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Bhabha Streuung Die benannt nach dem indischen Physiker Homi J Bhabha ist ein quantenelektrodynamischer Streuprozess zwi

Bhabha-Streuung

Die Bhabha-Streuung, benannt nach dem indischen Physiker Homi J. Bhabha, ist ein quantenelektrodynamischer Streuprozess zwischen einem Teilchen und seinem Antiteilchen, beispielsweise zwischen Elektron und Positron. Für die Formeln wird das natürliche Einheitensystem für die Teilchenphysik verwendet.

Streuprozess Bearbeiten

Definition Bearbeiten

Der Streuprozess der Bhabha-Streuung lässt sich durch die Gleichung

beschreiben. Dabei wird ein virtuelles Photon als Austauschteilchen der elektromagnetischen Wechselwirkung erzeugt und vernichtet. Die quantenelektrodynamischen Streuprozesse können anschaulich durch Feynman-Diagramme dargestellt werden, die sich in stringente mathematische Ausdrücke für Wirkungsquerschnitte übertragen lassen. Da virtuelle Teilchen nicht beobachtet werden können, müssen alle verbundenen Feynman-Diagramme mit einem ein- und ausgehenden Elektron-Positron-Paar betrachtet werden.

Klassischer elektrodynamischer Streuprozess
Annihilation von Elektron und Positron mit Paarerzeugung

Das linke Diagramm beschreibt dabei einen klassischen elektrodynamischen Streuprozess, bei dem Elektron und Positron über eine Fernwirkung der elektromagnetischen Wechselwirkung unterliegen; das rechte einen Prozess, welcher nur durch Erzeugung und Vernichtung von Teilchen in den Quantenfeldtheorien erklärt werden kann. In Anlehnung an die Mandelstam-Variablen wird der linke Prozess t-Kanal, der rechte s-Kanal genannt.

Matrixelemente Bearbeiten

Das Matrixelement der Bhabha-Streuung besteht aufgrund der Fermi-Dirac-Statistik aus der Differenz der Matrixelemente der einzelnen Streuprozesse. Bezeichnen die Viererimpulse des ein- bzw. ausgehenden Positrons und die des Elektrons, die Dirac-Matrizen und sowie die Dirac-Spinoren für Teilchen bzw. Antiteilchen. Ein Querstrich über einem Spinor steht für die Dirac-Adjungierte und ist die Elementarladung.

Dann gilt nach den Feynman-Regeln der Quantenelektrodynamik:

In den Nennern treten dabei die Lorentz-invarianten Mandelstam-Variablen und auf, welche namensgebend für die entsprechenden Kanäle sind. Das gesamte Matrixelement ist daher:

Für die Umwandlung des Matrixelements in einen Wirkungsquerschnitt benötigt man dessen Betragsquadrat. Da im Regelfall die Spineinstellungen des Elektron-Positron-Paars vor dem Streuprozess nicht bekannt sind und die Einstellungen nach dem Prozess irrelevant sind, tritt im Wirkungsquerschnitt das Spin-gemittelte quadrierte Matrixelement auf, welches sich mithilfe Casimirs Trick stark vereinfachen lässt:

Der erste Term beschreibt die Wechselwirkung über den t-Kanal, der zweite die über den s-Kanal und der dritte ist der Interferenzterm aus der Quadrierung.

Unterschied zur Møller-Streuung Bearbeiten

Im Gegensatz zur Møller-Streuung, die die Elektron-Elektron-Streuung beschreibt, sind die beteiligten Objekte der Bhabha-Streuung unterscheidbar. Dies führt dazu, dass kein u-Kanal-Prozess aus der Vertauschung der beiden Streupartner im Vergleich zum t-Kanal auftritt. Hingegen sind Elektron und Positron ihre jeweiligen Antiteilchen, sodass der s-Kanal-Prozess als Annihilations-Paarerzeugungs-Prozess stattfinden kann.

Wirkungsquerschnitt Bearbeiten

Differentieller Wirkungsquerschnitt Bearbeiten

Im Gegensatz zum Lorentz-invarianten Matrixelement ist der differentielle Wirkungsquerschnitt bezugssystemabhängig, da das Raumwinkelelement vom gewählten Bezugssystem abhängt. Es bietet sich an, alle Rechnungen im Schwerpunktsystem durchzuführen und dann, wenn benötigt, einer Lorentz-Transformation in ein beliebiges anderes, zum Beispiel das Laborsystem, zu unterwerfen.

Im Schwerpunktsystem gilt:

Hochenergetischer Grenzfall Bearbeiten

Der hochenergetische (relativistische) Grenzfall ist dadurch definiert, dass die Schwerpunktsenergie groß gegenüber der Elektronenmasse ist. Dadurch vereinfacht sich das Matrixelement zu

wenn die kinematischen Variablen durch die Mandelstam-Variablen ausgedrückt werden. Dabei ist die dritte, nicht von und unabhängige Mandelstam-Variable. In dieser Darstellung ist die Crossing-Symmetrie zwischen s- und t-Kanal ersichtlich, da alle vorkommenden Größen symmetrisch in diesen beiden Variablen sind (dies ist jedoch bereits ungenähert der Fall).

Der differentielle Wirkungsquerschnitt lautet also

Drückt man zusätzlich die Mandelstam-Variablen durch die Energie der Streupartner, den eingeschlossenen Streuwinkel und die Feinstrukturkonstante aus, so ergibt sich für den differentiellen Wirkungsquerschnitt:

Durch diese Zerlegung wird die Struktur der Streuung sichtbar, da der erste Summand die klassische Erwartung durch die Rutherford-Streuung zweier geladener Teilchen angibt und der zweite die quantenelektrodynamische und Spin-Korrektur darstellt.

Literatur Bearbeiten

  • David Griffiths: Einführung in die Elementarteilchenphysik. (Übersetzt von Thomas Stange). Akademie-Verlag, Berlin 1996. ISBN 3-05-501627-0.
  • Michael E. Peskin und Daniel V. Schroeder. An Introduction to Quantum Field Theory. Perseus Books Publishing 1995, ISBN 0-201-50397-2.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Daniel V. Schroeder: Electron-Positron Scattering. (pdf) Abgerufen am 8. Oktober 2018.
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Veröffentlichungsdatum:
Die Bhabha Streuung benannt nach dem indischen Physiker Homi J Bhabha ist ein quantenelektrodynamischer Streuprozess zwischen einem Teilchen und seinem Antiteilchen beispielsweise zwischen Elektron und Positron Fur die Formeln wird das naturliche Einheitensystem fur die Teilchenphysik verwendet Inhaltsverzeichnis 1 Streuprozess 1 1 Definition 1 2 Matrixelemente 1 3 Unterschied zur Moller Streuung 2 Wirkungsquerschnitt 2 1 Differentieller Wirkungsquerschnitt 2 2 Hochenergetischer Grenzfall 3 Literatur 4 EinzelnachweiseStreuprozess BearbeitenDefinition Bearbeiten Der Streuprozess der Bhabha Streuung lasst sich durch die Gleichung e e e e displaystyle e e rightarrow e e nbsp beschreiben Dabei wird ein virtuelles Photon als Austauschteilchen der elektromagnetischen Wechselwirkung erzeugt und vernichtet Die quantenelektrodynamischen Streuprozesse konnen anschaulich durch Feynman Diagramme dargestellt werden die sich in stringente mathematische Ausdrucke fur Wirkungsquerschnitte ubertragen lassen Da virtuelle Teilchen nicht beobachtet werden konnen mussen alle verbundenen Feynman Diagramme mit einem ein und ausgehenden Elektron Positron Paar betrachtet werden nbsp Klassischer elektrodynamischer Streuprozess nbsp Annihilation von Elektron und Positron mit PaarerzeugungDas linke Diagramm beschreibt dabei einen klassischen elektrodynamischen Streuprozess bei dem Elektron und Positron uber eine Fernwirkung der elektromagnetischen Wechselwirkung unterliegen das rechte einen Prozess welcher nur durch Erzeugung und Vernichtung von Teilchen in den Quantenfeldtheorien erklart werden kann In Anlehnung an die Mandelstam Variablen wird der linke Prozess t Kanal der rechte s Kanal genannt Matrixelemente Bearbeiten Das Matrixelement M displaystyle mathcal M nbsp der Bhabha Streuung besteht aufgrund der Fermi Dirac Statistik aus der Differenz der Matrixelemente der einzelnen Streuprozesse Bezeichnen k k displaystyle k k nbsp die Viererimpulse des ein bzw ausgehenden Positrons und p p 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die Wechselwirkung uber den t Kanal der zweite die uber den s Kanal und der dritte ist der Interferenzterm aus der Quadrierung Unterschied zur Moller Streuung Bearbeiten Im Gegensatz zur Moller Streuung die die Elektron Elektron Streuung beschreibt sind die beteiligten Objekte der Bhabha Streuung unterscheidbar Dies fuhrt dazu dass kein u Kanal Prozess aus der Vertauschung der beiden Streupartner im Vergleich zum t Kanal auftritt Hingegen sind Elektron und Positron ihre jeweiligen Antiteilchen sodass der s Kanal Prozess als Annihilations Paarerzeugungs Prozess stattfinden kann Wirkungsquerschnitt BearbeitenDifferentieller Wirkungsquerschnitt Bearbeiten Im Gegensatz zum Lorentz invarianten Matrixelement ist der differentielle Wirkungsquerschnitt d s d W displaystyle mathrm d sigma mathrm d Omega nbsp bezugssystemabhangig da das Raumwinkelelement d W d cos 8 d ϕ displaystyle mathrm d Omega mathrm d cos theta mathrm d phi nbsp vom gewahlten Bezugssystem abhangt Es bietet sich an alle Rechnungen im Schwerpunktsystem durchzufuhren und dann wenn benotigt einer Lorentz Transformation in ein beliebiges anderes zum Beispiel das Laborsystem zu unterwerfen Im Schwerpunktsystem gilt d s d W CMS 1 64 p 2 s M 2 displaystyle frac mathrm d sigma mathrm d Omega text CMS frac 1 64 pi 2 s overline mathcal M 2 nbsp Hochenergetischer Grenzfall Bearbeiten Der hochenergetische relativistische Grenzfall ist dadurch definiert dass die Schwerpunktsenergie s displaystyle sqrt s nbsp gross gegenuber der Elektronenmasse ist Dadurch vereinfacht sich das Matrixelement zu M 2 2 e 4 s 2 u 2 t 2 t 2 u 2 s 2 2 u 2 s t displaystyle overline mathcal M 2 2e 4 left frac s 2 u 2 t 2 frac t 2 u 2 s 2 frac 2u 2 st right nbsp wenn die kinematischen Variablen p k k displaystyle p k k nbsp durch die Mandelstam Variablen s t u displaystyle s t u nbsp ausgedruckt werden Dabei ist u 4 m 2 s t displaystyle u 4m 2 s t nbsp die dritte nicht von s displaystyle s nbsp und t displaystyle t nbsp unabhangige Mandelstam Variable In dieser Darstellung ist die Crossing Symmetrie zwischen s und t Kanal ersichtlich da alle vorkommenden Grossen symmetrisch in diesen beiden Variablen sind dies ist jedoch bereits ungenahert der Fall Der differentielle Wirkungsquerschnitt lautet also d s d W CMS e 4 32 p 2 s s 2 u 2 t 2 t 2 u 2 s 2 2 u 2 s t displaystyle frac mathrm d sigma mathrm d Omega text CMS frac e 4 32 pi 2 s left frac s 2 u 2 t 2 frac t 2 u 2 s 2 frac 2u 2 st right nbsp Druckt man zusatzlich die Mandelstam Variablen durch die Energie E displaystyle E nbsp der Streupartner den eingeschlossenen Streuwinkel 8 displaystyle theta nbsp und die Feinstrukturkonstante a e 2 4 p displaystyle alpha frac e 2 4 pi nbsp aus so ergibt sich fur den differentiellen Wirkungsquerschnitt 1 d s d W CMS a 2 16 E 2 1 sin 4 8 2 cos 4 8 2 sin 4 8 2 2 cos 4 8 2 sin 2 8 2 1 cos 2 8 2 displaystyle frac mathrm d sigma mathrm d Omega text CMS frac alpha 2 16E 2 left frac 1 sin 4 theta 2 frac cos 4 theta 2 sin 4 theta 2 2 frac cos 4 theta 2 sin 2 theta 2 frac 1 cos 2 theta 2 right nbsp Durch diese Zerlegung wird die Struktur der Streuung sichtbar da der erste Summand die klassische Erwartung durch die Rutherford Streuung zweier geladener Teilchen angibt und der zweite die quantenelektrodynamische und Spin Korrektur darstellt Literatur BearbeitenDavid Griffiths Einfuhrung in die Elementarteilchenphysik Ubersetzt von Thomas Stange Akademie Verlag Berlin 1996 ISBN 3 05 501627 0 Michael E Peskin und Daniel V Schroeder An Introduction to Quantum Field Theory Perseus Books Publishing 1995 ISBN 0 201 50397 2 Einzelnachweise Bearbeiten Daniel V Schroeder Electron Positron Scattering pdf Abgerufen am 8 Oktober 2018 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Bhabha Streuung amp oldid 191069751