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Durchbiegung Als länglicher Gegenstände wie Balken oder Stäben wird der Versatz zwischen belasteter und unbelasteter Lag

Durchbiegung

Als Durchbiegung länglicher Gegenstände wie Balken oder Stäben wird der Versatz zwischen belasteter und unbelasteter Lage bezeichnet, der bei Biegebelastung quer zur Längsachse entsteht.

unten: eine Biegelinie (blau), deren Abstand von der Geraden (schwarz) an einer Stelle x1 die örtliche Durchbiegung w1 ist

Die Durchbiegung lässt sich bei linear-elastischer Verformung mit Hilfe der Balkentheorie berechnen. Als Durchbiegung wird i. d. R. der Versatz bezeichnet, der in der dabei ermittelten Biegelinie an einer Stelle dargestellt wird.

Durchbiegung von Balken Bearbeiten

Die erste Biegetheorie stammt von Galilei (1564–1642). Weiter ausgebaut wurde sie v. a. durch das Hookesche Gesetz (1678) sowie im 17. und 18. Jahrhundert durch Forschungen von Jakob I Bernoulli, Leonhard Euler und Claude Navier.

Unter der Annahme, dass y und z die Hauptträgheitsachsen sind (y horizontal nach hinten und z vertikal) und dass sich die Krümmung in y-Richtung, d. h. die Ableitung des Steigungswinkels w' in der vertikalen xz-Bildebene, an der Stelle x wie folgt berechnen lässt: 

gilt:

mit

Für die Biegelinie eines hinreichend elastischen, schlanken Bauteiles mit konstantem Querschnitt lautet eine oft verwendete Näherungsformel der Krümmung für betragsmäßig kleine Steigungswinkel w'≈0 unter ausschließlicher Momentenbelastung ():

Die eigentlich gesuchte Durchbiegung w erhält man durch zweimalige Integration der Krümmung unter Berücksichtigung der Rand- und Übergangsbedingungen (u. a.: keine Durchbiegung an den Lagerstellen, d. h. ):

Beispiele Bearbeiten

Balken unter Mittellast

1. Beispiel Bearbeiten

Wirkt die Kraft F mittig (d. h. bei der halben Stablänge ) auf einen Träger mit konstanten Querschnittseigenschaften auf zwei Stützen, so ist das Biegemoment und damit auch die Stabkrümmung in der Stabmitte am größten (Erläuterung hier):

Für gilt unter Vernachlässigung der Schubverformungen (GA=∞):

damit folgt unter Berücksichtigung der Randbedingung und der Übergangsbedingung :

und somit:

2. Beispiel Bearbeiten

Wirkt eine konstante Liniengleichlast ( in N/m) auf einen Träger auf zwei Stützen mit konstanten Querschnittseigenschaften, so gilt unter Vernachlässigung der Schubverformungen (GA=∞):

Dies ergibt:

Anmerkung:
Bei Linienlast ist Ausgangsgleichung die 4. Ableitung der Biegelinie:

Diese (mit ) wurde viermal integriert, wobei nach dem zweiten Integrieren als Zwischenergebnis der Zusammenhang zwischen der Biegelinie und dem Biegemomentverlauf gefunden wurde:

Durchbiegung von Kreisflächen Bearbeiten

Bei flächenhafter Ausdehnung des Gegenstandes wird die Berechnung recht kompliziert, lässt sich aber bei Kreisflächen – etwa für Membranen (z. B. Lautsprecher) oder große Linsen (z. B. Fernrohrobjektive) – ebenfalls abschätzen.

Hat die Membran eine nur geringfügige Dicke d, so folgen die Biegemomente einer radialen bzw. tangentialen Differentialgleichung. Die Biegelinie der Kreismembran erfordert aber eine zusammengesetzte Differentialformel, die bei einer Querkraft Q genähert lautet:

mit

Komplexere Fälle Bearbeiten

Solange ein Gegenstand sich auf einer Ebene mit Querschnittseigenschaften/Plattenerzeugendeneingenschaften eindeutig abbildbar und homogen, orthotrop und linear elastisch aufgebaut ist, bietet die analytische Mechanik Lösungsmöglichkeiten auch für andere regelmäßige Formen (Airy’sche Spannungsfunktion). Auch Fälle mit unterschiedlichen Materialien sind genähert lösbar, wenn ihre Verbindungsstellen mechanisch klar definiert sind, z. B. bei axialer Anordnung.

Komplexere Formen sind jedoch nicht streng berechenbar. Sie werden oftmals durch Biegeversuche im Labor oder mathematisch-physikalisch durch Zerlegung in netzartige Teile (v. a. Finite-Elemente-Methoden) untersucht. Für Beton gibt es für die Baupraxis ausreichend genaue Annahmen, um es im ungerissenen Bereich (der Mikrorisse, jedoch keine Makrorisse enthält) als verschmiert homogenes Material betrachten zu können.

Literatur Bearbeiten

  • Heinz Parkus: Mechanik der festen Körper, 2. Auflage. Springer-Verlag, Wien 1966, ISBN 3-211-80777-2
  • Th. Dorfmüller, W. Hering, K. Stierstadt: Ludwig Bergmann–Clemens Schaefer Lehrbuch der Experimentalphysik. Band 1: Mechanik, Relativität, Wärme. 11., neubearb. Auflage, De Gruyter, Berlin 1998, ISBN 3-11-012870-5.
  • H. Mang, G Hofstetter: Festigkeitslehre. Springer Verlag, WienNewYork 2008 (3. Auflage), ISBN 978-3-211-72453-8, S. 176; 249.
  • Karl-Eugen Kurrer: Geschichte der Baustatik. Auf der Suche nach dem Gleichgewicht, Ernst und Sohn, Berlin 2016, ISBN 978-3-433-03134-6.

Siehe auch Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. ↑ H. Mang, G Hofstetter: Festigkeitslehre. Springer Verlag, WienNewYork 2008 (3. Auflage), ISBN 978-3-211-72453-8, S. 176; 249
  2. Pichler, Bernhard. Eberhardsteiner, Josef: Baustatik VO - LVA-Nr 202.065. Grafisches Zentrum an der Technischen Universität Wien, (Memento des Originals vom 13. März 2016 im Internet Archive)  Info: Der Archivlink wurde automatisch eingesetzt und noch nicht geprüft. Bitte prüfe Original- und Archivlink gemäß Anleitung und entferne dann diesen Hinweis.@1@2Vorlage:Webachiv/IABot/shop.tuverlag.at Wien 2016 ISBN 9783903024175 Kapitel 2.7.1 Queranteile und 10.2 Ausgewählte Lastglieder für die Queranteile
  3. Tobias Renno: www.statik-lernen.de. Abgerufen am 23. August 2017.
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Als Durchbiegung langlicher Gegenstande wie Balken oder Staben wird der Versatz zwischen belasteter und unbelasteter Lage bezeichnet der bei Biegebelastung quer zur Langsachse entsteht unten eine Biegelinie blau deren Abstand von der Geraden schwarz an einer Stelle x1 die ortliche Durchbiegung w1 istDie Durchbiegung lasst sich bei linear elastischer Verformung mit Hilfe der Balkentheorie berechnen Als Durchbiegung wird i d R der Versatz w 1 displaystyle w 1 bezeichnet der in der dabei ermittelten Biegelinie w x displaystyle w x an einer Stelle x 1 displaystyle x 1 dargestellt wird Inhaltsverzeichnis 1 Durchbiegung von Balken 1 1 Beispiele 1 1 1 1 Beispiel 1 1 2 2 Beispiel 2 Durchbiegung von Kreisflachen 3 Komplexere Falle 4 Literatur 5 Siehe auch 6 EinzelnachweiseDurchbiegung von Balken BearbeitenDie erste Biegetheorie stammt von Galilei 1564 1642 Weiter ausgebaut wurde sie v a durch das Hookesche Gesetz 1678 sowie im 17 und 18 Jahrhundert durch Forschungen von Jakob I Bernoulli Leonhard Euler und Claude Navier Unter der Annahme dass y und z die Haupttragheitsachsen sind y horizontal nach hinten und z vertikal und dass sich die Krummung k y x displaystyle kappa y x nbsp in y Richtung d h die Ableitung des Steigungswinkels w in der vertikalen xz Bildebene an der Stelle x wie folgt berechnen lasst 1 k y x d 2 w x d x 2 1 d w x d x 2 1 5 d 2 w x d x 2 w x displaystyle kappa y x frac frac mathrm d 2 w x mathrm d x 2 left 1 left frac mathrm d w x mathrm d x right 2 right 1 5 approx frac mathrm d 2 w x mathrm d x 2 w x nbsp gilt w x w b x w e x w s x k y b x k y e x d g x d x displaystyle begin aligned w x amp w b x w e x w s x amp kappa y b x kappa y e x frac mathrm d gamma x mathrm d x end aligned nbsp 1 2 mit Krummung k y b x M y x E I y y x displaystyle kappa y b x frac M y x EI yy x nbsp aufgrund von Biegung unter Annahme der Balkentheorie Biegemoment My quer zur Stabrichtung an der Stelle x Biegesteifigkeit E I y y x E I y y x displaystyle EI yy x E cdot I yy x nbsp Elastizitatsmodul E ein Materialkennwert im inelastischen z B Beton oder nichtlinearen Bereich z B Elastomerlager ist dieser mit einem geeigneten Sekantenmodul zu ersetzen Flachentragheitsmoment I des Balkenquerschnitts eine rein geometrische Eigenschaft eingepragter Krummung k y e x displaystyle kappa y e x nbsp z B zufolge Temperaturdifferenz Schubdeformation g x V x G A x displaystyle gamma x frac V x GA x nbsp zufolge Querkraft V displaystyle V nbsp Schubsteifigkeit G A x displaystyle GA x nbsp Schubmodul G displaystyle G nbsp Balken Querschnittsflache A displaystyle A nbsp in der yz Ebene Fur die Biegelinie eines hinreichend elastischen schlanken Bauteiles mit konstantem Querschnitt lautet eine oft verwendete Naherungsformel der Krummung fur betragsmassig kleine Steigungswinkel w 0 unter ausschliesslicher Momentenbelastung V 0 g 0 displaystyle V 0 Rightarrow gamma 0 nbsp k y x w x M y x E I y displaystyle kappa y x w x approx frac M y x E cdot I y nbsp Die eigentlich gesuchte Durchbiegung w erhalt man durch zweimalige Integration der Krummung unter Berucksichtigung der Rand und Ubergangsbedingungen u a keine Durchbiegung an den Lagerstellen d h w x 0 w x L 0 displaystyle w x 0 w x L 0 nbsp w x k y x d x M y x E I y d x displaystyle begin aligned Rightarrow w x amp int int kappa y x mathrm dx amp approx int int frac M y x E cdot I y mathrm dx end aligned nbsp Beispiele Bearbeiten nbsp Balken unter Mittellast1 Beispiel Bearbeiten Wirkt die Kraft F mittig d h bei der halben Stablange l 2 displaystyle frac l 2 nbsp auf einen Trager mit konstanten Querschnittseigenschaften auf zwei Stutzen so ist das Biegemoment und damit auch die Stabkrummung in der Stabmitte am grossten Erlauterung hier w m a x w x l 2 displaystyle w mathrm max w left x frac l 2 right nbsp Fur 0 x l 2 displaystyle 0 leq x leq frac l 2 nbsp gilt unter Vernachlassigung der Schubverformungen GA M y x F 2 x displaystyle M y x frac F 2 cdot x nbsp w x F 2 x E I displaystyle Rightarrow w x frac frac F 2 cdot x EI nbsp damit folgt unter Berucksichtigung der Randbedingung w x 0 0 displaystyle w x 0 0 nbsp und der Ubergangsbedingung w x l 2 0 displaystyle w x frac l 2 0 nbsp w x F x 3 12 E I F l 2 x 16 E I displaystyle w x frac F cdot x 3 12EI frac F cdot l 2 cdot x 16EI nbsp und somit w m a x F l 3 48 E I displaystyle w mathrm max frac F cdot l 3 48EI nbsp 2 Beispiel Bearbeiten Wirkt eine konstante Liniengleichlast q 0 displaystyle q 0 nbsp in N m 3 auf einen Trager auf zwei Stutzen mit konstanten Querschnittseigenschaften so gilt unter Vernachlassigung der Schubverformungen GA w x q 0 12 E I l x 3 x 4 2 l 3 x 2 displaystyle w x frac q 0 12 cdot EI left l cdot x 3 frac x 4 2 frac l 3 cdot x 2 right nbsp Dies ergibt w m a x w x l 2 5 l 4 q 0 384 E I displaystyle w mathrm max w left x frac l 2 right frac 5 cdot l 4 cdot q 0 384 cdot EI nbsp Anmerkung Bei Linienlast q x displaystyle q x nbsp ist Ausgangsgleichung die 4 Ableitung der Biegelinie w x q x E I displaystyle w x frac q x EI nbsp Diese mit q x q 0 displaystyle q x q 0 nbsp wurde viermal integriert wobei nach dem zweiten Integrieren als Zwischenergebnis der Zusammenhang zwischen der Biegelinie und dem Biegemomentverlauf gefunden wurde w x M x E I q 0 x 2 E I x l displaystyle w x frac M x EI frac q 0 cdot x 2 cdot EI cdot x l nbsp Durchbiegung von Kreisflachen Bearbeiten Hauptartikel Biegelinie Kreismembran Bei flachenhafter Ausdehnung des Gegenstandes wird die Berechnung recht kompliziert lasst sich aber bei Kreisflachen etwa fur Membranen z B Lautsprecher oder grosse Linsen z B Fernrohrobjektive ebenfalls abschatzen Hat die Membran eine nur geringfugige Dicke d so folgen die Biegemomente einer radialen bzw tangentialen Differentialgleichung Die Biegelinie der Kreismembran erfordert aber eine zusammengesetzte Differentialformel die bei einer Querkraft Q genahert lautet d 3 w d r 3 1 r d 2 w d r 2 1 r 2 d w d r Q D displaystyle frac mathrm d 3 w mathrm d r 3 frac 1 r frac mathrm d 2 w mathrm d r 2 frac 1 r 2 frac mathrm d w mathrm d r frac Q D nbsp mit Widerstandsmoment D E d 3 12 1 n 2 displaystyle D frac E cdot d 3 12 cdot 1 nu 2 nbsp Poissonzahl n des Materials Komplexere Falle BearbeitenSolange ein Gegenstand sich auf einer Ebene mit Querschnittseigenschaften Plattenerzeugendeneingenschaften eindeutig abbildbar und homogen orthotrop und linear elastisch aufgebaut ist bietet die analytische Mechanik Losungsmoglichkeiten auch fur andere regelmassige Formen Airy sche Spannungsfunktion Auch Falle mit unterschiedlichen Materialien sind genahert losbar wenn ihre Verbindungsstellen mechanisch klar definiert sind z B bei axialer Anordnung Komplexere Formen sind jedoch nicht streng berechenbar Sie werden oftmals durch Biegeversuche im Labor oder mathematisch physikalisch durch Zerlegung in netzartige Teile v a Finite Elemente Methoden untersucht Fur Beton gibt es fur die Baupraxis ausreichend genaue Annahmen um es im ungerissenen Bereich der Mikrorisse jedoch keine Makrorisse enthalt als verschmiert homogenes Material betrachten zu konnen Literatur BearbeitenHeinz Parkus Mechanik der festen Korper 2 Auflage Springer Verlag Wien 1966 ISBN 3 211 80777 2 Th Dorfmuller W Hering K Stierstadt Ludwig Bergmann Clemens Schaefer Lehrbuch der Experimentalphysik Band 1 Mechanik Relativitat Warme 11 neubearb Auflage De Gruyter Berlin 1998 ISBN 3 11 012870 5 H Mang G Hofstetter Festigkeitslehre Springer Verlag WienNewYork 2008 3 Auflage ISBN 978 3 211 72453 8 S 176 249 Karl Eugen Kurrer Geschichte der Baustatik Auf der Suche nach dem Gleichgewicht Ernst und Sohn Berlin 2016 ISBN 978 3 433 03134 6 Siehe auch BearbeitenFlachentragwerkEinzelnachweise Bearbeiten a b H Mang G Hofstetter Festigkeitslehre Springer Verlag WienNewYork 2008 3 Auflage ISBN 978 3 211 72453 8 S 176 249 Pichler Bernhard Eberhardsteiner Josef Baustatik VO LVA Nr 202 065 Grafisches Zentrum an der Technischen Universitat Wien TU Verlag Memento des Originals vom 13 Marz 2016 im Internet Archive nbsp Info Der Archivlink wurde automatisch eingesetzt und noch nicht gepruft Bitte prufe Original und Archivlink gemass Anleitung und entferne dann diesen Hinweis 1 2 Vorlage Webachiv IABot shop tuverlag at Wien 2016 ISBN 9783903024175 Kapitel 2 7 1 Queranteile und 10 2 Ausgewahlte Lastglieder fur die Queranteile Tobias Renno www statik lernen de Abgerufen am 23 August 2017 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Durchbiegung amp oldid 197090485