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Dirichletsches Teilerproblem Das Dirichletsche Teilerproblem ist ein mathematisches Problem aus dem Umfeld der analytisc

Dirichletsches Teilerproblem

Das Dirichletsche Teilerproblem ist ein mathematisches Problem aus dem Umfeld der analytischen Zahlentheorie. Es trifft eine Aussage über das asymptotische Verhalten von Summen über Teileranzahlfunktionen. Bis heute gilt das Problem als offen.

Anfang des 20. Jahrhunderts wurde das Problem von Adolf Piltz wesentlich zum Piltzschen Teilerproblem verallgemeinert.

Formulierung Bearbeiten

Bezeichnet die Funktion, welche die Anzahl der Teiler von zählt, so gilt

Die Abschätzung wurde von Peter Gustav Lejeune Dirichlet gezeigt. Das Dirichletsche Teilerproblem fragt nun nach der genauen Natur des Fehlers . Betrachtet wird die Menge aller reellen Zahlen mit der Eigenschaft . Das Problem lautet: wie groß ist ?

Verallgemeinerung Bearbeiten

Dieses Problem lässt sich verallgemeinern. Dazu definiert man

Während ist und alle Paare mit abzählt (mit anderen Worten die Teiler von ), zählt alle Tupel mit ab. Es ist bekannt, dass dann

mit einer Polynomfunktion von Grad gilt. Das Piltzsche Teilerproblem fragt nun nach der Natur des Fehlers .

Lösungsansätze Bearbeiten

Ein wichtiger Schritt in Richtung einer (allgemeinen) Lösung wäre der Beweis der Lindelöfschen Vermutung, die eine Aussage über das Wachstum der Riemannschen Zeta-Funktion im sog. kritischen Streifen macht.

Über Integration einer geschlossenen Kurve und die Perronschen Formeln folgt

Dabei ist eine Polynomfunktion vom Grade , und . Der Term ist durch das Residuum der Funktion an der Stelle 1 gegeben. Hintergrund dieses Zusammenhangs ist, dass die Dirichlet-Reihe der Funktion durch die erzeugt wird. Durch die Wahl erhält man mittels :

Dieser Ansatz über Kurvenintegration ist jedoch vermutlich noch weit von einer endgültigen Lösung entfernt, da für weitere Verbesserungen detailliertere Kenntnisse über die Riemannsche Zeta-Funktion vorliegen müssen.

Fortschritte Bearbeiten

Im Laufe der Jahre wurden immer bessere Abschätzungen gefunden. Bessere Werte wurden von G. F. Woronoi (1903, ), J. van der Corput (1922, ) sowie M. N. Huxley () angegeben. Auf der anderen Seite zeigten G. H. Hardy und E. Landau, dass gelten muss.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. J. Brüdern: Einführung in die analytische Zahlentheorie. Springer Verlag, Berlin/Heidelberg 1995, S. 133.
  2. J. Brüdern: Einführung in die analytische Zahlentheorie. Springer Verlag, Berlin/Heidelberg 1995, S. 132.
  3. J. Brüdern: Einführung in die analytische Zahlentheorie. Springer Verlag, Berlin/Heidelberg 1995, S. 133.
  4. G. Voronoï: Sur un problème du calcul des fonctions asymptotiques. In: J. Reine Angew. Math. 126 (1903) S. 241–282.
  5. J. G. van der Corput: Verschärfung der Abschätzung beim Teilerproblem. In: Math. Ann. 87 (1922) 39–65. Berichtigungen 89 (1923) S. 160.
  6. M. N. Huxley: Exponential Sums and Lattice Points III. In: Proc. London Math. Soc. Band 87, Nr. 3, 2003, S. 591–609.
  7. G. H. Hardy: On Dirichlet’s divisor problem. In: Lond. M. S. Proc. (2) 15 (1915) 1–25.
    Vgl. G. H. Hardy, E. M. Wright: An Introduction to the Theory of Numbers. 4. Auflage, Oxford University Press, Oxford 1975. ISBN 0-19-853310-1, S. 272.
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Veröffentlichungsdatum:
Das Dirichletsche Teilerproblem ist ein mathematisches Problem aus dem Umfeld der analytischen Zahlentheorie Es trifft eine Aussage uber das asymptotische Verhalten von Summen uber Teileranzahlfunktionen Bis heute gilt das Problem als offen Anfang des 20 Jahrhunderts wurde das Problem von Adolf Piltz wesentlich zum Piltzschen Teilerproblem verallgemeinert Inhaltsverzeichnis 1 Formulierung 2 Verallgemeinerung 3 Losungsansatze 4 Fortschritte 5 EinzelnachweiseFormulierung BearbeitenBezeichnet d n displaystyle d n nbsp die Funktion welche die Anzahl der Teiler von n displaystyle n nbsp zahlt so gilt n x d n x log x 2 g 1 x D x displaystyle sum n leq x d n x log x 2 gamma 1 x Delta x nbsp Die Abschatzung D x O x displaystyle Delta x O sqrt x nbsp wurde von Peter Gustav Lejeune Dirichlet gezeigt Das Dirichletsche Teilerproblem fragt nun nach der genauen Natur des Fehlers D x displaystyle Delta x nbsp Betrachtet wird die Menge D displaystyle D nbsp aller reellen Zahlen b displaystyle beta nbsp mit der Eigenschaft D x O x b displaystyle Delta x O x beta nbsp Das Problem lautet wie gross ist inf D displaystyle inf D nbsp Verallgemeinerung BearbeitenDieses Problem lasst sich verallgemeinern Dazu definiert man d k n u 1 u k u 1 u k n 1 displaystyle d k n sum u 1 dotsc u k atop u 1 cdots u k n 1 nbsp Wahrend d 2 n d n displaystyle d 2 n d n nbsp ist und alle Paare u 1 u 2 displaystyle u 1 u 2 nbsp mit u 1 u 2 n displaystyle u 1 u 2 n nbsp abzahlt mit anderen Worten die Teiler von n displaystyle n nbsp zahlt d k n displaystyle d k n nbsp alle Tupel u 1 u k displaystyle u 1 dots u k nbsp mit u 1 u k n displaystyle u 1 cdots u k n nbsp ab Es ist bekannt dass dann n x d k n x P k log x D k x displaystyle sum n leq x d k n xP k log x Delta k x nbsp mit einer Polynomfunktion P k displaystyle P k nbsp von Grad k 1 displaystyle k 1 nbsp gilt Das Piltzsche Teilerproblem fragt nun nach der Natur des Fehlers D k x displaystyle Delta k x nbsp Losungsansatze BearbeitenEin wichtiger Schritt in Richtung einer allgemeinen Losung ware der Beweis der Lindelofschen Vermutung die eine Aussage uber das Wachstum der Riemannschen Zeta Funktion im sog kritischen Streifen macht Uber Integration einer geschlossenen Kurve und die Perronschen Formeln folgt 1 n x d k n x P k log x O x 1 e T x s 0 T z s i t k s i t d t displaystyle sum n leq x d k n xP k log x O left frac x 1 varepsilon T x sigma int limits 0 T frac zeta sigma mathrm i t k sigma mathrm i t mathrm d t right nbsp Dabei ist P k displaystyle P k nbsp eine Polynomfunktion vom Grade k 1 displaystyle k 1 nbsp x 2 T k 2 1 displaystyle x geq 2T k 2 geq 1 nbsp und 0 lt s lt 1 displaystyle 0 lt sigma lt 1 nbsp Der Term x P k log x displaystyle xP k log x nbsp ist durch das Residuum der Funktion z s k x s s displaystyle zeta s k x s s nbsp an der Stelle 1 gegeben Hintergrund dieses Zusammenhangs ist dass die Dirichlet Reihe der Funktion z s k displaystyle zeta s k nbsp durch die d k n displaystyle d k n nbsp erzeugt wird 2 Durch die Wahl T x 2 k 4 displaystyle T x 2 k 4 nbsp erhalt man mittels z 1 2 i t O t 1 4 e displaystyle textstyle zeta tfrac 1 2 mathrm i t O t 1 4 varepsilon nbsp 3 n x d k n x P k log x O x 1 2 k 4 e displaystyle sum n leq x d k n xP k log x O x 1 frac 2 k 4 varepsilon nbsp Dieser Ansatz uber Kurvenintegration ist jedoch vermutlich noch weit von einer endgultigen Losung entfernt da fur weitere Verbesserungen detailliertere Kenntnisse uber die Riemannsche Zeta Funktion vorliegen mussen Fortschritte BearbeitenIm Laufe der Jahre wurden immer bessere Abschatzungen gefunden Bessere Werte wurden von G F Woronoi 1903 x 1 3 log x displaystyle x tfrac 1 3 log x nbsp 4 J van der Corput 1922 b 33 100 displaystyle beta tfrac 33 100 nbsp 5 sowie M N Huxley b 131 416 displaystyle beta tfrac 131 416 nbsp 6 angegeben Auf der anderen Seite zeigten G H Hardy und E Landau dass b 1 4 displaystyle beta geq tfrac 1 4 nbsp gelten muss 7 Einzelnachweise Bearbeiten J Brudern Einfuhrung in die analytische Zahlentheorie Springer Verlag Berlin Heidelberg 1995 S 133 J Brudern Einfuhrung in die analytische Zahlentheorie Springer Verlag Berlin Heidelberg 1995 S 132 J Brudern Einfuhrung in die analytische Zahlentheorie Springer Verlag Berlin Heidelberg 1995 S 133 G Voronoi Sur un probleme du calcul des fonctions asymptotiques In J Reine Angew Math 126 1903 S 241 282 J G van der Corput Verscharfung der Abschatzung beim Teilerproblem In Math Ann 87 1922 39 65 Berichtigungen 89 1923 S 160 M N Huxley Exponential Sums and Lattice Points III In Proc London Math Soc Band 87 Nr 3 2003 S 591 609 G H Hardy On Dirichlet s divisor problem In Lond M S Proc 2 15 1915 1 25 Vgl G H Hardy E M Wright An Introduction to the Theory of Numbers 4 Auflage Oxford University Press Oxford 1975 ISBN 0 19 853310 1 S 272 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Dirichletsches Teilerproblem amp oldid 229414928