Die Perronsche Formel benannt nach Oskar Perron ist eine wichtige Summationsformel die in der analytischen Zahlentheorie Verwendung hat Grob gesagt druckt sie Summen zahlentheoretischer Funktionen bis zu einer Abbruchschranke uber ein Integral aus welches die von eben dieser Funktion erzeugte Dirichlet Reihe enthalt Aussage BearbeitenEs sei F s n 1 a n n s displaystyle textstyle F s sum n 1 infty a n n s nbsp eine Dirichlet Reihe die irgendwo konvergiert s c displaystyle sigma c nbsp ihre Konvergenzabszisse und s a displaystyle sigma a nbsp ihre absolute Konvergenzabszisse Fur jedes x R N displaystyle x in mathbb R setminus mathbb N nbsp definiert man die summatorische Funktion A x n lt x a n 1 2 a x displaystyle A x sum n lt x a n frac 1 2 a x nbsp wobei a x displaystyle a x nbsp fur alle nicht naturlichen x displaystyle x nbsp einfach 0 ist Dann gilt fur k gt max 0 s c displaystyle kappa gt max 0 sigma c nbsp die Formel A x 1 2 p i k i k i F s x s d s s displaystyle A x frac 1 2 pi i int kappa i infty kappa i infty F s x s frac mathrm d s s nbsp wobei das Integral im Falle von x R gt 0 N displaystyle x in mathbb R gt 0 setminus mathbb N nbsp bedingt konvergiert und fur x N displaystyle x in mathbb N nbsp im Sinne des Cauchyschen Hauptwertes existiert Effektive Versionen BearbeitenEs existieren auch effektive Formulierungen der Perronschen Formel In diesen bricht das Integral nach endlichem Weg ab und es kann eine Fehlerabschatzung gegeben werden Unter den gleichen Voraussetzungen wie in der nicht effektiven Version gilt fur k gt max 0 s a displaystyle kappa gt max 0 sigma a nbsp T 1 displaystyle T geq 1 nbsp und x 1 displaystyle x geq 1 nbsp A x n x a n 1 2 p i k i T k i T F s x s d s s O x k n 1 a n n k 1 T log x n displaystyle A x sum n leq x a n frac 1 2 pi i int kappa iT kappa iT F s x s frac mathrm d s s O left x kappa sum n 1 infty frac a n n kappa 1 T log left frac x n right right nbsp Dabei bezeichnet O displaystyle O nbsp die O Notation von Landau Diese wird manchmal auch Erste effektive Perronsche Formel genannt Unter weiteren Voraussetzungen an die Dirichlet Reihe kann dieses Resultat noch verbessert werden Gibt es eine Zahl a 0 displaystyle alpha geq 0 nbsp mit der Eigenschaft n 1 a n n s O s s s a s a lt s s a 1 displaystyle sum n 1 infty a n n sigma O sigma sigma s alpha qquad sigma a lt sigma leq sigma a 1 nbsp und ist B n displaystyle B n nbsp eine nicht fallende Funktion mit a n B n displaystyle a n leq B n nbsp so gilt fur x T 2 displaystyle x T geq 2 nbsp s s a displaystyle sigma leq sigma a nbsp k s a s 1 log x displaystyle kappa sigma a sigma frac 1 log x nbsp die Formel n x a n n s 1 2 p i k i T k i T F s w x w d w w O x s a s log x a T B 2 x x s 1 log T T displaystyle sum n leq x frac a n n s frac 1 2 pi i int kappa iT kappa iT F s w x w frac mathrm d w w O left x sigma a sigma frac log x alpha T frac B 2x x sigma left 1 frac log T T right right nbsp Diese wird auch als Zweite effektive Perronsche Formel bezeichnet Literatur BearbeitenGerald Tenenbaum Introduction to Analytic and Probabilistic Number Theory AMS Vol 163 1995 S 217 227 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Perronsche Formel amp oldid 210472088
