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p Brane Eine ausgesprochen piːˈbɹeɪn ist in der Stringtheorie ein p dimensionales Objekt Das Wort ist von der Membran en

p-Brane

Eine p-Brane (ausgesprochen [piːˈbɹeɪn]) ist in der Stringtheorie ein p-dimensionales Objekt. Das Wort ist von der Membran (englisch membrane) abgeleitet, eine Membran ist nach Punktteilchen (p=0) und String (p=1) das Objekt mit nächsthöherer Dimension (p=2).

Die p-Branes werden dabei in einem d-dimensionalen Raum betrachtet, für supersymmetrische Stringtheorie ist dabei d=10 mit neun Raumdimensionen und einer Zeitdimension. Werden einzelne der d=10 Dimensionen kompaktifiziert, so reduzieren sich ggf. auch einzelne der p Dimensionen eines p-Branes, so dass die effektive Theorie in d<10 Dimensionen statt der p-Branes niedrigerdimensionale Objekte enthält.

Ein Sonderfall sind die D-Branes (D nach Dirichlet, manchmal auch als Dp-Branes bezeichnet). In der M-Theorie werden p-Branes auch M-Branes genannt.

Bedeutung Bearbeiten

Die fünf Stringtheorien und 11-dimensionale Supergravitation als Grenzfälle der M-Theorie.

p-Branes wurden in den 1990er Jahren im Rahmen der Vereinheitlichung der fünf Stringtheorien Type I, Type IIA und IIB sowie die beiden Heterotischen Stringtheorien, im Bild mit E8 und SO(32) bezeichnet, sowie der 11-dimensionalen Supergravitation zur M-Theorie genauer betrachtet. Dabei werden die Stringtheorien und die Supergravitation als die Grenzwerte der M-Theorie mit kleiner Stringkopplungskonstante aufgefasst. Mit größer werdender Kopplungskonstante können aus eindimensionalen Strings zweidimensionale Membranen in der M-Theorie werden.

Die Untersuchungen gingen dabei in unterschiedliche Richtungen: Gary Horowitz und Andrew Strominger stellten fest, dass auch höherdimensionale Objekte einen Ereignishorizont wie Schwarze Löcher haben können. Joseph Polchinski betrachtete Typ-II-Superstringtheorien, die um offene Strings erweitert sind. Gibt man den offenen Strings in p+1 Dimensionen Neumann-Randbedingungen, d. h. die Ableitung verschwindet an den Endpunkten, und in den 9-p anderen Dimensionen Dirichlet-Randbedingungen, d. h. das Feld verschwindet an den Endpunkten, so bewegen sich die Endpunkte auf p-dimensionalen Objekten, den D-Branes.

Wirkung Bearbeiten

Weltlinie, Weltfläche und Weltvolumen in einer 2+1-dimensionalen Raumzeit

Im einfachsten Fall werden die Bewegungsgleichungen einer p-Brane von der Wirkung

abgeleitet, wobei die induzierte Metrik ist und die Koordinaten die Ortskoordinaten im d-dimensionalen Raum sind. Dies ist gerade das Volumen, das das p-dimensionale Objekt mit seiner zeitlichen Entwicklung aufspannt, das sogenannte Weltvolumen. Die Euler-Lagrange-Gleichungen suchen gerade nach einem Minimum des Weltvolumens.

Sonderfall p=0 Bearbeiten

Für p=0 und konstante Metrik erhält man mit

In d=4 Dimensionen (drei Raumdimensionen und eine Zeitdimension) ist das gerade die aus der Relativitätstheorie bekannte Wirkung eines Punktteilchens. Sie ist die Länge der durch das Punktteilchen aufgespannten Weltlinie, das Punktteilchen bewegt sich auf einer Bahn, auf der die Länge dieser Weltlinie möglichst klein ist.

Das Punktteilchen ist somit gerade die p-Brane für p=0 und wird daher auch als 0-Brane oder Zero-Brane bezeichnet.

Sonderfall p=1 Bearbeiten

Für p=1 und konstante Metrik erhält man gerade die Nambu-Goto-Wirkung

also den Inhalt der durch einen bosonischen String aufgespannten Weltfläche. Die Dynamik des Strings minimiert diese Fläche. Der String ist die 1-Brane.

Allgemeine Wirkung Bearbeiten

Die allgemeine p-Brane-Wirkung lautet

wobei die p-Brane an das Dilaton , die induzierte Metrik , den antisymmetrischen Tensor und einen Feldtensor gekoppelt ist.

Kosmologie Bearbeiten

Während viele der Überlegungen zu p-Branes davon ausgehen, dass die Zusatzdimensionen von uns nicht wahrgenommen werden, weil sie auf kleine Maßstäbe zusammengeschrumpft sind und nur im Rahmen der Elementarteilchenphysik erkannt werden können, so gibt es auch andere Ansätze, dass unser ganzes Universum eigentlich in einen höherdimensionalen Raum eingebettet und in diesem gerade eine Brane ist. Die ursprünglichen Betrachtungen von Gunnar Nordström und Theodor Kaluza können damit so formuliert werden, dass unsere 3+1-dimensionale Raumzeit eine 3-Brane ist, die in einem 5-dimensionalen Raum eingebettet ist.

Literatur Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Brian Greene: The Elegant Universe. W. W. Norton & Company, 2010, ISBN 978-0-393-07134-4, S. 316 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
  2. G.T. Horowitz, A. Strominger: Black strings and p-branes. In: Nuclear Physics B. Band 360, Nr. 1, 1991, S. 197–209, doi:10.1016/0550-3213(91)90440-9.
  3. Joseph Polchinski: Dirichlet Branes and Ramond-Ramond Charges. In: Physical Review Letters. Band 75, Nr. 26, 25. Dezember 1995, S. 4724–4727, doi:10.1103/PhysRevLett.75.4724, arxiv:hep-th/9510017.
  4. Joseph Polchinski: String Theory, vol. I. Cambridge University Press, 1998, ISBN 1-139-45740-3, S. 270 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
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Veröffentlichungsdatum:
Eine p Brane ausgesprochen piːˈbɹeɪn ist in der Stringtheorie ein p dimensionales Objekt Das Wort ist von der Membran englisch membrane abgeleitet eine Membran ist nach Punktteilchen p 0 und String p 1 das Objekt mit nachsthoherer Dimension p 2 Die p Branes werden dabei in einem d dimensionalen Raum betrachtet fur supersymmetrische Stringtheorie ist dabei d 10 mit neun Raumdimensionen und einer Zeitdimension Werden einzelne der d 10 Dimensionen kompaktifiziert so reduzieren sich ggf auch einzelne der p Dimensionen eines p Branes so dass die effektive Theorie in d lt 10 Dimensionen statt der p Branes niedrigerdimensionale Objekte enthalt Ein Sonderfall sind die D Branes D nach Dirichlet manchmal auch als Dp Branes bezeichnet In der M Theorie werden p Branes auch M Branes genannt Inhaltsverzeichnis 1 Bedeutung 2 Wirkung 2 1 Sonderfall p 0 2 2 Sonderfall p 1 2 3 Allgemeine Wirkung 3 Kosmologie 4 Literatur 5 EinzelnachweiseBedeutung Bearbeiten nbsp Die funf Stringtheorien und 11 dimensionale Supergravitation als Grenzfalle der M Theorie p Branes wurden in den 1990er Jahren im Rahmen der Vereinheitlichung der funf Stringtheorien Type I Type IIA und IIB sowie die beiden Heterotischen Stringtheorien im Bild mit E8 und SO 32 bezeichnet sowie der 11 dimensionalen Supergravitation zur M Theorie genauer betrachtet Dabei werden die Stringtheorien und die Supergravitation als die Grenzwerte der M Theorie mit kleiner Stringkopplungskonstante aufgefasst Mit grosser werdender Kopplungskonstante konnen aus eindimensionalen Strings zweidimensionale Membranen in der M Theorie werden 1 Die Untersuchungen gingen dabei in unterschiedliche Richtungen Gary Horowitz und Andrew Strominger stellten fest dass auch hoherdimensionale Objekte einen Ereignishorizont wie Schwarze Locher haben konnen 2 Joseph Polchinski betrachtete Typ II Superstringtheorien die um offene Strings erweitert sind Gibt man den offenen Strings in p 1 Dimensionen Neumann Randbedingungen d h die Ableitung verschwindet an den Endpunkten und in den 9 p anderen Dimensionen Dirichlet Randbedingungen d h das Feld verschwindet an den Endpunkten so bewegen sich die Endpunkte auf p dimensionalen Objekten den D Branes 3 Wirkung Bearbeiten nbsp Weltlinie Weltflache und Weltvolumen in einer 2 1 dimensionalen RaumzeitIm einfachsten Fall werden die Bewegungsgleichungen einer p Brane von der Wirkung S p T p d p 1 3 det g a b displaystyle S p T p int d p 1 xi sqrt det g ab nbsp abgeleitet wobei g a b X m 3 a X n 3 b g m n X 3 displaystyle g ab frac partial X mu partial xi a frac partial X nu partial xi b g mu nu X xi nbsp die induzierte Metrik ist und die Koordinaten X m displaystyle X mu nbsp die Ortskoordinaten im d dimensionalen Raum sind Dies ist gerade das Volumen das das p dimensionale Objekt mit seiner zeitlichen Entwicklung aufspannt das sogenannte Weltvolumen Die Euler Lagrange Gleichungen suchen gerade nach einem Minimum des Weltvolumens Sonderfall p 0 Bearbeiten Fur p 0 und konstante Metrik g m n h m n displaystyle g mu nu eta mu nu nbsp erhalt man mit T 0 m displaystyle T 0 m nbsp S 0 m d t d X m d t d X n d t h m n m d t X 2 displaystyle S 0 m int d tau sqrt frac dX mu d tau frac dX nu d tau eta mu nu m int d tau sqrt dot X 2 nbsp In d 4 Dimensionen drei Raumdimensionen und eine Zeitdimension ist das gerade die aus der Relativitatstheorie bekannte Wirkung eines Punktteilchens Sie ist die Lange der durch das Punktteilchen aufgespannten Weltlinie das Punktteilchen bewegt sich auf einer Bahn auf der die Lange dieser Weltlinie moglichst klein ist Das Punktteilchen ist somit gerade die p Brane fur p 0 und wird daher auch als 0 Brane oder Zero Brane bezeichnet Sonderfall p 1 Bearbeiten Hauptartikel Stringtheorie Fur p 1 und konstante Metrik g m n h m n displaystyle g mu nu eta mu nu nbsp erhalt man gerade die Nambu Goto Wirkung S N G T d 2 s det X m s a X n s b h m n T d A displaystyle S NG T int d 2 sigma sqrt det left frac partial X mu partial sigma alpha frac partial X nu partial sigma beta eta mu nu right T int dA nbsp also den Inhalt der durch einen bosonischen String aufgespannten Weltflache Die Dynamik des Strings minimiert diese Flache Der String ist die 1 Brane Allgemeine Wirkung Bearbeiten Die allgemeine p Brane Wirkung lautet S p T p d p 1 3 e F det G a b B a b 2 p a F a b displaystyle S p T p int d p 1 xi e Phi sqrt det G ab B ab 2 pi alpha F ab nbsp wobei die p Brane an das Dilaton F displaystyle Phi nbsp die induzierte Metrik G displaystyle G nbsp den antisymmetrischen Tensor B displaystyle B nbsp und einen Feldtensor F displaystyle F nbsp gekoppelt ist 4 Kosmologie Bearbeiten Hauptartikel Branenkosmologie Wahrend viele der Uberlegungen zu p Branes davon ausgehen dass die Zusatzdimensionen von uns nicht wahrgenommen werden weil sie auf kleine Massstabe zusammengeschrumpft sind und nur im Rahmen der Elementarteilchenphysik erkannt werden konnen so gibt es auch andere Ansatze dass unser ganzes Universum eigentlich in einen hoherdimensionalen Raum eingebettet und in diesem gerade eine Brane ist Die ursprunglichen Betrachtungen von Gunnar Nordstrom und Theodor Kaluza konnen damit so formuliert werden dass unsere 3 1 dimensionale Raumzeit eine 3 Brane ist die in einem 5 dimensionalen Raum eingebettet ist Literatur BearbeitenBrian Greene Das elegante Universum Siedler Verlag 2015 ISBN 978 3 641 18565 7 eingeschrankte Vorschau in der Google Buchsuche Dieter Lust Quantenfische Die Stringtheorie und die Suche nach der Weltformel C H Beck 2012 ISBN 978 3 406 62286 1 eingeschrankte Vorschau in der Google Buchsuche Einzelnachweise Bearbeiten Brian Greene The Elegant Universe W W Norton amp Company 2010 ISBN 978 0 393 07134 4 S 316 eingeschrankte Vorschau in der Google Buchsuche G T Horowitz A Strominger Black strings and p branes In Nuclear Physics B Band 360 Nr 1 1991 S 197 209 doi 10 1016 0550 3213 91 90440 9 Joseph Polchinski Dirichlet Branes and Ramond Ramond Charges In Physical Review Letters Band 75 Nr 26 25 Dezember 1995 S 4724 4727 doi 10 1103 PhysRevLett 75 4724 arxiv hep th 9510017 Joseph Polchinski String Theory vol I Cambridge University Press 1998 ISBN 1 139 45740 3 S 270 eingeschrankte Vorschau in der Google Buchsuche Abgerufen von https de wikipedia org w index php title P Brane amp oldid 215002303