Eine Teleskopsumme ist in der Mathematik eine endliche Summe von Differenzen bei der je zwei Nachbarglieder ausser dem ersten und dem letzten sich gegenseitig aufheben Diesen Vorgang nennt man Teleskopieren einer Summe Der Begriff ist abgeleitet vom Ineinanderschieben zweier oder mehrerer zylindrischer Rohre Zusammenschieben eines Teleskops Namensgeber der TeleskopsummeEin zusammenschiebbares TeleskopFalls a k k N displaystyle a k k in mathbb N eine Folge ist so ist i 1 n a i a i 1 displaystyle sum i 1 n a i a i 1 eine Teleskopsumme Kann man eine Summe als Teleskopsumme schreiben vereinfacht sich ihre Auswertung i 1 n a i a i 1 a 1 a 2 a 2 a 3 a n 1 a n a n a n 1 a 1 a n 1 displaystyle sum i 1 n a i a i 1 a 1 a 2 a 2 a 3 cdots a n 1 a n a n a n 1 a 1 a n 1 Eine Reihe deren Teilsummen Teleskopsummen sind heisst Teleskopreihe Eine Teleskopreihe i 1 a i a i 1 displaystyle sum i 1 infty a i a i 1 ist genau dann konvergent wenn a k k N displaystyle a k k in mathbb N gegen einen Grenzwert g displaystyle g konvergiert Die Summe der Reihe ist dann gleich a 1 g displaystyle a 1 g Analoges gilt fur ein Produkt i 1 n a i 1 a i a 2 a 1 a 3 a 2 a 4 a 3 a n a n 1 a n 1 a n a n 1 a 1 displaystyle prod i 1 n frac a i 1 a i frac a 2 a 1 cdot frac a 3 a 2 cdot frac a 4 a 3 cdots frac a n a n 1 cdot frac a n 1 a n frac a n 1 a 1 ist sozusagen ein Teleskopprodukt Komplizierter ist die Situation wenn das Teleskop uber drei oder auch mehr aufeinanderfolgende Glieder lauft siehe Beispiel In der Zahlentheorie stellen Teleskopsummen ein wichtiges Hilfsmittel dar Beispiele Bearbeitenendliche geometrische Reihe x 1 k 0 n x k k 0 n x k 1 x k x n 1 1 displaystyle x 1 sum k 0 n x k sum k 0 n x k 1 x k x n 1 1 nbsp Teleskopsummen sind oft ein wenig versteckt und lassen sich beispielsweise durch Partialbruchzerlegung erkennen Die Partialbruchzerlegung von 1 k k 1 displaystyle frac 1 k k 1 nbsp erhalt man beispielsweise mittels1 k k 1 k 1 k k k 1 k 1 k k 1 k k k 1 1 k 1 k 1 displaystyle frac 1 k k 1 frac k 1 k k k 1 frac k 1 k k 1 frac k k k 1 frac 1 k frac 1 k 1 nbsp dd Daraus folgt k 1 n 1 k k 1 k 1 n 1 k 1 k 1 1 1 n 1 displaystyle sum k 1 n frac 1 k k 1 sum k 1 n left frac 1 k frac 1 k 1 right 1 frac 1 n 1 nbsp dd dreifache Teleskopsumme x 1 2 k 1 n k x k 1 k 1 n k x k 1 2 k x k k x k 1 k 1 n k x k 1 k 1 x k k 1 n k 1 x k k x k 1 n x n 1 n 1 x n 1 displaystyle begin aligned x 1 2 sum k 1 n kx k 1 amp sum k 1 n kx k 1 2kx k kx k 1 sum k 1 n kx k 1 k 1 x k sum k 1 n k 1 x k kx k 1 amp nx n 1 n 1 x n 1 end aligned nbsp dd Alternativ folgt dies fur x 1 displaystyle x neq 1 nbsp durch Differentiation aus dem ersten Beispiel mit Hilfe der Quotientenregel k 1 n k x k 1 d d x k 0 n x k d d x x n 1 1 x 1 n 1 x n x 1 x n 1 1 x 1 2 n x n 1 n 1 x n 1 x 1 2 displaystyle sum k 1 n kx k 1 frac rm d rm d x sum k 0 n x k frac rm d rm d x frac x n 1 1 x 1 frac n 1 x n x 1 x n 1 1 x 1 2 frac nx n 1 n 1 x n 1 x 1 2 nbsp dd Dies ist ein wichtiges Anwendungsbeispiel der Differentialrechnung als Kalkul bei der Termumformung Literatur BearbeitenRolf Walter Einfuhrung in die Analysis Band 1 Walter de Gruyter Berlin u a 2007 ISBN 978 3 11 019539 2 S 31 32 Auszug in der Google Buchsuche Harro Heuser Lehrbuch der Analysis Band 1 6 Auflage unveranderter Nachdruck der 5 durchgesehenen Auflage Teubner Stuttgart u a 1989 ISBN 3 519 42221 2 S 91 94 194 Weblinks Bearbeiten nbsp Wikibooks Mathe fur Nicht Freaks Teleskopsumme und Teleskopreihe Lern und Lehrmaterialien Telescoping Sum auf PlanetMath Po Shen Loh Telescoping Sums and Products PDF 66 kB Beispiele von Teleskopsummen und Teleskopprodukten Philippe B Laval Telescoping Sums PDF 95 1 kB Herleitung eines allgemeinen Satzes fur Teleskopsummen der Form n 1 1 n n k displaystyle sum n 1 infty frac 1 n cdot n k nbsp Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Teleskopsumme amp oldid 224679444
