www.wikidata.de-de.nina.az

Pfad Stochastik Als einen Pfad bezeichnet man in der Stochastik die Realisierungen eines stochastischen Prozesses Deutet

Pfad (Stochastik)

Als einen Pfad bezeichnet man in der Stochastik die Realisierungen eines stochastischen Prozesses. Deutet man die Indexmenge des Prozesses als Zeit und die Werte des Prozesses als räumliche Position, so "läuft" der Prozess mit zunehmender Zeit einen Pfad ab. Wichtig hierbei ist, dass es sich bei den Pfaden um Konkretisierungen bzw. Auswertungen des stochastischen Prozesses handelt. Dies lässt sich wie folgt vorstellen: Der stochastische Prozess hat ein gewisses Potential, bestimmte Zustände anzunehmen, ebenso wie ein Würfel ein Potential hat, eine gewisse Augenzahl zu zeigen. Ein Pfad eines Prozesses entspricht nun einer Konkretisierung dieses Potentials, am Beispiel des Würfels entspricht dies der Bestimmung einer Augenzahl durch das Werfen des Würfels.

Definition Bearbeiten

Zwei Beispielpfade eines Standard-Wiener-Prozesses. Die grau schraffierte Fläche markiert die Standardabweichung (vergleiche Gleichung von Bienayme).

Gegeben sei ein stochastischer Prozess auf dem Wahrscheinlichkeitsraum mit Indexmenge , der Werte in annimmt.

Dann heißt für die Abbildung

mit Definitionsmenge und Zielmenge ein Pfad von .

Bemerkung Bearbeiten

Oft ist man an Eigenschaften von Pfaden wie beispielsweise Stetigkeit interessiert. Dafür benötigt man noch zusätzliche Struktur auf der Zielmenge wie zum Beispiel eine Metrik. Allgemein handelt es sich bei Pfaden um Funktionen in einer reellen Variable, bei entsprechender Struktur auf der Zielmenge können Pfaden demnach auch Eigenschaften wie Differenzierbarkeit oder ähnliches zukommen.

Haben für fast alle die Pfade die Eigenschaft , so sagt man auch, dass der Prozess fast sicher die Eigenschaft besitzt. Somit kann man auch sinnvoll von stetigen, càdlàg oder differenzierbaren stochastischen Prozessen sprechen.

Beispiel Bearbeiten

Betrachte als Beispiel eine unabhängig identisch Bernoulli-verteilte Folge von Zufallsvariablen mit Parameter . Dies entspricht einem Bernoulli-Prozess. Ein möglicher Pfad wäre

ein weiterer

Die konkrete Wahrscheinlichkeit des Pfades ist hier irrelevant, solange er möglich ist.

Verwendung: Visualisierung und Klassifikation stochastischer Prozesse Bearbeiten

Pfade finden oft Verwendung in der Modellierung und der Visualisierung von stochastischen Prozessen. Außerdem werden einige stochastische Prozesse über die Eigenschaften ihrer Pfade definiert. So nennt man einen stochastischen Prozess einen

So wird beim Wiener-Prozess beispielsweise in der Definition gefordert, dass er stetig sein soll.

Literatur Bearbeiten

  • Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, S. 469, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.
  • David Meintrup, Stefan Schäffler: Stochastik. Theorie und Anwendungen. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 2005, ISBN 978-3-540-21676-6, S. 269, doi:10.1007/b137972.
wikipedia, wiki, deutsches, deutschland, buch, bücher, bibliothek artikel lesen, herunterladen kostenlos kostenloser herunterladen, MP3, Video, MP4, 3GP, JPG, JPEG, GIF, PNG, Bild, Musik, Lied, Film, Buch, Spiel, Spiele
Veröffentlichungsdatum:
Als einen Pfad bezeichnet man in der Stochastik die Realisierungen eines stochastischen Prozesses Deutet man die Indexmenge des Prozesses als Zeit und die Werte des Prozesses als raumliche Position so lauft der Prozess mit zunehmender Zeit einen Pfad ab Wichtig hierbei ist dass es sich bei den Pfaden um Konkretisierungen bzw Auswertungen des stochastischen Prozesses handelt Dies lasst sich wie folgt vorstellen Der stochastische Prozess hat ein gewisses Potential bestimmte Zustande anzunehmen ebenso wie ein Wurfel ein Potential hat eine gewisse Augenzahl zu zeigen Ein Pfad eines Prozesses entspricht nun einer Konkretisierung dieses Potentials am Beispiel des Wurfels entspricht dies der Bestimmung einer Augenzahl durch das Werfen des Wurfels Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Bemerkung 3 Beispiel 4 Verwendung Visualisierung und Klassifikation stochastischer Prozesse 5 LiteraturDefinition Bearbeiten nbsp Zwei Beispielpfade eines Standard Wiener Prozesses Die grau schraffierte Flache markiert die Standardabweichung Var X t t displaystyle pm sqrt text Var X t pm sqrt t nbsp vergleiche Gleichung von Bienayme Gegeben sei ein stochastischer Prozess X X t t I displaystyle X X t t in I nbsp auf dem Wahrscheinlichkeitsraum W A P displaystyle Omega mathcal A P nbsp mit Indexmenge I R displaystyle I subset mathbb R nbsp der Werte in E displaystyle E nbsp annimmt Dann heisst fur w W displaystyle omega in Omega nbsp die Abbildung t X t w displaystyle t mapsto X t omega nbsp mit Definitionsmenge I displaystyle I nbsp und Zielmenge E displaystyle E nbsp ein Pfad von X displaystyle X nbsp Bemerkung BearbeitenOft ist man an Eigenschaften von Pfaden wie beispielsweise Stetigkeit interessiert Dafur benotigt man noch zusatzliche Struktur auf der Zielmenge E displaystyle E nbsp wie zum Beispiel eine Metrik Allgemein handelt es sich bei Pfaden um Funktionen in einer reellen Variable bei entsprechender Struktur auf der Zielmenge konnen Pfaden demnach auch Eigenschaften wie Differenzierbarkeit oder ahnliches zukommen Haben fur fast alle w W displaystyle omega in Omega nbsp die Pfade t X t w displaystyle t mapsto X t omega nbsp die Eigenschaft A displaystyle A nbsp so sagt man auch dass der Prozess fast sicher die Eigenschaft A displaystyle A nbsp besitzt Somit kann man auch sinnvoll von stetigen cadlag oder differenzierbaren stochastischen Prozessen sprechen Beispiel BearbeitenBetrachte als Beispiel eine unabhangig identisch Bernoulli verteilte Folge von Zufallsvariablen X X n n N displaystyle X X n n in mathbb N nbsp mit Parameter p 0 1 displaystyle p in 0 1 nbsp Dies entspricht einem Bernoulli Prozess Ein moglicher Pfad ware 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 displaystyle 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 dots nbsp ein weiterer 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 displaystyle 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 dots nbsp Die konkrete Wahrscheinlichkeit des Pfades ist hier irrelevant solange er moglich ist Verwendung Visualisierung und Klassifikation stochastischer Prozesse BearbeitenPfade finden oft Verwendung in der Modellierung und der Visualisierung von stochastischen Prozessen Ausserdem werden einige stochastische Prozesse uber die Eigenschaften ihrer Pfade definiert So nennt man einen stochastischen Prozess einen linksstetigen Prozess wenn fast alle Pfade linksseitig stetig sind rechtsstetigen Prozess wenn fast alle Pfade rechtsseitig stetig sind stetigen Prozess wenn fast alle Pfade stetig sind RCLL Prozess oder Cadlag Prozess wenn fast alle Pfade RCLL sind differenzierbar holderstetig etc wenn fast alle Pfade differenzierbar holderstetig etc sindSo wird beim Wiener Prozess beispielsweise in der Definition gefordert dass er stetig sein soll Literatur BearbeitenAchim Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie 3 Auflage Springer Verlag Berlin Heidelberg 2013 ISBN 978 3 642 36017 6 S 469 doi 10 1007 978 3 642 36018 3 David Meintrup Stefan Schaffler Stochastik Theorie und Anwendungen Springer Verlag Berlin Heidelberg New York 2005 ISBN 978 3 540 21676 6 S 269 doi 10 1007 b137972 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Pfad Stochastik amp oldid 236018712 Verwendung Visualisierung und Klassifikation stochastischer Prozesse