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Gamow Faktor Der nach George Gamow dient zur Berechnung der Tunnel Wahrscheinlichkeit eines Teilchens innerhalb eines At

Gamow-Faktor

Der Gamow-Faktor (nach George Gamow) dient zur Berechnung der Tunnel-Wahrscheinlichkeit eines Teilchens innerhalb eines Atomkerns, also der Wahrscheinlichkeit, dass es die Coulombbarriere überwinden und den Kern verlassen kann. Mit dem Gamow-Faktor kann z. B. der Alpha-Zerfall rechnerisch modelliert werden.

Alpha-Zerfall Bearbeiten

Alphastrahlung

Beim Alpha-Zerfall verlässt ein Alphateilchen (ein 4He-Kern), welches aus zwei Neutronen und zwei Protonen besteht, den Atomkern, der dadurch an Masse und Ladung verliert. Seine Ordnungszahl Z, Neutronenzahl N und Massenzahl A ändern sich daher:

  • .

Da man den Grundzustand eines Kerns effektiv wie ein Fermi-Gas im Potentialtopf betrachten kann, ist es plausibel, dass sich innerhalb des Kerns mit gewisser Wahrscheinlichkeit mehrere Nukleonen zusammenfinden und einen gebundenen Zustand bilden können. Dabei wird Bindungsenergie frei, die die Wahrscheinlichkeit erhöht, dass das gebildete Teilchen die Coulombbarriere des Restkerns durchtunnelt.

Anschaulich ist klar, dass die Wahrscheinlichkeit für die Bildung solcher Nukleonverbindungen im Kern sehr stark mit wachsender Zahl der beteiligten Nukleonen abfällt. Die Formierung von Alphateilchen ist tatsächlich häufig, und da 4He ein doppelt magischer Kern ist, wird eine entsprechend große Bindungsenergie frei.

Die Transmission geschieht dann mit einer Wahrscheinlichkeit, welche sich über die WKB-Näherung berechnen lässt:

Hier ist der Radius des Kern-Potentialtopfes und die Breite, die ein Teilchen mit Energie durchtunneln muss. Für das Coulomb-Potential des Restkerns ergibt dies, abhängig von der Feinstrukturkonstante und der Austrittsgeschwindigkeit  :

Die Gesamtrate, mit der ein Kern durch Alphaemission zerfällt, ist – unter Berücksichtigung der Wahrscheinlichkeit für die Bildung eines Alphateilchens im Kern und der Frequenz , mit der das Alphateilchen im Kernpotential umläuft – gegeben durch:

Hierbei ist .

Die daraus berechnete Lebensdauer hängt sehr stark von und damit von ab. Dies erklärt, warum die Lebensdauern von α-instabilen Kernen zwischen einigen Nanosekunden und 1017 Jahren variieren.

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Der Gamow Faktor nach George Gamow dient zur Berechnung der Tunnel Wahrscheinlichkeit eines Teilchens innerhalb eines Atomkerns also der Wahrscheinlichkeit dass es die Coulombbarriere uberwinden und den Kern verlassen kann Mit dem Gamow Faktor kann z B der Alpha Zerfall rechnerisch modelliert werden Alpha Zerfall Bearbeiten nbsp AlphastrahlungBeim Alpha Zerfall verlasst ein Alphateilchen ein 4He Kern welches aus zwei Neutronen und zwei Protonen besteht den Atomkern der dadurch an Masse und Ladung verliert Seine Ordnungszahl Z Neutronenzahl N und Massenzahl A andern sich daher Z Z 2 displaystyle Z to Z 2 nbsp N N 2 displaystyle N to N 2 nbsp A A 4 displaystyle A to A 4 nbsp Da man den Grundzustand eines Kerns effektiv wie ein Fermi Gas im Potentialtopf betrachten kann ist es plausibel dass sich innerhalb des Kerns mit gewisser Wahrscheinlichkeit mehrere Nukleonen zusammenfinden und einen gebundenen Zustand bilden konnen Dabei wird Bindungsenergie frei die die Wahrscheinlichkeit erhoht dass das gebildete Teilchen die Coulombbarriere des Restkerns durchtunnelt Anschaulich ist klar dass die Wahrscheinlichkeit fur die Bildung solcher Nukleonverbindungen im Kern sehr stark mit wachsender Zahl der beteiligten Nukleonen abfallt Die Formierung von Alphateilchen ist tatsachlich haufig und da 4He ein doppelt magischer Kern ist wird eine entsprechend grosse Bindungsenergie frei nbsp Die Transmission geschieht dann mit einer Wahrscheinlichkeit welche sich uber die WKB Naherung berechnen lasst T exp 2 G displaystyle T exp 2G nbsp mit dem Gamow Faktor G R r E d r 2 m a V r E ℏ displaystyle G int R r E text d r sqrt 2m alpha V r E over hbar nbsp Hier ist R displaystyle R nbsp der Radius des Kern Potentialtopfes und r E R displaystyle r E R nbsp die Breite die ein Teilchen mit Energie E displaystyle E nbsp durchtunneln muss Fur das Coulomb Potential des Restkerns ergibt dies abhangig von der Feinstrukturkonstante a 1 137 textstyle alpha approx frac 1 137 nbsp und der Austrittsgeschwindigkeit b v c E textstyle beta v over c sim sqrt E nbsp G p 2 Z 2 a b displaystyle G approx pi 2 Z 2 alpha over beta nbsp Die Gesamtrate mit der ein Kern durch Alphaemission zerfallt ist unter Berucksichtigung der Wahrscheinlichkeit w a displaystyle w alpha nbsp fur die Bildung eines Alphateilchens im Kern und der Frequenz n v 0 2 R displaystyle nu v 0 over 2R nbsp mit der das Alphateilchen im Kernpotential umlauft gegeben durch G w a v 0 2 R exp 2 G displaystyle Gamma w alpha cdot v 0 over 2R cdot exp 2G nbsp Hierbei ist v 0 2 E E Boden Potentialtopf m a displaystyle v 0 sqrt frac 2 E E text Boden Potentialtopf m alpha nbsp Die daraus berechnete Lebensdauer hangt sehr stark von G displaystyle G nbsp und damit von E displaystyle sqrt E nbsp ab Dies erklart warum die Lebensdauern von a instabilen Kernen zwischen einigen Nanosekunden und 1017 Jahren variieren Weblinks BearbeitenGamow Theorie techniklexikon net Alpha Zerfall stellarcom org Sternentwicklung mpp mpg de Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Gamow Faktor amp oldid 228692743