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Bethe Salpeter Gleichung Die 1 2 nach Hans Bethe und Edwin Salpeter 1951 beschreibt Bindungszustände eines quantenfeldth

Bethe-Salpeter-Gleichung

Die Bethe-Salpeter-Gleichung (nach Hans Bethe und Edwin Salpeter 1951) beschreibt Bindungszustände eines quantenfeldtheoretischen Zwei-Körper-Systems.

Eine graphische Darstellung der Bethe-Salpeter-Gleichung

Da die Bethe-Salpeter-Gleichung in vielen Bereichen der Theoretischen Physik ihre Anwendung findet, gibt es auch verschiedene Schreibweisen. Eine Form, wie sie in der Teilchenphysik häufig verwendet wird, ist

wobei Γ die Lösung der Bethe-Salpeter-Gleichung, die Bethe-Salpeter-Amplitude, darstellt, K den Wechselwirkungskern und S jeweils die Propagatoren der Teilchen, die den Bindungszustand bilden (im Folgenden als Konstituenten bezeichnet).

In einer Quantentheorie sind Bindungszustände stabil, das heißt, sie existieren unendlich lange und so können ihre Konstituenten unendlich oft miteinander wechselwirken. Die Bethe-Salpeter-Gleichung beschreibt diese Zustände, indem sie jede mögliche Wechselwirkung, die zwischen den beiden Konstituenten passieren kann, unendlich oft iteriert. Ihre Lösung, die Bethe-Salpeter-Amplitude beschreibt den Bindungszustand, z. B. im Orts- oder im Impulsraum.

Mögliche Anwendungen der Bethe-Salpeter-Gleichung sind das Wasserstoffatom, Positronium, Excitonen und Mesonen.

Herleitung Bearbeiten

Eine Herleitung der Bethe-Salpeter-Gleichung basiert auf der Tatsache, dass Bindungszustände Pole in den Greenschen Funktionen der Theorie sind.

Dazu beginnt man mit der Dyson-Gleichung für die 4-Punktfunktionen

wobei die 4-Punkt-Green-Funktion , sind die Propagatoren und der Wechselwirkungskern, der alle Zweiteilchen-irreduziblen Wechselwirkungen enthält.

Mit Hilfe der so genannten Bethe-Salpeter-Wellenfunktionen , die man als Übergangsamplitude der zwei Konstituenten in den Bindungszustand ansehen kann, kann man, in der Nähe des Bindungszustandpoles, die Greensche Funktion ansetzen als

wobei den Gesamtimpuls des Systems darstellt und die Masse des gebundenen Zustandes. Für hat dieser Ansatz einen Pol was genau der Massenschalenbedingung für relativistische Impulse entspricht.

geht man mit diesem Ansatz in die Dyson-Gleichung oben erhält man

wobei, setzt man , beide Seiten von ihren Residuen dominiert werden und man erhält

Die ist schon eine Form der Bethe-Salpeter-Gleichung. Oft werden jetzt noch die Bethe-Salpeter-Amplituden Γ eingeführt als

womit man die obige Form der Bethe-Salpeter-Gleichung erhält:

Näherungen Bearbeiten

Die Bethe-Salpeter-Gleichung in Leiter-Näherung

Da die Bethe-Salpeter-Gleichung alle möglichen Wechselwirkungen zwischen den zwei Konstituenten beinhaltet ist eine vollständige Lösung nur selten (wenn überhaupt) möglich und in praktischen Rechnungen sind Näherungen nötig.

  • Eine Möglichkeit ist, eines der Teilchen als viel schwerer als das andere anzunehmen und dann die Diracgleichung eines (des leichten) Teilchens in einem Potential zu lösen.
  • Will man wirklich, im Gegensatz zu oben, die Bethe-Salpeter-Gleichung lösen, so muss man den Wechselwirkungskern modellieren. In Quantenfeldtheorien werden Wechselwirkungen durch Teilchenaustausch beschrieben. Die einfachste Annahme über den Wechselwirkungskern ist nun, dass er genau aus dem Austausch eines dieser Kraftteilchen (z. B. Photonen in der Quantenelektrodynamik, Gluonen in der Quantenchromodynamik), zwischen den zwei Konstituenten besteht, der dann unendlich oft wiederholt wird. Da das entsprechende Feynmandiagramm einer Leiter ähnelt, heißt diese Näherung die Leiter-Näherung (oder Regenbogen-Leiter-Näherung) der Bethe-Salpeter-Gleichung.

Siehe auch Bearbeiten

Weblinks Bearbeiten

The Bethe-Salpeter Equation (englisch)

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. H. Bethe, E. Salpeter: A Relativistic Equation for Bound-State Problems. In: Physical Review. Band 82, Nr. 2, 15. April 1951, S. 309–310, doi:10.1103/PhysRev.82.291 (Teil der Proceedings of the American Physical Society. New York, 1.–3. Februar 1951).
  2. E. E. Salpeter, H. A. Bethe: A Relativistic Equation for Bound-State Problems. In: Physical Review. Band 84, Nr. 6, 15. Dezember 1951, S. 1232, doi:10.1103/PhysRev.84.1232.
  3. W. A. Newcomb, E. E. Salpeter: Mass Corrections to the Hyperfine Structure in Hydrogen. In: Physical Review. Band 97, Nr. 4, 15. Februar 1955, S. 1146–1158, doi:10.1103/PhysRev.97.1146.
  4. Mildred S. Dresselhaus, Gene Dresselhaus, Riichiro Saito, Ado Jorio: Exciton Photophysics of Carbon Nanotubes. In: Annual Review of Physical Chemistry. Band 58, Nr. 1, Mai 2007, S. 719–747, doi:10.1146/annurev.physchem.58.032806.104628.
  5. D. B. Leinweber, L. von Smekal, A. G. Williams, P. Maris, P. C. Tandy: Proceedings of the Cairns Topical Workshop on Light-Cone QCD and Nonperturbative Hadron PhysicsQCD modeling of hadron physics. In: Nuclear Physics B. Band 161, November 2006, S. 136–152, hier S. 136., doi:10.1016/j.nuclphysbps.2006.08.012.
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Die Bethe Salpeter Gleichung 1 2 nach Hans Bethe und Edwin Salpeter 1951 beschreibt Bindungszustande eines quantenfeldtheoretischen Zwei Korper Systems Eine graphische Darstellung der Bethe Salpeter GleichungDa die Bethe Salpeter Gleichung in vielen Bereichen der Theoretischen Physik ihre Anwendung findet gibt es auch verschiedene Schreibweisen Eine Form wie sie in der Teilchenphysik haufig verwendet wird ist G P p d 4 k 2 p 4 K P p k S k P 2 G P k S k P 2 displaystyle Gamma P p int frac d 4 k 2 pi 4 K P p k S Bigl k frac P 2 Bigr Gamma P k S Bigl k frac P 2 Bigr wobei G die Losung der Bethe Salpeter Gleichung die Bethe Salpeter Amplitude darstellt K den Wechselwirkungskern und S jeweils die Propagatoren der Teilchen die den Bindungszustand bilden im Folgenden als Konstituenten bezeichnet In einer Quantentheorie sind Bindungszustande stabil das heisst sie existieren unendlich lange und so konnen ihre Konstituenten unendlich oft miteinander wechselwirken Die Bethe Salpeter Gleichung beschreibt diese Zustande indem sie jede mogliche Wechselwirkung die zwischen den beiden Konstituenten passieren kann unendlich oft iteriert Ihre Losung die Bethe Salpeter Amplitude beschreibt den Bindungszustand z B im Orts oder im Impulsraum Mogliche Anwendungen der Bethe Salpeter Gleichung sind das Wasserstoffatom 3 Positronium Excitonen 4 und Mesonen 5 Inhaltsverzeichnis 1 Herleitung 2 Naherungen 3 Siehe auch 4 Weblinks 5 EinzelnachweiseHerleitung BearbeitenEine Herleitung der Bethe Salpeter Gleichung basiert auf der Tatsache dass Bindungszustande Pole in den Greenschen Funktionen der Theorie sind Dazu beginnt man mit der Dyson Gleichung fur die 4 Punktfunktionen G S 1 S 2 S 1 S 2 K 12 G displaystyle G S 1 S 2 S 1 S 2 K 12 G nbsp wobei G displaystyle G nbsp die 4 Punkt Green Funktion W ϕ 1 ϕ 2 ϕ 3 ϕ 4 W displaystyle langle Omega phi 1 phi 2 phi 3 phi 4 Omega rangle nbsp S displaystyle S nbsp sind die Propagatoren und K displaystyle K nbsp der Wechselwirkungskern der alle Zweiteilchen irreduziblen Wechselwirkungen enthalt Mit Hilfe der so genannten Bethe Salpeter Wellenfunktionen PS W ϕ 1 ϕ 2 ps displaystyle Psi langle Omega phi 1 phi 2 psi rangle nbsp die man als Ubergangsamplitude der zwei Konstituenten in den Bindungszustand ansehen kann kann man in der Nahe des Bindungszustandpoles die Greensche Funktion ansetzen als G PS PS P 2 M 2 displaystyle G frac Psi bar Psi P 2 M 2 nbsp wobei P displaystyle P nbsp den Gesamtimpuls des Systems darstellt und M displaystyle M nbsp die Masse des gebundenen Zustandes Fur P 2 M 2 displaystyle P 2 M 2 nbsp hat dieser Ansatz einen Pol was genau der Massenschalenbedingung fur relativistische Impulse entspricht geht man mit diesem Ansatz in die Dyson Gleichung oben erhalt man PS PS P 2 M 2 S 1 S 2 S 1 S 2 K 12 PS PS P 2 M 2 displaystyle frac Psi bar Psi P 2 M 2 S 1 S 2 S 1 S 2 K 12 frac Psi bar Psi P 2 M 2 nbsp wobei setzt man P 2 M 2 displaystyle P 2 M 2 nbsp beide Seiten von ihren Residuen dominiert werden und man erhalt PS S 1 S 2 K 12 PS displaystyle Psi S 1 S 2 K 12 Psi nbsp Die ist schon eine Form der Bethe Salpeter Gleichung Oft werden jetzt noch die Bethe Salpeter Amplituden G eingefuhrt als PS S 1 S 2 G displaystyle Psi S 1 S 2 Gamma nbsp womit man die obige Form der Bethe Salpeter Gleichung erhalt G K 12 S 1 S 2 G displaystyle Gamma K 12 S 1 S 2 Gamma nbsp Naherungen Bearbeiten nbsp Die Bethe Salpeter Gleichung in Leiter NaherungDa die Bethe Salpeter Gleichung alle moglichen Wechselwirkungen zwischen den zwei Konstituenten beinhaltet ist eine vollstandige Losung nur selten wenn uberhaupt moglich und in praktischen Rechnungen sind Naherungen notig Eine Moglichkeit ist eines der Teilchen als viel schwerer als das andere anzunehmen und dann die Diracgleichung eines des leichten Teilchens in einem Potential zu losen Will man wirklich im Gegensatz zu oben die Bethe Salpeter Gleichung losen so muss man den Wechselwirkungskern modellieren In Quantenfeldtheorien werden Wechselwirkungen durch Teilchenaustausch beschrieben Die einfachste Annahme uber den Wechselwirkungskern ist nun dass er genau aus dem Austausch eines dieser Kraftteilchen z B Photonen in der Quantenelektrodynamik Gluonen in der Quantenchromodynamik zwischen den zwei Konstituenten besteht der dann unendlich oft wiederholt wird Da das entsprechende Feynmandiagramm einer Leiter ahnelt heisst diese Naherung die Leiter Naherung oder Regenbogen Leiter Naherung der Bethe Salpeter Gleichung Siehe auch BearbeitenDyson Gleichung Dyson Schwinger Gleichungen Gebundener ZustandWeblinks BearbeitenThe Bethe Salpeter Equation englisch Einzelnachweise Bearbeiten H Bethe E Salpeter A Relativistic Equation for Bound State Problems In Physical Review Band 82 Nr 2 15 April 1951 S 309 310 doi 10 1103 PhysRev 82 291 Teil der Proceedings of the American Physical Society New York 1 3 Februar 1951 E E Salpeter H A Bethe A Relativistic Equation for Bound State Problems In Physical Review Band 84 Nr 6 15 Dezember 1951 S 1232 doi 10 1103 PhysRev 84 1232 W A Newcomb E E Salpeter Mass Corrections to the Hyperfine Structure in Hydrogen In Physical Review Band 97 Nr 4 15 Februar 1955 S 1146 1158 doi 10 1103 PhysRev 97 1146 Mildred S Dresselhaus Gene Dresselhaus Riichiro Saito Ado Jorio Exciton Photophysics of Carbon Nanotubes In Annual Review of Physical Chemistry Band 58 Nr 1 Mai 2007 S 719 747 doi 10 1146 annurev physchem 58 032806 104628 D B Leinweber L von Smekal A G Williams P Maris P C Tandy Proceedings of the Cairns Topical Workshop on Light Cone QCD and Nonperturbative Hadron PhysicsQCD modeling of hadron physics In Nuclear Physics B Band 161 November 2006 S 136 152 hier S 136 doi 10 1016 j nuclphysbps 2006 08 012 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Bethe Salpeter Gleichung amp oldid 230946793