Dilatation und Kompression

Dilatation und Kompression sind Begriffe aus dem mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis, genauer der Operatortheorie. Es geht darum, stetige, lineare Operatoren auf einem Hilbertraum dadurch zu untersuchen, dass man den Raum vergrößert und den Operator auf den größeren Raum mit besseren Eigenschaften ausdehnt.

Definition

Sei ein Hilbertraum und die C*-Algebra der stetigen, linearen Operatoren . Eine Dilatation eines Operators besteht aus

• einem Hilbertraum , der als Unterraum enthält, und
• einem Operator , so dass , wobei die Einschränkung auf bedeutet und die Orthogonalprojektion auf ist.

Ist eine Dilatation von , so nennt man eine Kompression von .

Eine Dilatation von heißt eine Potenzdilatation oder starke Dilatation, wenn mit obigen Bezeichnungen für alle gilt.

Bemerkungen

• Die Idee der Dilatationen geht auf Béla Szőkefalvi-Nagy zurück.

• Eine Kompression ist keine Einschränkung, denn mit den Bezeichnungen obiger Definition muss die Elemente aus nicht nach abbilden, das wird erst durch die nachfolgende Projektion , die als Abbildung aufgefasst wird, erzwungen. „drückt“ die Werte von nach zurück, was die Bezeichnung Kompression motiviert. Mit einer echten Einschränkung hat man es erst zu tun, wenn man zu den quadratischen Formen bzw. übergeht, es gilt offenbar .

• In Anwendungen sucht man zu Operatoren Dilatationen mit besseren Eigenschaften, wendet diese im jeweiligen Kontext an und schaut, was das für die Kompression bedeutet.

Existenz von Dilatationen

Viele Beweise der folgenden Aussagen gehen auf Sz.-Nagy zurück, in der hier angegebenen Quelle „Paul Halmos“ sind die Beweise sehr leicht zugänglich.

• Ist eine Kontraktion, das heißt für die Operatornorm gilt , so hat eine unitäre Dilatation. Man kann dazu wählen. Schreibt man die Operatoren aus als -Matrizen mit Komponenten aus , so ist

• Insbesondere hat jeder stetige, lineare Operator eine normale Dilatation.
• Ist eine positive Kontraktion, das heißt gilt , so ist Kompression einer Orthogonalprojektion. Dazu kann man wieder obige Matrixidee verwenden. Der Operator

• Die erste Aussage über Kontraktionen kann verschärft werden: Jede Kontraktion hat eine unitäre Potenzdilatation. Dazu kann man als die mit indizierte abzählbare orthogonale Summe mit Summanden nehmen, als Unterraum auffassen und auf geeignete unendliche Matrizen betrachten.
• Sind zwei kommutierende Kontraktionen, so gibt es eine Hilbertraumerweiterung und zwei kommutierende unitäre Opeartoren , so dass Potenzdilatation von und Potenzdilatation von ist. Für drei oder mehr paarweise kommutierende Kontraktionen ist eine analoge Aussage falsch.

Einzelnachweise

1. Bela Sz.-Nagy: Unitary Dilations of Hilbert Space Operators and Related Topics. In: American Mathematical Society (Hrsg.): Regional Conference Series in Mathematics. Band 19, 1974, ISBN 0-8218-1669-1 (englisch). 
2. Bela Sz.-Nagy: Prolongements des transformations de l'espace de Hilbert qui sortent de cet espace. Budapest 1955 (französisch). 
3. Paul Halmos: A Hilbert Space Problem Book. Springer, New York 1974, ISBN 978-1-4684-9330-6, Kapitel 18. Unitary dilations (englisch). 
4. T. Ando: On a Pair of Commutative Contractions. In: Acta Scientarum Mathematicorum. Band 24, 1963, S. 88–90 (englisch). 
5. Bela Sz.-Nagy, Ciprian Foias: Harmonic Analysis of Operators on Hilbert Space. North Holland Publishing Company, 1970, ISBN 0-444-10046-6, Kapitel I (englisch).