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Dualität von Tests und Konfidenzbereichen Die auch Dualität von Tests und Konfidenzintervallen ist in der mathematischen

Dualität von Tests und Konfidenzbereichen

Die Dualität von Tests und Konfidenzbereichen, auch Dualität von Tests und Konfidenzintervallen, ist in der mathematischen Statistik eine Verbindung zwischen Konfidenzbereichen und statistischen Tests, die es ermöglicht, aus Konfidenzbereichen Tests zu konstruieren und umgekehrt. Somit können auch Konstruktionsverfahren aus dem einen Themengebiet in das andere übertragen werden. Des Weiteren wird diese Dualität beispielsweise zur Beschreibung von Optimalitätseigenschaften von Konfidenzbereichen verwendet.

Einführendes Beispiel Bearbeiten

Gegeben sei ein statistisches Modell sowie ein Messraum . Ein wesentlicher Unterschied zwischen statistischen Tests und Konfidenzintervallen ist, dass ein Test als Funktionswerte 0 oder 1 annimmt bzw. im Falle eines randomisierten Tests Werte zwischen null und eins. Ein Test ist also eine Abbildung

Konfidenzintervalle hingegen nehmen als Werte Mengen an, also Elemente aus , sind also Abbildungen

mit zusätzlichen Messbarkeitseigenschaften, für Details siehe Bereichsschätzer.

Angenommen es handelt sich um ein parametrisches Modell und der Parameter soll geschätzt werden. Dann ist und die zu schätzende Funktion (Parameterfunktion) ist

Per Definition eines Konfidenzintervalls mit Konfidenzniveau gilt

Wählt man nun konkret ein fixes aus , so ist

und

Definiert man nun einen statistischen Test

durch

wobei die Indikatorfunktion auf der Menge bezeichnet, so ist dies ein statistischer Test der Hypothese gegen die Alternative . Nach der Gleichung (1) hält er das Signifikanzniveau ein.

Als konkretes Beispiel betrachte man das Normalverteilungsmodell mit bekannter Varianz und unbekanntem Erwartungswert , also das statistische Modell . Ein rechtsseitig unbeschränktes Konfidenzintervall für den unbekannten Erwartungswert zum Konfidenzniveau ist gegeben durch

Hierbei bezeichnet das -Quantil der Standardnormalverteilung, welches aus der Quantiltabelle der Standardnormalverteilung entnommen werden kann und

das Stichprobenmittel. Es folgt für einen festen Mittelwert

Somit ergibt sich als statistischer Test zum Niveau von gegen

Dualität mittels Formhypothesen Bearbeiten

Allgemeiner kann eine Bijektion zwischen den Konfidenzbereichen und den nichtrandomisierten Tests mittels des Konzepts der Formhypothesen hergestellt werden. Gegeben seien Formhypothesen und korrespondierende Testhypothesen zu einem statistischen Modell und einem Entscheidungsraum .

Nichtrandomisierte Tests aus Konfidenzbereichen Bearbeiten

Sei ein Konfidenzbereich zu den Formhypothesen zum Konfidenzniveau . Definiere für jedes die Menge

Dann ist für jedes

ein Test zum Niveau für die Nullhypothese gegen die Alternative . Die Menge ist somit genau der Annahmebereich des Tests .

Konfidenzbereiche aus nichtrandomisierten Tests Bearbeiten

Gegeben sei für jedes ein nichtrandomisierter Test zum Niveau der Nullhypothese gegen die Alternative mit dem Annahmebereich . Die Tests sind also von der Form

Dann ist

ein Konfidenzbereich zum Konfidenzniveau zu den Formhypothesen

Korrespondenz der Optimalitätsbegriffe Bearbeiten

Über die Formhypothesen und die korrespondierenden Testhypothesen lassen sich nicht nur Tests konstruieren, sondern es lassen sich auch Optimalitätsaussagen von Tests auf Konfidenzbereiche übertragen und umgekehrt. Es gilt:

Ein Konfidenzbereich zu den Formhypothesen und dem Konfidenzniveau ist genau dann ein gleichmäßig bester Konfidenzbereich (bzw. ein gleichmäßig bester unverfälschter Konfidenzbereich), wenn für jedes der Test wie er oben beschrieben wurde eine gleichmäßig bester Test (bzw. ein gleichmäßig bester unverfälschter Test) zum Niveau für die Nullhypothese gegen die Alternative ist.

Literatur Bearbeiten

  • Ludger Rüschendorf: Mathematische Statistik. Springer Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-41996-6, doi:10.1007/978-3-642-41997-3.
  • Claudia Czado, Thorsten Schmidt: Mathematische Statistik. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2011, ISBN 978-3-642-17260-1, doi:10.1007/978-3-642-17261-8.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Ludger Rüschendorf: Mathematische Statistik. Springer Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-41996-6, S. 240, doi:10.1007/978-3-642-41997-3.
  2. Claudia Czado, Thorsten Schmidt: Mathematische Statistik. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2011, ISBN 978-3-642-17260-1, S. 158, doi:10.1007/978-3-642-17261-8.
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Die Dualitat von Tests und Konfidenzbereichen auch Dualitat von Tests und Konfidenzintervallen ist in der mathematischen Statistik eine Verbindung zwischen Konfidenzbereichen und statistischen Tests die es ermoglicht aus Konfidenzbereichen Tests zu konstruieren und umgekehrt Somit konnen auch Konstruktionsverfahren aus dem einen Themengebiet in das andere ubertragen werden Des Weiteren wird diese Dualitat beispielsweise zur Beschreibung von Optimalitatseigenschaften von Konfidenzbereichen verwendet 1 Inhaltsverzeichnis 1 Einfuhrendes Beispiel 2 Dualitat mittels Formhypothesen 2 1 Nichtrandomisierte Tests aus Konfidenzbereichen 2 2 Konfidenzbereiche aus nichtrandomisierten Tests 2 3 Korrespondenz der Optimalitatsbegriffe 3 Literatur 4 EinzelnachweiseEinfuhrendes Beispiel BearbeitenGegeben sei ein statistisches Modell X A P ϑ ϑ 8 displaystyle mathcal X mathcal A P vartheta vartheta in Theta nbsp sowie ein Messraum G A G displaystyle Gamma mathcal A Gamma nbsp Ein wesentlicher Unterschied zwischen statistischen Tests und Konfidenzintervallen ist dass ein Test als Funktionswerte 0 oder 1 annimmt bzw im Falle eines randomisierten Tests Werte zwischen null und eins Ein Test ist also eine Abbildung T X A 0 1 B 0 1 displaystyle T colon mathcal X mathcal A to 0 1 mathcal B 0 1 nbsp Konfidenzintervalle hingegen nehmen als Werte Mengen an also Elemente aus A G displaystyle A Gamma nbsp sind also Abbildungen C X A G displaystyle C colon mathcal X to mathcal A Gamma nbsp mit zusatzlichen Messbarkeitseigenschaften fur Details siehe Bereichsschatzer Angenommen es handelt sich um ein parametrisches Modell und der Parameter soll geschatzt werden Dann ist G 8 displaystyle Gamma Theta nbsp und die zu schatzende Funktion Parameterfunktion ist g ϑ ϑ displaystyle g vartheta vartheta nbsp Per Definition eines Konfidenzintervalls C X displaystyle C X nbsp mit Konfidenzniveau 1 a displaystyle 1 alpha nbsp gilt P ϑ x X ϑ C X 1 a f u r a l l e ϑ 8 displaystyle P vartheta x in mathcal X mid vartheta in C X geq 1 alpha quad mathrm f ddot u r alle vartheta in Theta nbsp Wahlt man nun konkret ein fixes ϑ 0 displaystyle vartheta 0 nbsp aus 8 displaystyle Theta nbsp so ist P ϑ 0 x X ϑ 0 C X a displaystyle P vartheta 0 x in mathcal X mid vartheta 0 notin C X leq alpha qquad nbsp 1 und P ϑ x X ϑ C X 1 a f u r a l l e ϑ 8 ϑ 0 displaystyle P vartheta x in mathcal X mid vartheta in C X geq 1 alpha quad mathrm f ddot u r alle vartheta in Theta setminus vartheta 0 nbsp Definiert man nun einen statistischen Test T C X 0 1 displaystyle T C colon mathcal X to 0 1 nbsp durch T C X 1 x X ϑ 0 C X X displaystyle T C X mathbf 1 x in mathcal X mid vartheta 0 notin C X X nbsp wobei 1 A displaystyle mathbf 1 A nbsp die Indikatorfunktion auf der Menge A displaystyle A nbsp bezeichnet so ist dies ein statistischer Test der Hypothese H 0 ϑ 0 displaystyle H 0 vartheta 0 nbsp gegen die Alternative H 1 8 ϑ 0 displaystyle H 1 Theta setminus vartheta 0 nbsp Nach der Gleichung 1 halt er das Signifikanzniveau a displaystyle alpha nbsp ein 2 Als konkretes Beispiel betrachte man das Normalverteilungsmodell mit bekannter Varianz s 0 2 displaystyle sigma 0 2 nbsp und unbekanntem Erwartungswert m displaystyle mu nbsp also das statistische Modell R n B R n N m s 0 2 m R displaystyle mathbb R n mathcal B mathbb R n mathcal N mu sigma 0 2 mu in mathbb R nbsp Ein rechtsseitig unbeschranktes Konfidenzintervall fur den unbekannten Erwartungswert zum Konfidenzniveau 1 a displaystyle 1 alpha nbsp ist gegeben durch C X X s 0 n u 1 a displaystyle C X left overline X tfrac sigma 0 sqrt n u 1 alpha infty right nbsp Hierbei bezeichnet u a displaystyle u alpha nbsp das a displaystyle alpha nbsp Quantil der Standardnormalverteilung welches aus der Quantiltabelle der Standardnormalverteilung entnommen werden kann und X 1 n i 1 n X i displaystyle overline X frac 1 n sum i 1 n X i nbsp das Stichprobenmittel Es folgt fur einen festen Mittelwert m 0 R displaystyle mu 0 in mathbb R nbsp m 0 C X m 0 lt X s 0 n u 1 a m 0 s 0 n u 1 a lt X displaystyle mu 0 notin C X iff mu 0 lt overline X tfrac sigma 0 sqrt n u 1 alpha iff mu 0 tfrac sigma 0 sqrt n u 1 alpha lt overline X nbsp Somit ergibt sich als statistischer Test zum Niveau a displaystyle alpha nbsp von H 0 m 0 displaystyle H 0 mu 0 nbsp gegen H 1 R m 0 displaystyle H 1 mathbb R setminus mu 0 nbsp T X m 0 1 falls m 0 s 0 n u 1 a lt X 0 sonst displaystyle T X mu 0 begin cases 1 amp text falls quad mu 0 tfrac sigma 0 sqrt n u 1 alpha lt overline X 0 amp text sonst end cases nbsp Dualitat mittels Formhypothesen BearbeitenAllgemeiner kann eine Bijektion zwischen den Konfidenzbereichen und den nichtrandomisierten Tests mittels des Konzepts der Formhypothesen hergestellt werden Gegeben seien Formhypothesen H ϑ K ϑ ϑ 8 displaystyle tilde H vartheta tilde K vartheta vartheta in Theta nbsp und korrespondierende Testhypothesen H g K g g G displaystyle H gamma K gamma gamma in Gamma nbsp zu einem statistischen Modell X A P ϑ ϑ 8 displaystyle mathcal X mathcal A P vartheta vartheta in Theta nbsp und einem Entscheidungsraum G A G displaystyle Gamma mathcal A Gamma nbsp Nichtrandomisierte Tests aus Konfidenzbereichen Bearbeiten Sei C displaystyle C nbsp ein Konfidenzbereich zu den Formhypothesen H ϑ K ϑ ϑ 8 displaystyle tilde H vartheta tilde K vartheta vartheta in Theta nbsp zum Konfidenzniveau 1 a displaystyle 1 alpha nbsp Definiere fur jedes g displaystyle gamma nbsp die Menge A C g x X g C x displaystyle A C gamma x in mathcal X mid gamma in C x nbsp Dann ist fur jedes g displaystyle gamma nbsp f g x 1 falls x A C g 0 falls x A C g displaystyle varphi gamma x begin cases 1 amp text falls quad x notin A C gamma 0 amp text falls quad x in A C gamma end cases nbsp ein Test zum Niveau a displaystyle alpha nbsp fur die Nullhypothese H g displaystyle H gamma nbsp gegen die Alternative K g displaystyle K gamma nbsp Die Menge A C g displaystyle A C gamma nbsp ist somit genau der Annahmebereich des Tests f g displaystyle varphi gamma nbsp Konfidenzbereiche aus nichtrandomisierten Tests Bearbeiten Gegeben sei fur jedes g displaystyle gamma nbsp ein nichtrandomisierter Test zum Niveau a displaystyle alpha nbsp der Nullhypothese H g displaystyle H gamma nbsp gegen die Alternative K g displaystyle K gamma nbsp mit dem Annahmebereich A g displaystyle A gamma nbsp Die Tests sind also von der Form f g x 1 falls x A g 0 falls x A g displaystyle varphi gamma x begin cases 1 amp text falls quad x notin A gamma 0 amp text falls quad x in A gamma end cases nbsp Dann ist C x g G x A g displaystyle C x gamma in Gamma mid x in A gamma nbsp ein Konfidenzbereich zum Konfidenzniveau 1 a displaystyle 1 alpha nbsp zu den Formhypothesen H ϑ K ϑ ϑ 8 displaystyle tilde H vartheta tilde K vartheta vartheta in Theta nbsp Korrespondenz der Optimalitatsbegriffe Bearbeiten Uber die Formhypothesen und die korrespondierenden Testhypothesen lassen sich nicht nur Tests konstruieren sondern es lassen sich auch Optimalitatsaussagen von Tests auf Konfidenzbereiche ubertragen und umgekehrt Es gilt Ein Konfidenzbereich zu den Formhypothesen H ϑ K ϑ ϑ 8 displaystyle tilde H vartheta tilde K vartheta vartheta in Theta nbsp und dem Konfidenzniveau 1 a displaystyle 1 alpha nbsp ist genau dann ein gleichmassig bester Konfidenzbereich bzw ein gleichmassig bester unverfalschter Konfidenzbereich wenn fur jedes g displaystyle gamma nbsp der Test f g displaystyle varphi gamma nbsp wie er oben beschrieben wurde eine gleichmassig bester Test bzw ein gleichmassig bester unverfalschter Test zum Niveau a displaystyle alpha nbsp fur die Nullhypothese H g displaystyle H gamma nbsp gegen die Alternative K g displaystyle K gamma nbsp ist Literatur BearbeitenLudger Ruschendorf Mathematische Statistik Springer Verlag Berlin Heidelberg 2014 ISBN 978 3 642 41996 6 doi 10 1007 978 3 642 41997 3 Claudia Czado Thorsten Schmidt Mathematische Statistik Springer Verlag Berlin Heidelberg 2011 ISBN 978 3 642 17260 1 doi 10 1007 978 3 642 17261 8 Einzelnachweise Bearbeiten Ludger Ruschendorf Mathematische Statistik Springer Verlag Berlin Heidelberg 2014 ISBN 978 3 642 41996 6 S 240 doi 10 1007 978 3 642 41997 3 Claudia Czado Thorsten Schmidt Mathematische Statistik Springer Verlag Berlin Heidelberg 2011 ISBN 978 3 642 17260 1 S 158 doi 10 1007 978 3 642 17261 8 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Dualitat von Tests und Konfidenzbereichen amp oldid 187383007