Der Binnendruck der von den Kohasionskraften der Teilchen eines Gases abhangt 1 2 ist ein Mass fur die Anderung der inneren Energie eines Gases wenn es sich bei konstanter Temperatur ausdehnt oder zusammenzieht Es hat dieselbe Einheit wie der Druck die SI Einheit ist also Pascal Der Binnendruck eines idealen Gases ist immer Null Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Zusammenhang mit dem Joule Koeffizienten 3 Binnendruck bei einfachen Gasmodellen 3 1 Ideales Gas 3 2 Van der Waals Gas 3 3 Redlich Kwong Modell 4 Siehe auch 5 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenDer Binnendruck p T displaystyle pi T nbsp ist definiert als partielle Ableitung der inneren Energie U displaystyle U nbsp nach dem Volumen bei konstanter Temperatur p T U V T displaystyle pi T left frac partial U partial V right T nbsp Damit kann man schreiben d U U T V d T U V T d V C V d T p T d V displaystyle mathrm d U left frac partial U partial T right V mathrm d T left frac partial U partial V right T mathrm d V C V mathrm d T pi T mathrm d V nbsp wobei C V displaystyle C V nbsp die Warmekapazitat bei konstantem Volumen und d U displaystyle mathrm d U nbsp die Anderung der inneren Energie bei Volumenanderung d V displaystyle mathrm d V nbsp und Temperaturanderung d T displaystyle mathrm d T nbsp ist Es gilt zudem die Umformung p T T p T V p displaystyle pi T T left frac partial p partial T right V p nbsp Herleitung Nach der Fundamentalgleichung der Thermodynamik lautet das vollstandige Differential der inneren Energie bei fester Stoffmenge d U T d S p d V displaystyle mathrm d U T mathrm d S p mathrm d V nbsp Differenziert man die innere Energie bei konstanter Temperatur partiell nach dem Volumen dann gilt U V T T S V T p displaystyle left frac partial U partial V right T T left frac partial S partial V right T p nbsp Mit der Maxwell Beziehung S V T p T V displaystyle left frac partial S partial V right T left frac partial p partial T right V nbsp folgt also p T T p T V p displaystyle pi T T left frac partial p partial T right V p nbsp Zusammenhang mit dem Joule Koeffizienten BearbeitenDer Joule Koeffizient m J displaystyle mu mathrm J nbsp nicht zu verwechseln mit dem viel haufiger vorkommenden Joule Thomson Koeffizienten m J T displaystyle mu mathrm JT nbsp ist definiert durch 3 4 5 m J T V U displaystyle mu mathrm J left frac partial T partial V right U nbsp also die partielle Ableitung der Temperatur nach dem Volumen bei gleichbleibender innerer Energie Nach Maxwell Beziehung Allgemeine Maxwell Relation gilt T V U T U V U V T displaystyle left frac partial T partial V right U left frac partial T partial U right V left frac partial U partial V right T nbsp Daraus folgt m J U T V 1 U V T p T C V displaystyle mu mathrm J left frac partial U partial T right V 1 left frac partial U partial V right T frac pi T C V nbsp Wenn der Binnendruck p T gt 0 displaystyle pi T gt 0 nbsp ist dann ist der Joule Koeffizient m J lt 0 displaystyle mu mathrm J lt 0 nbsp und somit kuhlt sich das Gas bei freier Expansion ab Binnendruck bei einfachen Gasmodellen BearbeitenIm Folgenden ist R displaystyle R nbsp die allgemeine Gaskonstante n displaystyle n nbsp die Stoffmenge und V m V n displaystyle textstyle V mathrm m frac V n nbsp das molare Volumen Ideales Gas Bearbeiten Beim Modell des idealen Gases gilt p n R T V displaystyle p frac nRT V nbsp Also ist p T V n R V displaystyle left frac partial p partial T right V frac nR V nbsp und somit p T T p T V p T n R V n R T V 0 displaystyle pi T T left frac partial p partial T right V p T cdot frac nR V frac nRT V 0 nbsp Beim idealen Gas ist der Binnendruck also immer 0 die Gasteilchen uben aufeinander keine Krafte aus Van der Waals Gas Bearbeiten Beim Modell des Van der Waals Gases gilt p R T V m b a V m 2 displaystyle p frac RT V mathrm m b frac a V mathrm m 2 nbsp mit den positiven Van der Waals Konstanten a displaystyle a nbsp und b displaystyle b nbsp Also ist p T V R V m b displaystyle left frac partial p partial T right V frac R V mathrm m b nbsp und somit p T T R V m b R T V m b a V m 2 a V m 2 displaystyle pi T T cdot frac R V mathrm m b left frac RT V mathrm m b frac a V mathrm m 2 right frac a V mathrm m 2 nbsp 6 Beim Van der Waals Gas mit a gt 0 displaystyle a gt 0 nbsp ist der Binnendruck also immer positiv und unabhangig von der Temperatur strebt aber fur V displaystyle V to infty nbsp gegen 0 Redlich Kwong Modell Bearbeiten Beim Modell nach Redlich Kwong gilt p R T V m b a T V m V m b displaystyle p frac RT V mathrm m b frac a sqrt T V mathrm m left V mathrm m b right nbsp Also ist p T 3 a 2 T V m V m b displaystyle pi T frac 3a 2 sqrt T V mathrm m left V mathrm m b right nbsp 3 Nach diesem Modell wird die Kohasion zwischen den Teilchen bei hoherer Temperatur und damit hoherer Geschwindigkeit der Teilchen kleiner Siehe auch BearbeitenGay Lussac VersuchEinzelnachweise Bearbeiten Grundlagen der Physikalischen Chemie W Moore D Hummel Verlag Walter de Gruyter 1986 Das reale Gas www uni marburg de abgerufen am 3 November 2016 a b Physikalische Chemie T Engel P J Reid Verlag Pearson Deutschland GmbH 2006 Seite 77 CHAPTER 10 THE JOULE AND JOULE THOMSON EXPERIMENTS orca phys uvic ca abgerufen am 5 November 2016 Physical Chemistry R G Mortimer Academic Press 2008 siehe auch Formelsammlung Tabelle 12 staff mbi berlin de abgerufen am 3 November 2016 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Binnendruck amp oldid 228778582
