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Butterworth Filter sind kontinuierliche Frequenzfilter die so ausgelegt sind dass der Frequenzgang für einen Tiefpass un

Butterworth-Filter

Butterworth-Filter sind kontinuierliche Frequenzfilter, die so ausgelegt sind, dass der Frequenzgang für einen Tiefpass unterhalb der Grenzfrequenz ωg möglichst lange horizontal verläuft (für einen Hochpass gilt umgekehrt dasselbe). Erst kurz vor dieser Grenzfrequenz soll die Übertragungsfunktion absinken und in die Durchlassdämpfung von n·20 dB pro Frequenzdekade übergehen (n ist die Ordnung des Butterworth-Filters). Die einfachste Form des Butterworth-Filters 1. Ordnung stellt das RC-Glied dar. Eine moderne praktische Anwendung des Filters ist in der Computeranimation üblich; sie dient der Reduktion von Kurvenpunkten, ohne die generelle Form der Kurve zu verändern.

Das Bode-Diagramm eines Butterworth-Tiefpassfilters erster Ordnung
Der Butterworth-Filter vereinfacht die Punktdichte einer Kurve, ohne den grundsätzlichen Kurvenverlauf zu verändern.

Ein Signal wird an der Grenzfrequenz auf das -fache des ursprünglichen Signals abgeschwächt, d. h. die Dämpfung bei der Grenzfrequenz beträgt ca. 3 dB. Butterworth-Filter haben sowohl im Durchlassbereich als auch im Sperrbereich einen gleichmäßigen (glatten) Verlauf der Übertragungsfunktion.

Benannt wurde das Butterworth-Filter nach dem britischen Physiker Stephen Butterworth, der diese Art von Filter erstmals beschrieb.

Butterworth-Tiefpassfilter der Ordnungen 1 bis 5
Beispiel: Butterworth-Filter 2. Ordnung Tiefpass, realisiert als Sallen-Key-Filter.

Übertragungsfunktion Bearbeiten

Daraus ergibt sich als Forderung an die Übertragungsfunktion:

mit

Durch Koeffizientenvergleich mit der allgemeinen Übertragungsfunktion ergeben sich die Koeffizienten des Butterworth-Filters.

Koeffizienten Bearbeiten

Bringt man die Übertragungsfunktion in die normierte Form ():

ergeben sich für die Koeffizienten und folgende Beziehungen:

Ordnung n des Filters gerade:

Ordnung n des Filters ungerade:

Eigenschaften Bearbeiten

Das Butterworth-Filter besitzt folgende Eigenschaften:

  • monotoner Amplitudengang sowohl im Durchlass- als auch im Sperrbereich
  • schnelles Abknicken bei der Grenzfrequenz, verbessert sich mit der Ordnung
  • beträchtliches Überschwingen bei der Sprungantwort, verschlechtert sich mit der Ordnung
  • der Phasenverlauf besitzt eine kleine Nichtlinearität
  • relativ frequenzabhängige Gruppenlaufzeit
  • großer Realisierungsaufwand bei hoher Ordnung

Filterrealisierung Bearbeiten

Das Butterworth-Filter mit einer gegebenen Übertragungsfunktion kann in folgender Form realisiert werden:

Das k-te Element ist gegeben mit:

In der digitalen Signalverarbeitung können Butterworth-Filter durch Wahl entsprechender Filterkoeffizienten in IIR-Filtern (rekursive Filterstruktur) realisiert werden. Die Kaskadierung zweier Butterworth-Filter n-ter Ordnung ergibt einen Linkwitz-Riley-Filter 2n-ter Ordnung.

Normalisierte Butterworth-Polynome Bearbeiten

Die Butterworth-Polynome werden normalerweise als komplex konjugierte Pole s1 und sn geschrieben. Die Polynome sind zusätzlich um den Faktor ωc=1 normalisiert. Die normalisierten Butterworth-Polynome haben somit die folgende Form:

Auf 4 Dezimalziffern genau lauten sie:

n Faktoren der Polynome
1
2
3
4
5
6
7
8

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. In diesem Beispiel wird der Butterworth-Filter als Tiefpassfilter eingesetzt, der in der hohen Punktdichte der oberen Kurve Rauschen entdeckt (Punkte, die sich um die glatte Kurve herum verteilen, statt auf ihr zu liegen) und mit einer voreingestellten Sample-Rate eine grundsätzlich ähnliche, jedoch viel einfachere Kurve erzeugt. Die Anwendung stammt aus der Computeranimation.
  2. Stephen Butterworth: On the Theory of Filter Amplifiers In: Wireless Engineer, Band 7, 1930, Seiten 536–541

Siehe auch Bearbeiten

Weblinks Bearbeiten

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Veröffentlichungsdatum:
Butterworth Filter sind kontinuierliche Frequenzfilter die so ausgelegt sind dass der Frequenzgang fur einen Tiefpass unterhalb der Grenzfrequenz wg moglichst lange horizontal verlauft fur einen Hochpass gilt umgekehrt dasselbe Erst kurz vor dieser Grenzfrequenz soll die Ubertragungsfunktion absinken und in die Durchlassdampfung von n 20 dB pro Frequenzdekade ubergehen n ist die Ordnung des Butterworth Filters Die einfachste Form des Butterworth Filters 1 Ordnung stellt das RC Glied dar Eine moderne praktische Anwendung des Filters ist in der Computeranimation ublich sie dient der Reduktion von Kurvenpunkten ohne die generelle Form der Kurve zu verandern Das Bode Diagramm eines Butterworth Tiefpassfilters erster OrdnungDer Butterworth Filter vereinfacht die Punktdichte einer Kurve ohne den grundsatzlichen Kurvenverlauf zu verandern 1 Ein Signal wird an der Grenzfrequenz auf das 1 2 0 707 1 displaystyle frac 1 sqrt 2 approx 0 7071 fache des ursprunglichen Signals abgeschwacht d h die Dampfung bei der Grenzfrequenz betragt ca 3 dB Butterworth Filter haben sowohl im Durchlassbereich als auch im Sperrbereich einen gleichmassigen glatten Verlauf der Ubertragungsfunktion Benannt wurde das Butterworth Filter nach dem britischen Physiker Stephen Butterworth der diese Art von Filter erstmals beschrieb 2 Butterworth Tiefpassfilter der Ordnungen 1 bis 5Beispiel Butterworth Filter 2 Ordnung Tiefpass realisiert als Sallen Key Filter Inhaltsverzeichnis 1 Ubertragungsfunktion 2 Koeffizienten 3 Eigenschaften 4 Filterrealisierung 5 Normalisierte Butterworth Polynome 6 Einzelnachweise 7 Siehe auch 8 WeblinksUbertragungsfunktion BearbeitenDaraus ergibt sich als Forderung an die Ubertragungsfunktion A 2 A 0 2 1 k 2 n W 2 n displaystyle left underline A right 2 frac A 0 2 1 k 2n Omega 2n nbsp mit A 0 displaystyle A 0 nbsp Gleichspannungsverstarkung W f f g displaystyle Omega frac f f g nbsp auf Grenzfrequenz normierte Frequenz n displaystyle n nbsp Ordnung des FiltersDurch Koeffizientenvergleich mit der allgemeinen Ubertragungsfunktion ergeben sich die Koeffizienten des Butterworth Filters Koeffizienten BearbeitenBringt man die Ubertragungsfunktion in die normierte Form P p w 0 displaystyle P frac p omega 0 nbsp A P A 0 i 1 a i P b i P 2 displaystyle A P frac A 0 prod i 1 a i P b i P 2 nbsp ergeben sich fur die Koeffizienten a i displaystyle a i nbsp und b i displaystyle b i nbsp folgende Beziehungen Ordnung n des Filters gerade i 1 n 2 displaystyle i 1 ldots frac n 2 nbsp a i 2 cos 2 i 1 p 2 n displaystyle a i 2 cos frac 2i 1 pi 2n nbsp b i 1 displaystyle b i 1 nbsp Ordnung n des Filters ungerade i 2 n 1 2 displaystyle i 2 ldots frac n 1 2 nbsp a 1 1 displaystyle a 1 1 nbsp b 1 0 displaystyle b 1 0 nbsp a i 2 cos i 1 p n displaystyle a i 2 cos frac i 1 pi n nbsp b i 1 displaystyle b i 1 nbsp Eigenschaften BearbeitenDas Butterworth Filter besitzt folgende Eigenschaften monotoner Amplitudengang sowohl im Durchlass als auch im Sperrbereich schnelles Abknicken bei der Grenzfrequenz verbessert sich mit der Ordnung betrachtliches Uberschwingen bei der Sprungantwort verschlechtert sich mit der Ordnung der Phasenverlauf besitzt eine kleine Nichtlinearitat relativ frequenzabhangige Gruppenlaufzeit grosser Realisierungsaufwand bei hoher OrdnungFilterrealisierung Bearbeiten nbsp Das Butterworth Filter mit einer gegebenen Ubertragungsfunktion kann in folgender Form realisiert werden Das k te Element ist gegeben mit C k 2 sin 2 k 1 2 n p displaystyle C k 2 sin left frac 2k 1 2n pi right nbsp fur k ungerade L k 2 sin 2 k 1 2 n p displaystyle L k 2 sin left frac 2k 1 2n pi right nbsp fur k geradeIn der digitalen Signalverarbeitung konnen Butterworth Filter durch Wahl entsprechender Filterkoeffizienten in IIR Filtern rekursive Filterstruktur realisiert werden Die Kaskadierung zweier Butterworth Filter n ter Ordnung ergibt einen Linkwitz Riley Filter 2n ter Ordnung Normalisierte Butterworth Polynome BearbeitenDie Butterworth Polynome werden normalerweise als komplex konjugierte Pole s1 und sn geschrieben Die Polynome sind zusatzlich um den Faktor wc 1 normalisiert Die normalisierten Butterworth Polynome haben somit die folgende Form B n s k 1 n 2 s 2 2 s cos 2 k n 1 2 n p 1 displaystyle B n s prod k 1 frac n 2 left s 2 2s cos left frac 2k n 1 2n pi right 1 right nbsp fur n gerade B n s s 1 k 1 n 1 2 s 2 2 s cos 2 k n 1 2 n p 1 displaystyle B n s s 1 prod k 1 frac n 1 2 left s 2 2s cos left frac 2k n 1 2n pi right 1 right nbsp fur n ungeradeAuf 4 Dezimalziffern genau lauten sie n Faktoren der Polynome B n s displaystyle B n s nbsp 1 s 1 displaystyle s 1 nbsp 2 s 2 2 s 1 displaystyle s 2 sqrt 2 s 1 nbsp 3 s 1 s 2 s 1 displaystyle left s 1 right left s 2 s 1 right nbsp 4 s 2 2 2 s 1 s 2 2 2 s 1 displaystyle left s 2 sqrt 2 sqrt 2 s 1 right left s 2 sqrt 2 sqrt 2 s 1 right nbsp 5 s 1 s 2 3 5 2 s 1 s 2 3 5 2 s 1 displaystyle left s 1 right left s 2 sqrt frac 3 sqrt 5 2 s 1 right left s 2 sqrt frac 3 sqrt 5 2 s 1 right nbsp 6 s 2 2 3 s 1 s 2 2 s 1 s 2 2 3 s 1 displaystyle left s 2 sqrt 2 sqrt 3 s 1 right left s 2 sqrt 2 s 1 right left s 2 sqrt 2 sqrt 3 s 1 right nbsp 7 s 1 s 2 0 445 0 s 1 s 2 1 247 0 s 1 s 2 1 801 9 s 1 displaystyle left s 1 right left s 2 0 4450s 1 right left s 2 1 2470s 1 right left s 2 1 8019s 1 right nbsp 8 s 2 2 2 2 s 1 s 2 2 2 2 s 1 s 2 2 2 2 s 1 s 2 2 2 2 s 1 displaystyle left s 2 sqrt 2 sqrt 2 sqrt 2 s 1 right left s 2 sqrt 2 sqrt 2 sqrt 2 s 1 right left s 2 sqrt 2 sqrt 2 sqrt 2 s 1 right left s 2 sqrt 2 sqrt 2 sqrt 2 s 1 right nbsp Einzelnachweise Bearbeiten In diesem Beispiel wird der Butterworth Filter als Tiefpassfilter eingesetzt der in der hohen Punktdichte der oberen Kurve Rauschen entdeckt Punkte die sich um die glatte Kurve herum verteilen statt auf ihr zu liegen und mit einer voreingestellten Sample Rate eine grundsatzlich ahnliche jedoch viel einfachere Kurve erzeugt Die Anwendung stammt aus der Computeranimation Stephen Butterworth On the Theory of Filter Amplifiers In Wireless Engineer Band 7 1930 Seiten 536 541Siehe auch BearbeitenBessel Filter Cauer Filter Tschebyscheff Filter Linkwitz Riley FilterWeblinks BearbeitenAnalogfilter Othmar Marti and Alfred Plettl Universitat Ulm Online Butterworth Tiefpassfilter Rechner Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Butterworth Filter amp oldid 214080055