Die Carleman Ungleichung benannt nach dem schwedischen Mathematiker Torsten Carleman ist eine elementare Ungleichung der Analysis Sie besagt dass eine Reihe geometrischer Mittel einer Folge a k k displaystyle a k k durch ein konstantes Vielfaches der Reihe a k displaystyle sum a k von oben beschrankt ist Genauer besagt sie dass die eulersche Zahl e displaystyle e die kleinste Konstante ist die als Vielfaches diese Schranke erfullt Die Carleman Ungleichung wurde erstmals 1923 von Torsten Carleman publiziert Inhaltsverzeichnis 1 Satz 1 1 Aussage 1 2 Beweis 2 Varianten 3 LiteraturSatz BearbeitenAussage Bearbeiten Sei a k k a 1 a 2 a 3 displaystyle a k k a 1 a 2 a 3 ldots nbsp eine Folge reeller nicht negativer Zahlen Bezeichne e displaystyle e nbsp die eulersche Zahl e 2 718 28 displaystyle e approx 2 71828 ldots nbsp Dann gilt k 1 a 1 a 2 a k k e k 1 a k displaystyle sum k 1 infty sqrt k a 1 a 2 ldots a k leq e cdot sum k 1 infty a k nbsp Dabei ist e displaystyle e nbsp die kleinste Zahl die diese Aussage erfullt Beweis Bearbeiten Wegen 1 n n 1 1 n 1 n 1 displaystyle frac 1 n n 1 frac 1 n frac 1 n 1 nbsp ist n k 1 n n 1 1 k displaystyle sum n k infty frac 1 n n 1 frac 1 k quad nbsp Teleskopsumme und aus 1 e n lt k 1 n k k 1 k k 1 n k 1 k k k 1 k 1 n 1 n 1 n 1 n n 1 n displaystyle frac 1 e n lt prod k 1 n left frac k k 1 right k prod k 1 n frac k 1 k k k 1 k 1 frac n 1 n 1 n 1 frac n n 1 n nbsp folgt 1 e lt n n n 1 displaystyle frac 1 e lt frac sqrt n n n 1 nbsp k 1 a k k 1 n k 1 n n 1 k a k 1 k n 1 n n 1 k a k n 1 1 n 1 1 n k 1 n k a k displaystyle sum k 1 infty a k sum k 1 infty sum n k infty frac 1 n n 1 k a k sum 1 leq k leq n frac 1 n n 1 k a k sum n 1 infty frac 1 n 1 frac 1 n sum k 1 n k a k nbsp und das ist nach der AM GM Ungleichung n 1 1 n 1 k 1 n k a k n n 1 n n n 1 k 1 n a k n 1 e n 1 a 1 a n n displaystyle geq sum n 1 infty frac 1 n 1 sqrt n prod k 1 n k a k sum n 1 infty frac sqrt n n n 1 sqrt n prod k 1 n a k geq frac 1 e sum n 1 infty sqrt n a 1 cdots a n qquad Box nbsp Varianten BearbeitenFur eine Funktion f displaystyle f nbsp mit f 0 displaystyle f not equiv 0 nbsp gilt folgende kontinuierliche Variante der Carleman Ungleichung 0 exp 1 x 0 x ln f t d t d x lt e 0 f x d x displaystyle int 0 infty exp left frac 1 x int 0 x ln f t dt right dx lt e cdot int 0 infty f x dx nbsp Literatur BearbeitenG H Hardy J E Littlewood G Polya Inequalities 2nd edition Cambridge University Press Cambridge u a 1952 2 edition 1 paperback edition reprinted transferred to digital print ebenda 2001 ISBN 0 521 35880 9 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Carleman Ungleichung amp oldid 195070290
