Erneuerungsprozess Ein ist ein spezieller stochastischer Prozess der in der Erneuerungstheorie untersucht wird Er ist ei

Erneuerungsprozess

Ein Erneuerungsprozess ist ein spezieller stochastischer Prozess, der in der Erneuerungstheorie untersucht wird. Er ist ein Zählprozess, dessen Zwischenankunftszeiten unabhängige, identisch verteilte, nichtnegative Zufallsvariablen sind.

Begriffsherkunft Bearbeiten

Der Begriff Erneuerung hat seinen Ursprung in industriellen Anwendungen der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Typischerweise besitzen Systemkomponenten (z. B. Maschinen, Werkzeuge, Beleuchtungskörper) Lebenszeiten, die den Charakter nichtnegativer Zufallsvariablen haben. Wenn solche Komponenten ausfallen, müssen sie durch gleichartige Komponenten ersetzt (erneuert) werden, um das Funktionieren des Systems zu gewährleisten.

Definitionen Bearbeiten

seien die Zwischenankunftszeiten, z. B. die Lebenszeiten von Komponenten. Diese Zufallsvariablen werden als unabhängig und identisch verteilt angenommen. Außerdem seien die fast sicher positiv mit Erwartungswert .

Ihre gemeinsame Verteilungsfunktion werde mit bezeichnet, das heißt, es gilt . Falls die eine Wahrscheinlichkeitsdichte besitzen, wird diese mit bezeichnet.

Weiter sei der Zeitpunkt der -ten Erneuerung, das heißt

Die Verteilung von werde mit bezeichnet, d. h. .

Der Erneuerungsprozess ist nun der durch

definierte stochastische Prozess, das heißt ist die Anzahl der Erneuerungen bis zum Zeitpunkt .

Die Äquivalenz der Beschreibung über und kommt in folgender grundlegenden Beziehung zum Ausdruck

Beide Mengen enthalten genau diejenigen Elemente des zugrunde liegenden Wahrscheinlichkeitsraums, für die bis zum Zeitpunkt mindestens Erneuerungen stattgefunden haben.

Eigenschaften Bearbeiten

ist Summe identisch verteilter, unabhängiger Zufallsvariablen, daher ist die -fache Faltung der Verteilung und wird rekursiv wie folgt berechnet

wobei die Wahrscheinlichkeitsdichte von oben ist.

Es gilt

Mit obiger Notation sehen wir, dass folgende Integralgleichung erfüllt ist.

Beweis

Nach Zusammenfassen der Integrale und unter Beachtung von

folgt die Behauptung.

Die eben dargestellte Integralgleichung dient als Ausgangspunkt einer Theorie von Zählprozessen, deren Wartezeiten nicht exponentialverteilt sind. Sie ist somit eine Basis für die Generalisierung der Theorie der Poissonprozesse.

Die mittlere Anzahl der Erneuerungen im Zeitintervall heißt Erneuerungsfunktion und wird mit bezeichnet. Es gilt

Einzelnachweise Bearbeiten

Geoffry R. Grimmett, David R. Stirzaker: Probability and Random Processes. Clarendon Press, Oxford 1982, ISBN 0-19-853185-0.
Rainer Winkelmann: Duration Dependence and Dispersion in Count Data. In: Journal of Business & Economic Statistics. 13(4). Jahrgang, 1995, S. 467–474.
Blake McShane, Moshe Adrian, Eric T. Bradlow, Peter S. Fader: Count Models Based On Weibull Interarrival Times. In: Journal of Business & Economic Statistics. 26(3). Jahrgang, 2008, S. 369–378.

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Veröffentlichungsdatum: Februar 19, 2024, 11:26 am

Ein Erneuerungsprozess ist ein spezieller stochastischer Prozess der in der Erneuerungstheorie untersucht wird Er ist ein Zahlprozess dessen Zwischenankunftszeiten unabhangige identisch verteilte nichtnegative Zufallsvariablen sind Inhaltsverzeichnis 1 Begriffsherkunft 2 Definitionen 3 Eigenschaften 4 EinzelnachweiseBegriffsherkunft BearbeitenDer Begriff Erneuerung hat seinen Ursprung in industriellen Anwendungen der Wahrscheinlichkeitsrechnung Typischerweise besitzen Systemkomponenten z B Maschinen Werkzeuge Beleuchtungskorper Lebenszeiten die den Charakter nichtnegativer Zufallsvariablen haben Wenn solche Komponenten ausfallen mussen sie durch gleichartige Komponenten ersetzt erneuert werden um das Funktionieren des Systems zu gewahrleisten Definitionen BearbeitenX i i 1 2 displaystyle X i i 1 2 dotsc nbsp seien die Zwischenankunftszeiten z B die Lebenszeiten von Komponenten Diese Zufallsvariablen werden als unabhangig und identisch verteilt angenommen Ausserdem seien die X i displaystyle X i nbsp fast sicher positiv mit Erwartungswert 0 lt E X i lt displaystyle 0 lt E X i lt infty nbsp X i i N displaystyle X i i in mathbb N nbsp wird als Erneuerungsfolge bezeichnet Ihre gemeinsame Verteilungsfunktion werde mit F displaystyle F nbsp bezeichnet das heisst es gilt F t P X i t displaystyle F t P X i leq t nbsp Falls die X i displaystyle X i nbsp eine Wahrscheinlichkeitsdichte besitzen wird diese mit f displaystyle f nbsp bezeichnet Weiter sei S n displaystyle S n nbsp der Zeitpunkt der n displaystyle n nbsp ten Erneuerung das heisst S n i 1 n X i S 0 0 displaystyle S n sum i 1 n X i qquad S 0 equiv 0 nbsp Die Verteilung von S n displaystyle S n nbsp werde mit F n displaystyle F n nbsp bezeichnet d h F n t P S n t displaystyle F n t P S n leq t nbsp Der Erneuerungsprozess N t t 0 displaystyle N t t geq 0 nbsp ist nun der durch N t sup n N 0 S n t displaystyle N t sup n in mathbb N 0 S n leq t nbsp definierte stochastische Prozess das heisst N t displaystyle N t nbsp ist die Anzahl der Erneuerungen bis zum Zeitpunkt t displaystyle t nbsp Die Aquivalenz der Beschreibung uber N t displaystyle N t nbsp und S n displaystyle S n nbsp kommt in folgender grundlegenden Beziehung zum Ausdruck N t n S n t displaystyle N t geq n S n leq t nbsp Beide Mengen enthalten genau diejenigen Elemente des zugrunde liegenden Wahrscheinlichkeitsraums fur die bis zum Zeitpunkt t displaystyle t nbsp mindestens n displaystyle n nbsp Erneuerungen stattgefunden haben Eigenschaften BearbeitenS n displaystyle S n nbsp ist Summe identisch verteilter unabhangiger Zufallsvariablen daher ist F n displaystyle F n nbsp die n displaystyle n nbsp fache Faltung der Verteilung F displaystyle F nbsp und wird rekursiv wie folgt berechnet F n t 0 t F n 1 s f t s d s displaystyle F n t int 0 t F n 1 s f t s ds nbsp wobei f displaystyle f nbsp die Wahrscheinlichkeitsdichte von oben ist Es gilt 1 P N t n P S n t P S n 1 t F n t F n 1 t displaystyle P N t n P S n leq t P S n 1 leq t F n t F n 1 t nbsp Mit obiger Notation sehen wir dass folgende Integralgleichung erfullt ist P N t n 0 t P N s n 1 f t s d s displaystyle begin matrix P N t n amp amp int 0 t P N s n 1 f t s ds end matrix nbsp Beweis Wir gehen von P N t n F n t F n 1 t displaystyle P N t n F n t F n 1 t nbsp aus und ersetzen F n t 0 t F n 1 s f t s d s displaystyle F n t int 0 t F n 1 s f t s ds nbsp und F n 1 t 0 t F n 2 s f t s d s displaystyle F n 1 t int 0 t F n 2 s f t s ds nbsp ein und erhaltenP N t n 0 t F n 1 s f t s d s 0 t F n 2 s f t s d s displaystyle P N t n int 0 t F n 1 s f t s ds int 0 t F n 2 s f t s ds nbsp dd Nach Zusammenfassen der Integrale und unter Beachtung von F n 1 s F n 2 s P N s n 1 displaystyle F n 1 s F n 2 s P N s n 1 nbsp folgt die Behauptung Die eben dargestellte Integralgleichung dient als Ausgangspunkt einer Theorie von Zahlprozessen deren Wartezeiten nicht exponentialverteilt sind 2 3 Sie ist somit eine Basis fur die Generalisierung der Theorie der Poissonprozesse Die mittlere Anzahl der Erneuerungen im Zeitintervall 0 t displaystyle 0 t nbsp heisst Erneuerungsfunktion und wird mit m displaystyle m nbsp bezeichnet Es gilt m t E N t n 1 n F n t F n 1 t n 1 F n t displaystyle m t E N t sum n 1 infty n left F n t F n 1 t right sum n 1 infty F n t nbsp Einzelnachweise Bearbeiten Geoffry R Grimmett David R Stirzaker Probability and Random Processes Clarendon Press Oxford 1982 ISBN 0 19 853185 0 Rainer Winkelmann Duration Dependence and Dispersion in Count Data In Journal of Business amp Economic Statistics 13 4 Jahrgang 1995 S 467 474 Blake McShane Moshe Adrian Eric T Bradlow Peter S Fader Count Models Based On Weibull Interarrival Times In Journal of Business amp Economic Statistics 26 3 Jahrgang 2008 S 369 378 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Erneuerungsprozess amp oldid 227407335