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Ewaldkugel Mit Hilfe der benannt nach Paul Peter Ewald lässt sich die Laue Bedingung für konstruktive Interferenz bei de

Ewaldkugel

Mit Hilfe der Ewaldkugel (benannt nach Paul Peter Ewald) lässt sich die Laue-Bedingung für konstruktive Interferenz bei der Streuung an einem Kristall anschaulich darstellen. Die Konstruktion verknüpft dabei den (realen) Ortsraum und den reziproken Raum.

Ewaldkonstruktion

Konstruktion Bearbeiten

Im Folgenden wird für das reziproke Gitter

jeweils mit

Die Kugel wird wie folgt konstruiert (vgl. die Abbildung): Im Zentrum der Ewaldkugel liegt der Ursprung des Realraums, in dem sich der zu messende Kristall befindet (im Bild grün gezeichnet). Der Radius der Ewaldkugel beträgt 1/λ. Daher liegen alle Wellenvektoren auf der Oberfläche dieser Kugel (im Bild rot gezeichnet).

Der Ursprung des zu diesem Kristallgitter gehörenden reziproken Gitters (Punkte im Bild) wird in den Schnittpunkt der Ewaldkugel mit dem primären Röntgenstrahl gelegt, der durch den Kristall geht (im Bild blau gezeichnet). Der Röntgenstrahl läuft daher immer entlang eines Kugeldurchmessers.

Drehungen des Kristalls um den Ursprung des realen Raums führen zu einer entsprechenden Drehung des reziproken Gitters um den Ursprung des reziproken Raums. Reziprokes Gitter und Kristall behalten dabei dieselbe Orientierung. Wird der Kristall so gedreht, dass noch ein weiterer Punkt des reziproken Gitters auf der Oberfläche der Ewaldkugel liegt, so erfüllt der entsprechende Wellenvektor zusätzlich die Bedingung

Dies ist die Laue-Bedingung. Genau in diesem Fall findet also elastische Streuung in Richtung von statt.

Interpretation Bearbeiten

Diese Konstruktion dient zur Veranschaulichung vieler Messverfahren in der Kristallographie. Aus ihr wird z. B. ersichtlich, dass nur die Punkte des reziproken Gitters die Laue-Bedingung erfüllen können, die in einer Entfernung kleiner vom Ursprung entfernt liegen (im Bild dargestellt durch den schwarzen Kreis, die Lagenkugel mit Radius 2/λ).

So wird auch anschaulich klar, warum bei großen Wellenlängen (d. h. kleiner Wellenzahl ) keine Beugung am Kristall stattfinden kann: Es gibt keine möglichen Vektoren mehr, die die Laue-Bedingung erfüllen können, da die Ewald-Kugel zu klein wird.

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • P. P. Ewald: Zur Theorie der Interferenzen der Röntgenstrahlen in Kristallen. In: Physik. Z. Band 14, 1913, S. 465–472.
  • Martin J. Buerger: Kristallographie. 1. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin 1977, ISBN 3-11-004286-X.

Weblinks Bearbeiten

Ewald sphere (IUCr, engl.)

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Veröffentlichungsdatum:
Mit Hilfe der Ewaldkugel benannt nach Paul Peter Ewald lasst sich die Laue Bedingung fur konstruktive Interferenz bei der Streuung an einem Kristall anschaulich darstellen Die Konstruktion verknupft dabei den realen Ortsraum und den reziproken Raum Ewaldkonstruktion Inhaltsverzeichnis 1 Konstruktion 2 Interpretation 3 Siehe auch 4 Literatur 5 WeblinksKonstruktion BearbeitenIm Folgenden wird fur das reziproke Gitter die kristallographische Definition k 1 l displaystyle vec k frac 1 lambda nbsp verwendet anstatt der in der Festkorperphysik ublichen k 2 p l displaystyle vec k frac 2 pi lambda nbsp jeweils mit der Wellenlange l des einfallenden Strahls im Bild Rontgenstrahlung dem Wellenvektor k displaystyle vec k nbsp Die Kugel wird wie folgt konstruiert vgl die Abbildung Im Zentrum der Ewaldkugel liegt der Ursprung des Realraums in dem sich der zu messende Kristall befindet im Bild grun gezeichnet Der Radius der Ewaldkugel betragt 1 l Daher liegen alle Wellenvektoren k displaystyle vec k nbsp auf der Oberflache dieser Kugel im Bild rot gezeichnet Der Ursprung des zu diesem Kristallgitter gehorenden reziproken Gitters Punkte im Bild wird in den Schnittpunkt der Ewaldkugel mit dem primaren Rontgenstrahl gelegt der durch den Kristall geht im Bild blau gezeichnet Der Rontgenstrahl lauft daher immer entlang eines Kugeldurchmessers Drehungen des Kristalls um den Ursprung des realen Raums fuhren zu einer entsprechenden Drehung des reziproken Gitters um den Ursprung des reziproken Raums Reziprokes Gitter und Kristall behalten dabei dieselbe Orientierung Wird der Kristall so gedreht dass noch ein weiterer Punkt des reziproken Gitters auf der Oberflache der Ewaldkugel liegt so erfullt der entsprechende Wellenvektor k s displaystyle vec k s nbsp zusatzlich die Bedingung D k k s k i G displaystyle Delta vec k vec k s vec k i vec G nbsp ein Vektor des reziproken Gitters Dies ist die Laue Bedingung Genau in diesem Fall findet also elastische Streuung in Richtung von k s displaystyle vec k s nbsp statt Interpretation BearbeitenDiese Konstruktion dient zur Veranschaulichung vieler Messverfahren in der Kristallographie Aus ihr wird z B ersichtlich dass nur die Punkte des reziproken Gitters die Laue Bedingung erfullen konnen die in einer Entfernung kleiner 2 k s displaystyle 2 vec k s nbsp vom Ursprung entfernt liegen im Bild dargestellt durch den schwarzen Kreis die Lagenkugel mit Radius 2 l So wird auch anschaulich klar warum bei grossen Wellenlangen l displaystyle lambda nbsp d h kleiner Wellenzahl k k displaystyle vec k k nbsp keine Beugung am Kristall stattfinden kann Es gibt keine moglichen Vektoren G displaystyle vec G nbsp mehr die die Laue Bedingung erfullen konnen da die Ewald Kugel zu klein wird Siehe auch BearbeitenRontgenbeugung Elektronenbeugung DrehkristallmethodeLiteratur BearbeitenP P Ewald Zur Theorie der Interferenzen der Rontgenstrahlen in Kristallen In Physik Z Band 14 1913 S 465 472 Martin J Buerger Kristallographie 1 Auflage Walter de Gruyter Berlin 1977 ISBN 3 11 004286 X Weblinks BearbeitenEwald sphere IUCr engl Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Ewaldkugel amp oldid 229180865