Formhypothesen Als bezeichnet man in der mathematischen Statistik eine Erweiterung des Standardformalismus bei Konfidenz

Formhypothesen

Als Formhypothesen bezeichnet man in der mathematischen Statistik eine Erweiterung des Standardformalismus bei Konfidenzbereichen. Dabei wird durch die Formhypothesen vorgegeben, welche Werte im Konfidenzbereich enthalten sein sollen und welche nicht. Dies ermögliche die Formulierung von Optimalitätsbegriffen für Konfidenzbereich wie beispielsweise gleichmäßig beste Konfidenzbereiche. Über das duale Konzept der zugehörigen Testhypothesen lässt sich dann eine Beziehung von Konfidenzbereichen und Tests herstellen, mit der sich Konfidenzintervalle aus Test konstruieren lassen und umgekehrt.

Formhypothesen Bearbeiten

Gegeben sei ein statistisches Modell , wobei die Indexmenge der Wahrscheinlichkeitsmaße ist. Des Weiteren sei eine zu schätzende Funktion

gegeben, die im parametrischen Fall meist als Parameterfunktion bezeichnet wird und in den Entscheidungsraum abbildet.

Als Formhypothesen zu wird dann eine Familie bezeichnet, so dass und ist sowie

Anschaulich enthält alle "korrekten" Werte, welche von dem Konfidenzbereich möglichst überdeckt werden sollen. Analog enthält alle "inkorrekten" Werte, die möglichst nicht im Konfidenzbereich enthalten sein sollen.

Beispiel Bearbeiten

Gegeben sei ein einfaches statistisches Modell , wobei die Normalverteilung mit Varianz eins ist. Geschätzt werden soll der Mittelwert, also ist

Somit sind die Indexmenge und der Entscheidungsraum beide gleich, es ist .

Mögliche Formhypothesen wären

Diese sagen aus, dass der Bereich, welcher symmetrisch um den Mittelwert liegt möglichst überdeckt werden soll, wohingegen alles außerhalb möglichst nicht überdeckt werden soll. Zu beachten ist, dass in der Definition nicht gefordert wird, dass , die Hypothesen also für jedes den Entscheidungsraum disjunkt zerlegen. So wäre in diesem Beispiel durchaus möglich, oder zu wählen.

Konfidenzbereiche zu Formhypothesen Bearbeiten

Definition Bearbeiten

Ist ein Konfidenzbereich

gegeben sowie Formhypothesen , so heißt ein Konfidenzbereich für zum Konfidenzniveau , wenn für alle gilt:

Beispiel Bearbeiten

Wählt man als Formhypothesen

und beliebig (aber disjunkt), so lautet der Konfidenzbereich zu den Formhypothesen

und entspricht somit genau der klassischen Formulierung eines Konfidenzbereiches zum Konfidenzniveau .

Testhypothesen Bearbeiten

Analog zu den Formhypothesen werden die Testhypothesen zu gegebenen Formhypothesen definiert. Im Gegensatz zu diesen sind sie Teilmengen der Indexmenge statt des Entscheidungsraumes .

Definition Bearbeiten

Gegeben seien Formhypothesen . Dann heißt , definiert durch

und

die Testhypothesen zu den Formhypothesen.

Beispiel Bearbeiten

Führt man das obige Beispiel fort, so erhält man

und

In diesem Beispiel sind die Formhypothesen und die Testhypothesen identisch, auch wenn sie formell auf verschiedenen Mengen definiert sind: Einmal auf der Indexmenge und einmal auf dem Entscheidungsraum . Im Allgemeinen stimmen diese beiden Mengen nicht überein.

Literatur Bearbeiten

Ludger Rüschendorf: Mathematische Statistik. Springer Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-41996-6, S. 240–247, doi:10.1007/978-3-642-41997-3.

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Veröffentlichungsdatum: November 29, 2023, 05:41 am

Als Formhypothesen bezeichnet man in der mathematischen Statistik eine Erweiterung des Standardformalismus bei Konfidenzbereichen Dabei wird durch die Formhypothesen vorgegeben welche Werte im Konfidenzbereich enthalten sein sollen und welche nicht Dies ermogliche die Formulierung von Optimalitatsbegriffen fur Konfidenzbereich wie beispielsweise gleichmassig beste Konfidenzbereiche Uber das duale Konzept der zugehorigen Testhypothesen lasst sich dann eine Beziehung von Konfidenzbereichen und Tests herstellen mit der sich Konfidenzintervalle aus Test konstruieren lassen und umgekehrt Inhaltsverzeichnis 1 Formhypothesen 2 Beispiel 3 Konfidenzbereiche zu Formhypothesen 3 1 Definition 3 2 Beispiel 4 Testhypothesen 4 1 Definition 4 2 Beispiel 5 LiteraturFormhypothesen BearbeitenGegeben sei ein statistisches Modell X A P ϑ ϑ 8 displaystyle X mathcal A P vartheta vartheta in Theta nbsp wobei 8 displaystyle Theta nbsp die Indexmenge der Wahrscheinlichkeitsmasse ist Des Weiteren sei eine zu schatzende Funktion g 8 G displaystyle g colon Theta to Gamma nbsp gegeben die im parametrischen Fall meist als Parameterfunktion bezeichnet wird und in den Entscheidungsraum G displaystyle Gamma nbsp abbildet Als Formhypothesen zu g displaystyle g nbsp wird dann eine Familie H ϑ K ϑ ϑ 8 displaystyle tilde H vartheta tilde K vartheta vartheta in Theta nbsp bezeichnet so dass H ϑ G displaystyle tilde H vartheta subset Gamma nbsp und K ϑ G displaystyle tilde K vartheta subset Gamma nbsp ist sowie H ϑ K ϑ displaystyle tilde H vartheta cap tilde K vartheta emptyset nbsp fur alle ϑ 8 displaystyle vartheta in Theta nbsp Anschaulich enthalt H ϑ displaystyle tilde H vartheta nbsp alle korrekten Werte welche von dem Konfidenzbereich moglichst uberdeckt werden sollen Analog enthalt K ϑ displaystyle tilde K vartheta nbsp alle inkorrekten Werte die moglichst nicht im Konfidenzbereich enthalten sein sollen Beispiel BearbeitenGegeben sei ein einfaches statistisches Modell R B R P ϑ ϑ R displaystyle mathbb R mathcal B mathbb R P vartheta vartheta in mathbb R nbsp wobei P ϑ N ϑ 1 displaystyle P vartheta mathcal N vartheta 1 nbsp die Normalverteilung mit Varianz eins ist Geschatzt werden soll der Mittelwert also ist g ϑ ϑ displaystyle g vartheta vartheta nbsp Somit sind die Indexmenge und der Entscheidungsraum beide gleich es ist 8 G R displaystyle Theta Gamma mathbb R nbsp Mogliche Formhypothesen waren H ϑ ϑ 2 ϑ 2 displaystyle tilde H vartheta vartheta 2 vartheta 2 nbsp sowie K ϑ R H ϑ displaystyle tilde K vartheta mathbb R setminus tilde H vartheta nbsp fur alle ϑ R displaystyle vartheta in mathbb R nbsp Diese sagen aus dass der Bereich welcher symmetrisch um den Mittelwert liegt moglichst uberdeckt werden soll wohingegen alles ausserhalb moglichst nicht uberdeckt werden soll Zu beachten ist dass in der Definition nicht gefordert wird dass H ϑ K ϑ G displaystyle tilde H vartheta cup tilde K vartheta Gamma nbsp die Hypothesen also fur jedes ϑ displaystyle vartheta nbsp den Entscheidungsraum disjunkt zerlegen So ware in diesem Beispiel durchaus moglich K ϑ ϑ 2 displaystyle tilde K vartheta vartheta 2 infty nbsp oder K ϑ displaystyle tilde K vartheta emptyset nbsp zu wahlen Konfidenzbereiche zu Formhypothesen BearbeitenDefinition Bearbeiten Ist ein Konfidenzbereich C X P G displaystyle C colon X to mathcal P Gamma nbsp gegeben sowie Formhypothesen H ϑ K ϑ ϑ 8 displaystyle tilde H vartheta tilde K vartheta vartheta in Theta nbsp so heisst C displaystyle C nbsp ein Konfidenzbereich fur g displaystyle g nbsp zum Konfidenzniveau 1 a displaystyle 1 alpha nbsp wenn fur alle ϑ 8 displaystyle vartheta in Theta nbsp gilt P ϑ g C 1 a displaystyle P vartheta gamma in C geq 1 alpha nbsp fur alle g H ϑ displaystyle gamma in tilde H vartheta nbsp Beispiel Bearbeiten Wahlt man als Formhypothesen H ϑ g ϑ displaystyle tilde H vartheta g vartheta nbsp und K ϑ displaystyle tilde K vartheta nbsp beliebig aber disjunkt so lautet der Konfidenzbereich zu den Formhypothesen P ϑ g ϑ C 1 a displaystyle P vartheta g vartheta in C geq 1 alpha nbsp fur alle ϑ 8 displaystyle vartheta in Theta nbsp und entspricht somit genau der klassischen Formulierung eines Konfidenzbereiches zum Konfidenzniveau 1 a displaystyle 1 alpha nbsp Testhypothesen BearbeitenAnalog zu den Formhypothesen werden die Testhypothesen zu gegebenen Formhypothesen definiert Im Gegensatz zu diesen sind sie Teilmengen der Indexmenge 8 displaystyle Theta nbsp statt des Entscheidungsraumes G displaystyle Gamma nbsp Definition Bearbeiten Gegeben seien Formhypothesen H ϑ K ϑ ϑ 8 displaystyle tilde H vartheta tilde K vartheta vartheta in Theta nbsp Dann heisst H g K g g G displaystyle H gamma K gamma gamma in Gamma nbsp definiert durch H g ϑ 8 g H ϑ displaystyle H gamma vartheta in Theta mid gamma in tilde H vartheta nbsp und K g ϑ 8 g K ϑ displaystyle K gamma vartheta in Theta mid gamma in tilde K vartheta nbsp die Testhypothesen zu den Formhypothesen Beispiel Bearbeiten Fuhrt man das obige Beispiel fort so erhalt man H g ϑ 8 g ϑ 2 ϑ 2 ϑ 2 ϑ 2 displaystyle H gamma vartheta in Theta mid gamma in vartheta 2 vartheta 2 vartheta 2 vartheta 2 nbsp und K g ϑ 8 g H ϑ R ϑ 2 ϑ 2 displaystyle K gamma vartheta in Theta mid gamma notin tilde H vartheta mathbb R setminus vartheta 2 vartheta 2 nbsp In diesem Beispiel sind die Formhypothesen und die Testhypothesen identisch auch wenn sie formell auf verschiedenen Mengen definiert sind Einmal auf der Indexmenge 8 displaystyle Theta nbsp und einmal auf dem Entscheidungsraum G displaystyle Gamma nbsp Im Allgemeinen stimmen diese beiden Mengen nicht uberein Literatur BearbeitenLudger Ruschendorf Mathematische Statistik Springer Verlag Berlin Heidelberg 2014 ISBN 978 3 642 41996 6 S 240 247 doi 10 1007 978 3 642 41997 3 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Formhypothesen amp oldid 178199649