von systematischen Abweichungen und bei normalverteilten zufälligen Abweichungen.

Schätzwerte der Parameter Bearbeiten

Hat man von der Größe mehrere mit zufälligen Fehlern behaftete Werte mit , so kommt man gegenüber dem Einzelwert zu einer verbesserten Aussage durch Bildung des arithmetischen Mittelwertes

Die empirische Standardabweichung ergibt sich aus

Diese Größen sind Schätzwerte für die Parameter der Normalverteilung. Durch die endliche Zahl der Messwerte unterliegt auch der Mittelwert noch zufälligen Abweichungen. Ein Maß für die Breite der Streuung des Mittelwertes ist die Unsicherheit

Diese wird umso kleiner, je größer wird. Sie kennzeichnet zusammen mit dem Mittelwert einen Wertebereich , in dem der wahre Wert der Messgröße erwartet wird.

Vertrauensniveau Bearbeiten

Diese Erwartung wird nur mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit erfüllt. Will man Letztere auf ein konkretes Vertrauensniveau festlegen, so muss man einen Bereich (ein Konfidenzintervall) festlegen, in dem der wahre Wert mit dieser Wahrscheinlichkeit liegt. Je höher die Wahrscheinlichkeit gewählt wird, desto breiter muss der Bereich sein. Der Faktor berücksichtigt das gewählte Vertrauensniveau und die Anzahl der Messungen insoweit, als mit einer kleinen Zahl die statistische Behandlung noch nicht aussagekräftig ist. Wählt man die oben genannte Zahl 68 % als Vertrauensniveau und , so ist . Für das in der Technik vielfach verwendete Vertrauensniveau von 95 % und für ist . Eine Tabelle mit Werten von (Studentsche t-Verteilung) befindet sich in .

Siehe auch Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Burghart Brinkmann: Internationales Wörterbuch der Metrologie: Grundlegende und allgemeine Begriffe und zugeordnete Benennungen (VIM), Deutsch-englische Fassung ISO/IEC-Leitfaden 99:2007. Beuth, 2012; Anmerkung 2 in Definition 2.16
  2. Dietmar Mende, Günter Simon: Physik: Gleichungen und Tabellen. 16. Aufl., Hanser, 2013, S. 416
  3. DIN 1319-1, Grundlagen der Messtechnik – Teil 1: Grundbegriffe, 1995
  4. ↑ DIN 1319-3, Grundlagen der Messtechnik – Teil 3: Auswertung von Messungen einer einzelnen Messgröße, Messunsicherheit, 1996
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Veröffentlichungsdatum:
Es ist praktisch nie moglich exakt zu messen Die Abweichungen der Messwerte von ihren wahren Werten wirken sich auf ein Messergebnis aus so dass dieses ebenfalls von seinem wahren Wert abweicht Die Fehlerrechnung versucht die Einflussnahme der Messabweichungen auf das Messergebnis quantitativ zu bestimmen Messabweichungen wurden fruher als Messfehler bezeichnet 1 Die Bezeichnung Fehlerrechnung ist ein Uberbleibsel aus jener Zeit Inhaltsverzeichnis 1 Abgrenzung 2 Normalverteilung 3 Unsicherheit einer einzelnen Messgrosse 3 1 Schatzwerte der Parameter 3 2 Vertrauensniveau 4 Siehe auch 5 EinzelnachweiseAbgrenzung BearbeitenDer Begriff Fehlerrechnung kann verschieden verstanden werden 2 Haufig will man ein Messergebnis y displaystyle y nbsp aus einer Messgrosse x displaystyle x nbsp oder im allgemeinen Fall aus mehreren Messgrossen x 1 x 2 displaystyle x 1 x 2 ldots nbsp mittels einer bekannten Gleichung mathematische Formel berechnen Bei fehlerhafter Bestimmung der Eingangsgrosse n wird auch die Ausgangsgrosse falsch bestimmt denn die Einzelabweichungen werden mit der Gleichung y y x displaystyle y y x nbsp bzw y y x 1 x 2 displaystyle y y x 1 x 2 ldots nbsp ubertragen und fuhren zu einer Abweichung des Ergebnisses Man nennt dieses Fehlerfortpflanzung Unter diesem Stichwort werden Formeln angegeben getrennt fur die Falle dass die Abweichungen im Sprachgebrauch teilweise noch als Fehler bezeichnet bekannt sind alssystematische Abweichungen systematische Fehler Fehlergrenzen oder Unsicherheiten infolge zufalliger Abweichungen zufalliger Fehler Kennzeichnend ist hier Man hat im allgemeinen Fall mehrere Grossen x i displaystyle x i nbsp und zu jeder Grosse einen Messwert Wenn man die Messung einer Grosse x displaystyle x nbsp unter gleichen Bedingungen wiederholt stellt man haufig fest dass sich die Einzelmesswerte unterscheiden sie streuen Sie haben dannzufallige Abweichungen zufallige Fehler dd Nachfolgend werden Formeln angegeben zur Berechnung eines von diesen Abweichungen moglichst befreiten Wertes und zu dessen verbleibender Messunsicherheit Kennzeichnend ist hier Man hat zu einer Grosse x displaystyle x nbsp mehrere Messwerte Normalverteilung Bearbeiten nbsp Haufigkeitsverteilung streuender MesswerteDie Streuung von Messwerten kann man sich in einem Diagramm veranschaulichen Man teilt den Bereich der moglichen Werte in kleine Bereiche mit der Breite b displaystyle b nbsp ein und tragt zu jedem Bereich auf wie viele gemessene Werte in diesem Bereich vorkommen siehe Beispiel in nebenstehendem Bild nbsp Normalverteilung streuender MesswerteBei der Gauss oder Normalverteilung nach Carl Friedrich Gauss lasst man die Anzahl der Messungen N displaystyle N rightarrow infty nbsp gehen und zugleich b 0 displaystyle b rightarrow 0 nbsp Bei dem Diagramm geht der gestufte Verlauf uber in eine stetige Kurve Diese beschreibt die Dichte der Messwerte in Abhangigkeit vom gemessenen Wert und ausserdem fur eine zukunftige Messung welcher Wert mit welcher Wahrscheinlichkeit zu erwarten ist Mit der mathematischen Darstellung der Normalverteilung lassen sich viele statistisch bedingte natur wirtschafts oder ingenieurwissenschaftliche Vorgange beschreiben Auch zufallige Messabweichungen konnen in ihrer Gesamtheit durch die Parameter der Normalverteilung beschrieben werden Diese Kenngrossen sind der Erwartungswert der Messwerte Dieser ist so gross wie die Abszisse des Maximums der Kurve Zugleich liegt er an der Stelle des wahren Wertes die Standardabweichung als Mass fur die Breite der Streuung der Messwerte Sie ist so gross wie der horizontale Abstand eines Wendepunktes vom Maximum Im Bereich zwischen den Wendepunkten liegen etwa 68 aller Messwerte Unsicherheit einer einzelnen Messgrosse BearbeitenDas Folgende 3 4 gilt bei Abwesenheit von systematischen Abweichungen und bei normalverteilten zufalligen Abweichungen Schatzwerte der Parameter Bearbeiten Hat man von der Grosse x displaystyle x nbsp mehrere mit zufalligen Fehlern behaftete Werte v j displaystyle v j nbsp mit j 1 N displaystyle j 1 dots N nbsp so kommt man gegenuber dem Einzelwert zu einer verbesserten Aussage durch Bildung des arithmetischen Mittelwertes v displaystyle overline v nbsp v 1 N j 1 N v j displaystyle overline v frac 1 N sum j 1 N v j nbsp Die empirische Standardabweichung s displaystyle s nbsp ergibt sich aus s 1 N 1 j 1 N v j v 2 displaystyle s sqrt frac 1 N 1 sum j 1 N v j overline v 2 nbsp Diese Grossen sind Schatzwerte fur die Parameter der Normalverteilung Durch die endliche Zahl der Messwerte unterliegt auch der Mittelwert noch zufalligen Abweichungen Ein Mass fur die Breite der Streuung des Mittelwertes ist die Unsicherheit u displaystyle u nbsp u 1 N s displaystyle u frac 1 sqrt N cdot s nbsp Diese wird umso kleiner je grosser N displaystyle N nbsp wird Sie kennzeichnet zusammen mit dem Mittelwert einen Wertebereich v u v u displaystyle overline v u ldots overline v u nbsp in dem der wahre Wert der Messgrosse erwartet wird Vertrauensniveau Bearbeiten Diese Erwartung wird nur mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit erfullt Will man Letztere auf ein konkretes Vertrauensniveau festlegen so muss man einen Bereich ein Konfidenzintervall v t u v t u displaystyle overline v t cdot u ldots overline v t cdot u nbsp festlegen in dem der wahre Wert mit dieser Wahrscheinlichkeit liegt Je hoher die Wahrscheinlichkeit gewahlt wird desto breiter muss der Bereich sein Der Faktor t displaystyle t nbsp berucksichtigt das gewahlte Vertrauensniveau und die Anzahl der Messungen insoweit als mit einer kleinen Zahl N displaystyle N nbsp die statistische Behandlung noch nicht aussagekraftig ist Wahlt man die oben genannte Zahl 68 als Vertrauensniveau und N gt 12 displaystyle N gt 12 nbsp so ist t 1 0 displaystyle t 1 0 nbsp Fur das in der Technik vielfach verwendete Vertrauensniveau von 95 und fur N gt 30 displaystyle N gt 30 nbsp ist t 2 0 displaystyle t 2 0 nbsp Eine Tabelle mit Werten von t displaystyle t nbsp Studentsche t Verteilung befindet sich in 4 Siehe auch BearbeitenAusgleichsrechnungEinzelnachweise Bearbeiten Burghart Brinkmann Internationales Worterbuch der Metrologie Grundlegende und allgemeine Begriffe und zugeordnete Benennungen VIM Deutsch englische Fassung ISO IEC Leitfaden 99 2007 Beuth 2012 Anmerkung 2 in Definition 2 16 Dietmar Mende Gunter Simon Physik Gleichungen und Tabellen 16 Aufl Hanser 2013 S 416 DIN 1319 1 Grundlagen der Messtechnik Teil 1 Grundbegriffe 1995 a b DIN 1319 3 Grundlagen der Messtechnik Teil 3 Auswertung von Messungen einer einzelnen Messgrosse Messunsicherheit 1996Normdaten Sachbegriff GND 4153837 7 lobid OGND AKS Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Fehlerrechnung amp oldid 220280921