Tschebyscheff Filter sind kontinuierliche Frequenzfilter die auf ein möglichst scharfes Abknicken des Frequenzgangs bei

Tschebyscheff-Filter

Tschebyscheff-Filter sind kontinuierliche Frequenzfilter, die auf ein möglichst scharfes Abknicken des Frequenzgangs bei der Grenzfrequenz ω_g ausgelegt sind. Dafür verläuft die Verstärkung im Durchlassbereich oder im Sperrbereich nicht monoton, sondern besitzt eine festzulegende Welligkeit (Ripple). Innerhalb einer Ordnung ist der Abfall umso steiler, je größer die zugelassene Welligkeit ist. Sie sind benannt nach Pafnuti Lwowitsch Tschebyschow (früher transkribiert als Tschebyscheff).

Es wird zwischen Tschebyscheff-Filtern vom Typ I und vom Typ II unterschieden. Tschebyscheff-Filter vom Typ I besitzen im Durchlassbereich einen oszillierenden Verlauf der Übertragungsfunktion. Tschebyscheff-Filter vom Typ II besitzen die Welligkeit der Übertragungsfunktion im Sperrbereich und werden in der Fachliteratur auch als inverse Tschebyscheff-Filter bezeichnet.

Übertragungsfunktion Bearbeiten

Übertragungsfunktion eines Tschebyscheff-Filters 4. Ordnung vom Typ I mit auf die Grenzfrequenz bezogenen Frequenzverlauf

Für den Bereich besitzen die Tschebyscheff-Polynome die gewünschten Eigenschaften. Für wachsen die Tschebyscheff-Polynome monoton.

Um mit Hilfe der Tschebyscheff-Polynome einen Tiefpass herzustellen, setzt man

mit so gewählt, dass für x=0 wird. ist ein Maß für die Welligkeit.

Koeffizienten Bearbeiten

Bringt man die Übertragungsfunktion in die Form

ergeben sich für die Koeffizienten und folgende Beziehungen:

Ordnung n des Filters gerade:

Ordnung n des Filters ungerade:

Diese Koeffizienten sind so gewählt, dass die Grenzfrequenz auf die letzte Frequenz normiert ist, an der die gewählte Verstärkung das letzte Mal angenommen wird.

Eigenschaften Bearbeiten

Das Tschebyscheff-Filter besitzt folgende Eigenschaften:

welliger Frequenzverlauf je nach Typus im Durchlassbereich oder im Sperrbereich.
sehr steiles Abknicken bei der Grenzfrequenz, verbessert sich mit der Ordnung und der Welligkeit.
beträchtliches Überschwingen bei der Sprungantwort, verschlechtert sich mit der Ordnung und Welligkeit.
lässt man die Welligkeit gegen 0 gehen, geht das Tschebyscheff-Filter in ein Butterworth-Filter über.
keine konstante Gruppenlaufzeit im Durchlassbereich.

Digitale Realisierung Bearbeiten

Für eine digitale Realisierung des Tschebyscheff-Filters transformiert man zunächst die einzelnen Biquads mittels bilinearer Transformation und kaskadiert diese mit den entsprechenden Koeffizienten und . Im Folgenden ist dies für ein Tiefpassfilter mit gerader Ordnung n durchgeführt worden.

Die Z-Transformierte eines Biquads sieht generell wie folgt aus:

Diese Gleichung transformiert sich in den Zeitbereich wie folgt:

Die Koeffizienten und berechnen sich aus den Koeffizienten und folgendermaßen:

ist dabei ein Maß für das Überschwingen:

Die Koeffizienten berechnen sich dann zu:

Um Filter höherer Ordnung zu realisieren, braucht man nur mehrere Biquad-Sektionen zu kaskadieren. Die Umsetzung digitaler Tschebyscheffilter erfolgt in IIR-Filterstrukturen (rekursive Filterstruktur).

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

Lutz v. Wangenheim: Aktive Filter und Oszillatoren. 1. Auflage. Springer Verlag, Bremen 2007, ISBN 978-3-540-71737-9.

Weblinks Bearbeiten

Tschebyscheff-Tiefpassfilter berechnen

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Veröffentlichungsdatum: November 30, 2023, 04:25 am

Tschebyscheff Filter sind kontinuierliche Frequenzfilter die auf ein moglichst scharfes Abknicken des Frequenzgangs bei der Grenzfrequenz wg ausgelegt sind Dafur verlauft die Verstarkung im Durchlassbereich oder im Sperrbereich nicht monoton sondern besitzt eine festzulegende Welligkeit Ripple Innerhalb einer Ordnung ist der Abfall umso steiler je grosser die zugelassene Welligkeit ist Sie sind benannt nach Pafnuti Lwowitsch Tschebyschow fruher transkribiert als Tschebyscheff Es wird zwischen Tschebyscheff Filtern vom Typ I und vom Typ II unterschieden Tschebyscheff Filter vom Typ I besitzen im Durchlassbereich einen oszillierenden Verlauf der Ubertragungsfunktion Tschebyscheff Filter vom Typ II besitzen die Welligkeit der Ubertragungsfunktion im Sperrbereich und werden in der Fachliteratur auch als inverse Tschebyscheff Filter bezeichnet Inhaltsverzeichnis 1 Ubertragungsfunktion 2 Koeffizienten 3 Eigenschaften 4 Digitale Realisierung 5 Siehe auch 6 Literatur 7 WeblinksUbertragungsfunktion Bearbeiten nbsp Ubertragungsfunktion eines Tschebyscheff Filters 4 Ordnung vom Typ I mit auf die Grenzfrequenz bezogenen FrequenzverlaufFur den Bereich 0 x 1 displaystyle 0 leq x leq 1 nbsp besitzen die Tschebyscheff Polynome T n displaystyle T n nbsp die gewunschten Eigenschaften Fur x 1 displaystyle x geq 1 nbsp wachsen die Tschebyscheff Polynome monoton Um mit Hilfe der Tschebyscheff Polynome einen Tiefpass herzustellen setzt man A 2 k A 0 2 1 e 2 T n 2 P displaystyle left underline A right 2 frac kA 0 2 1 varepsilon 2 T n 2 P nbsp mit k displaystyle k nbsp so gewahlt dass fur x 0 A 2 A 0 2 displaystyle left underline A right 2 A 0 2 nbsp wird e displaystyle varepsilon nbsp ist ein Mass fur die Welligkeit Koeffizienten BearbeitenBringt man die Ubertragungsfunktion in die Form A P A 0 i 1 a i P b i P 2 displaystyle A P frac A 0 prod i 1 a i P b i P 2 nbsp ergeben sich fur die Koeffizienten a i displaystyle a i nbsp und b i displaystyle b i nbsp folgende Beziehungen Ordnung n des Filters gerade a i 2 b i sinh g cos 2 i 1 p 2 n displaystyle a i prime 2b i prime sinh gamma cos frac 2i 1 pi 2n nbsp b i 1 cosh 2 g cos 2 2 i 1 p 2 n displaystyle b i prime frac 1 cosh 2 gamma cos 2 frac 2i 1 pi 2n nbsp Ordnung n des Filters ungerade a 1 1 sinh g displaystyle a 1 prime frac 1 sinh gamma nbsp b 1 0 displaystyle b 1 prime 0 nbsp a i 2 b i sinh g cos i 1 p n displaystyle a i prime 2b i prime sinh gamma cos frac i 1 pi n nbsp b i 1 cosh 2 g cos 2 i 1 p n displaystyle b i prime frac 1 cosh 2 gamma cos 2 frac i 1 pi n nbsp Diese Koeffizienten sind so gewahlt dass die Grenzfrequenz w g displaystyle omega mathrm g nbsp auf die letzte Frequenz normiert ist an der die gewahlte Verstarkung das letzte Mal angenommen wird Eigenschaften BearbeitenDas Tschebyscheff Filter besitzt folgende Eigenschaften welliger Frequenzverlauf je nach Typus im Durchlassbereich oder im Sperrbereich sehr steiles Abknicken bei der Grenzfrequenz verbessert sich mit der Ordnung und der Welligkeit betrachtliches Uberschwingen bei der Sprungantwort verschlechtert sich mit der Ordnung und Welligkeit lasst man die Welligkeit gegen 0 gehen geht das Tschebyscheff Filter in ein Butterworth Filter uber keine konstante Gruppenlaufzeit im Durchlassbereich Digitale Realisierung BearbeitenFur eine digitale Realisierung des Tschebyscheff Filters transformiert man zunachst die einzelnen Biquads mittels bilinearer Transformation und kaskadiert diese mit den entsprechenden Koeffizienten a i displaystyle a i nbsp und b i displaystyle b i nbsp Im Folgenden ist dies fur ein Tiefpassfilter mit gerader Ordnung n durchgefuhrt worden Die Z Transformierte eines Biquads sieht generell wie folgt aus S Z a Z b Z a 0 a 1 Z 1 a 2 Z 2 1 b 1 Z 1 b 2 Z 2 displaystyle S Z frac a Z b Z frac alpha 0 alpha 1 cdot Z 1 alpha 2 cdot Z 2 1 beta 1 cdot Z 1 beta 2 cdot Z 2 nbsp Diese Gleichung transformiert sich in den Zeitbereich wie folgt y n a 0 x n a 1 x n 1 a 2 x n 2 b 1 y n 1 b 2 y n 2 displaystyle y n alpha 0 cdot x n alpha 1 cdot x n 1 alpha 2 cdot x n 2 beta 1 cdot y n 1 beta 2 cdot y n 2 nbsp Die Koeffizienten a i displaystyle alpha i nbsp und b i displaystyle beta i nbsp berechnen sich aus den Koeffizienten a i displaystyle a i nbsp und b i displaystyle b i nbsp folgendermassen K tan p Frequenz Abtastrate displaystyle K tan left pi frac text Frequenz text Abtastrate right nbsp Prewarp der Frequenz b i 1 cosh g 2 cos 2 2 i 1 p n displaystyle b i frac 1 cosh gamma 2 cos 2 frac 2i 1 cdot pi n nbsp a i K 2 b i sinh g cos 2 i 1 p n displaystyle a i K cdot 2b i cdot sinh gamma cdot cos frac 2i 1 cdot pi n nbsp g displaystyle gamma nbsp ist dabei ein Mass fur das Uberschwingen g arsinh Ripple in dB n displaystyle gamma frac operatorname arsinh text Ripple in dB n nbsp Die Koeffizienten berechnen sich dann zu a 0 K K displaystyle alpha 0 K cdot K nbsp a 1 2 K 2 displaystyle alpha 1 2 cdot K 2 nbsp a 2 K K displaystyle alpha 2 K cdot K nbsp b 0 a 0 K 2 b 0 displaystyle beta 0 prime a 0 K 2 b 0 nbsp b 1 2 b 1 K 2 displaystyle beta 1 prime 2 cdot b 1 K 2 nbsp b 2 a 2 K 2 b 2 displaystyle beta 2 prime a 2 K 2 b 2 nbsp b 1 b 1 b 0 displaystyle beta 1 beta 1 prime beta 0 prime nbsp b 2 b 2 b 0 displaystyle beta 2 beta 2 prime beta 0 prime nbsp Um Filter hoherer Ordnung zu realisieren braucht man nur mehrere Biquad Sektionen zu kaskadieren Die Umsetzung digitaler Tschebyscheffilter erfolgt in IIR Filterstrukturen rekursive Filterstruktur Siehe auch BearbeitenBessel Filter Cauer Filter Butterworth FilterLiteratur BearbeitenLutz v Wangenheim Aktive Filter und Oszillatoren 1 Auflage Springer Verlag Bremen 2007 ISBN 978 3 540 71737 9 Weblinks BearbeitenTschebyscheff Tiefpassfilter berechnen Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Tschebyscheff Filter amp oldid 226200065