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Bekenstein Hawking Entropie Die Schwarzer Löcher ordnet diesen eine formale Entropie S S L displaystyle S mathrm SL zu d

Bekenstein-Hawking-Entropie

Die Bekenstein-Hawking-Entropie Schwarzer Löcher ordnet diesen eine formale Entropie zu, die nur vom Oberflächeninhalt ihres Ereignishorizonts und von fundamentalen Naturkonstanten abhängt. Sie wurde 1973 von Jacob Bekenstein gefunden und von Stephen Hawking bald darauf durch seine Theorie der Hawking-Strahlung gestützt.

Durch die Entropie-Gleichung von Bekenstein und Hawking lässt sich ein Zusammenhang zwischen der Thermodynamik, der Quantenmechanik und der allgemeinen Relativitätstheorie herstellen. Ein fundamentales Ziel einer bisher nur in Ansätzen existierenden Theorie der Quantengravitation ist die Interpretation der Bekenstein-Hawking-Entropie durch mikroskopische Freiheitsgrade.

Die Bekenstein-Hawking-Entropie war eine Motivation für das Holografische Prinzip.

Geschichte Bearbeiten

1971 stellte Stephen Hawking das zweite Gesetz der Thermodynamik Schwarzer Löcher auf: Die Oberfläche Schwarzer Löcher kann niemals abnehmen bei Prozessen wie der Verschmelzung oder Streuung Schwarzer Löcher und auch nicht, wenn ein Teilchen hineinfällt. Dabei entspricht die Oberfläche dem Quadrat der irreduziblen Masse des Schwarzen Lochs (Masse nach reversibler Entfernung von Ladung und Drehmoment). Das legte die Analogie der Oberfläche Schwarzer Löcher mit einer Entropie nahe. Während seiner Doktorarbeit stellte Jacob Bekenstein das folgende Gedankenexperiment an: Fällt ein Körper mit einer Entropie in ein Schwarzes Loch, so kann ein außenstehender Beobachter nur zwei Dinge feststellen: Die Entropie außerhalb des Ereignishorizonts hat abgenommen und die Oberfläche des Schwarzen Loches ist größer geworden. Um eine Verletzung des zweiten Hauptsatzes der Thermodynamik auszuschließen, muss er daher die Oberfläche des Schwarzen Lochs als ein Maß für die im Schwarzen Loch enthaltene Entropie interpretieren:

wobei die Entropie des Schwarzen Lochs ist, die Boltzmann-Konstante, die Lichtgeschwindigkeit, die Oberfläche des Ereignishorizontes, das plancksches Wirkungsquantum dividiert durch 2 und die Gravitationskonstante. Die zweite Darstellung verwendet die Planck-Länge . In der Literatur wird die Boltzmannkonstante oft weggelassen bzw. gesetzt.

Die Oberfläche des Ereignishorizonts ist dabei für ungeladene, stationäre, kugelsymmetrische Schwarze Löcher (beschrieben durch eine Schwarzschild-Metrik, Masse ) durch

gegeben mit dem Schwarzschildradius , und für rotierende Schwarze Löcher (Drehimpuls ) durch:

Stephen Hawking kritisierte daran, dass damit das Schwarze Loch auch eine Temperatur besitzen müsse. Ein Körper mit nichtverschwindender Temperatur besitzt jedoch eine Schwarzkörperstrahlung, die dem gängigen Bild widerspricht, dass aus dem Schwarzen Loch nichts mehr entweicht. Hawking löste dieses Paradoxon dadurch auf, dass er darauf hinwies, dass ein Ereignishorizont ohne jegliche Ausdehnung bei zugleich angenommener exakter Energiedichte der quantenmechanischen Unschärferelation widersprechen würde. In unmittelbarer Nähe des Ereignishorizonts sei die Energiedichte des Gravitationsfeldes vielmehr so groß, dass sich Teilchenpaare bilden, von denen eines in das Schwarze Loch fällt, das andere jedoch entweicht. Mit dieser Hawking-Strahlung ist das Gleichsetzen von Entropie und Oberfläche des Schwarzen Lochs möglich, die Entropie des Schwarzen Lochs trägt daher den Namen Bekenstein-Hawking-Entropie.

Die Temperatur des Schwarzen Lochs beträgt

Diese Temperatur liegt typischerweise in der Größenordnung eines Millionstel Kelvins und wird mit zunehmender Masse des Schwarzen Lochs geringer. Das Schwarze Loch kann sich auflösen, wenn die Energie der abgestrahlten Hawking-Strahlung für einen ausreichend langen Zeitraum die Energie der einfallenden Materie übersteigt.

Verallgemeinerter zweiter Hauptsatz der Thermodynamik Bearbeiten

Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik besagt, dass für ein abgeschlossenes System die Entropie nicht kleiner werden kann. Da auch Entropie enthaltende Körper in ein Schwarzes Loch fallen können, stellt sich die Frage, ob dadurch der zweite Hauptsatz verletzt wird. Durch den Zusammenhang zwischen Oberfläche und Entropie des Schwarzen Lochs kann der zweite Hauptsatz jedoch verallgemeinert werden: "Die Summe aus „gewöhnlicher“ Entropie und der (mit multiplizierten) Gesamtfläche aller Ereignishorizonte kann mit der Zeit nicht abnehmen."

Man betrachte zum Beispiel die Fusion zweier Schwarzer Löcher der Massen M1 und M2. Der Fusionsprozess sei isentrop, d. h., die gewöhnliche Entropie des Systems verändert sich nicht. Da die Fläche des Ereignishorizontes A proportional zum Quadrat der Masse ist, ergibt sich für die Änderung :

Die Gesamtfläche nimmt also zu und die Fusion zweier Schwarzer Löcher steht somit nicht im Widerspruch zum verallgemeinerten zweiten Hauptsatz. Man betrachte nun den Zerfall eines Schwarzen Loches der Masse M1+M2 in zwei kleinere Schwarze Löcher der Massen M1 und M2. Der Zerfallsprozess sei wieder isentrop. Für die Änderung der Gesamtfläche der Ereignishorizonte gilt dann:

Die Gesamtfläche würde also bei dem Zerfall eines Schwarzen Loches in zwei kleinere abnehmen. Der verallgemeinerte zweite Hauptsatz der Thermodynamik verbietet also den Zerfall eines Schwarzen Loches in zwei kleinere.

Beobachtungen Bearbeiten

Der Satz von Hawking über die Zunahme der Fläche des Ereignishorizonts und damit der Bekenstein-Hawking-Entropie wurde aus Gravitationswellendaten bei der Verschmelzung schwarzer Löcher 2021 bestätigt.

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. ↑ Jacob D. Bekenstein: Black holes and entropy. In: Phys.Rev. D, Nr. 7, 1973, S. 2333–2346 (Online [PDF; abgerufen am 9. Dezember 2014]).
  2. Hawking, Gravitational radiation from colliding black holes, Phys. Rev. Lett., Band 26, 1971, S. 1344
  3. Misner, Thorne, Wheeler, Gravitation, Freeman 1973, S. 889
  4. Stephen W. Hawking: Particle Creation by Black Holes. In: Commun. Math. Phys. Band 43, 1975, S. 199–220, doi:10.1007/BF02345020.
  5. ↑ Stephen W. Hawking: Eine kurze Geschichte der Zeit. 1. Auflage. Rowohlt Verlag, 1988, ISBN 3-498-02884-7 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
  6. Maximiliano Isi, Will M. Farr, Matthew Giesler, Mark A. Scheel, and Saul A. Teukolsky, Testing the Black-Hole Area Law with GW150914, Phys. Rev. Lett. 127, 011103, 1. Juli 2021
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Veröffentlichungsdatum:
Die Bekenstein Hawking Entropie Schwarzer Locher ordnet diesen eine formale Entropie S S L displaystyle S mathrm SL zu die nur vom Oberflacheninhalt ihres Ereignishorizonts und von fundamentalen Naturkonstanten abhangt Sie wurde 1973 von Jacob Bekenstein 1 gefunden und von Stephen Hawking bald darauf durch seine Theorie der Hawking Strahlung gestutzt Durch die Entropie Gleichung von Bekenstein und Hawking lasst sich ein Zusammenhang zwischen der Thermodynamik der Quantenmechanik und der allgemeinen Relativitatstheorie herstellen Ein fundamentales Ziel einer bisher nur in Ansatzen existierenden Theorie der Quantengravitation ist die Interpretation der Bekenstein Hawking Entropie durch mikroskopische Freiheitsgrade Die Bekenstein Hawking Entropie war eine Motivation fur das Holografische Prinzip Inhaltsverzeichnis 1 Geschichte 2 Verallgemeinerter zweiter Hauptsatz der Thermodynamik 3 Beobachtungen 4 Weblinks 5 EinzelnachweiseGeschichte Bearbeiten1971 2 3 stellte Stephen Hawking das zweite Gesetz der Thermodynamik Schwarzer Locher auf Die Oberflache Schwarzer Locher kann niemals abnehmen bei Prozessen wie der Verschmelzung oder Streuung Schwarzer Locher und auch nicht wenn ein Teilchen hineinfallt Dabei entspricht die Oberflache dem Quadrat der irreduziblen Masse des Schwarzen Lochs Masse nach reversibler Entfernung von Ladung und Drehmoment Das legte die Analogie der Oberflache Schwarzer Locher mit einer Entropie nahe Wahrend seiner Doktorarbeit stellte Jacob Bekenstein das folgende Gedankenexperiment an Fallt ein Korper mit einer Entropie S displaystyle S nbsp in ein Schwarzes Loch so kann ein aussenstehender Beobachter nur zwei Dinge feststellen Die Entropie ausserhalb des Ereignishorizonts hat abgenommen und die Oberflache des Schwarzen Loches ist grosser geworden Um eine Verletzung des zweiten Hauptsatzes der Thermodynamik auszuschliessen muss er daher die Oberflache des Schwarzen Lochs als ein Mass fur die im Schwarzen Loch enthaltene Entropie interpretieren 1 S S L k B c 3 A 4 ℏ G k B A 4 l P 2 displaystyle S mathrm SL frac k mathrm B c 3 A 4 hbar G frac k mathrm B A 4 l mathrm P 2 nbsp wobei S S L displaystyle S mathrm SL nbsp die Entropie des Schwarzen Lochs ist k B displaystyle k mathrm B nbsp die Boltzmann Konstante c displaystyle c nbsp die Lichtgeschwindigkeit A displaystyle A nbsp die Oberflache des Ereignishorizontes ℏ displaystyle hbar nbsp das plancksches Wirkungsquantum dividiert durch 2p displaystyle pi nbsp und G displaystyle G nbsp die Gravitationskonstante Die zweite Darstellung verwendet die Planck Lange l P G ℏ c 3 displaystyle l mathrm P sqrt G hbar c 3 nbsp In der Literatur wird die Boltzmannkonstante oft weggelassen bzw k B 1 displaystyle k mathrm B 1 nbsp gesetzt Die Oberflache des Ereignishorizonts ist dabei fur ungeladene stationare kugelsymmetrische Schwarze Locher beschrieben durch eine Schwarzschild Metrik Masse M displaystyle M nbsp durch A 4 p r S 2 16 p G M c 2 2 displaystyle A 4 pi r mathrm S 2 16 pi left frac GM c 2 right 2 nbsp gegeben mit dem Schwarzschildradius r S 2 G M c 2 displaystyle r mathrm S frac 2GM c 2 nbsp und fur rotierende Schwarze Locher Drehimpuls J displaystyle J nbsp durch A 4 p r S 2 J M c 2 displaystyle A 4 pi left r mathrm S 2 left frac J Mc right 2 right nbsp Stephen Hawking kritisierte daran dass damit das Schwarze Loch auch eine Temperatur besitzen musse Ein Korper mit nichtverschwindender Temperatur besitzt jedoch eine Schwarzkorperstrahlung die dem gangigen Bild widerspricht dass aus dem Schwarzen Loch nichts mehr entweicht Hawking loste dieses Paradoxon dadurch auf dass er darauf hinwies dass ein Ereignishorizont ohne jegliche Ausdehnung bei zugleich angenommener exakter Energiedichte der quantenmechanischen Unscharferelation widersprechen wurde In unmittelbarer Nahe des Ereignishorizonts sei die Energiedichte des Gravitationsfeldes vielmehr so gross dass sich Teilchenpaare bilden von denen eines in das Schwarze Loch fallt das andere jedoch entweicht 4 Mit dieser Hawking Strahlung ist das Gleichsetzen von Entropie und Oberflache des Schwarzen Lochs moglich die Entropie des Schwarzen Lochs tragt daher den Namen Bekenstein Hawking Entropie 5 Die Temperatur des Schwarzen Lochs betragt T ℏ c 3 8 p G M k B displaystyle T frac hbar c 3 8 pi G Mk mathrm B nbsp Diese Temperatur liegt typischerweise in der Grossenordnung eines Millionstel Kelvins und wird mit zunehmender Masse des Schwarzen Lochs geringer Das Schwarze Loch kann sich auflosen wenn die Energie der abgestrahlten Hawking Strahlung fur einen ausreichend langen Zeitraum die Energie der einfallenden Materie ubersteigt 5 Verallgemeinerter zweiter Hauptsatz der Thermodynamik BearbeitenDer zweite Hauptsatz der Thermodynamik besagt dass fur ein abgeschlossenes System die Entropie nicht kleiner werden kann Da auch Entropie enthaltende Korper in ein Schwarzes Loch fallen konnen stellt sich die Frage ob dadurch der zweite Hauptsatz verletzt wird Durch den Zusammenhang zwischen Oberflache und Entropie des Schwarzen Lochs kann der zweite Hauptsatz jedoch verallgemeinert werden Die Summe aus gewohnlicher Entropie und der mit k B 4 l P 2 displaystyle k mathrm B 4l mathrm P 2 nbsp multiplizierten Gesamtflache aller Ereignishorizonte kann mit der Zeit nicht abnehmen Man betrachte zum Beispiel die Fusion zweier Schwarzer Locher der Massen M1 und M2 Der Fusionsprozess sei isentrop d h die gewohnliche Entropie des Systems verandert sich nicht Da die Flache des Ereignishorizontes A proportional zum Quadrat der Masse ist ergibt sich fur die Anderung D A A nachher A vorher displaystyle Delta A A text nachher A text vorher nbsp D A A M 1 M 2 A M 1 A M 2 M 1 M 2 2 M 1 2 M 2 2 2 M 1 M 2 gt 0 displaystyle Delta A A M 1 M 2 A M 1 A M 2 sim M 1 M 2 2 M 1 2 M 2 2 2M 1 M 2 gt 0 nbsp Die Gesamtflache nimmt also zu und die Fusion zweier Schwarzer Locher steht somit nicht im Widerspruch zum verallgemeinerten zweiten Hauptsatz Man betrachte nun den Zerfall eines Schwarzen Loches der Masse M1 M2 in zwei kleinere Schwarze Locher der Massen M1 und M2 Der Zerfallsprozess sei wieder isentrop Fur die Anderung der Gesamtflache der Ereignishorizonte gilt dann D A A M 1 A M 2 A M 1 M 2 M 1 2 M 2 2 M 1 M 2 2 2 M 1 M 2 lt 0 displaystyle Delta A A M 1 A M 2 A M 1 M 2 sim M 1 2 M 2 2 M 1 M 2 2 2M 1 M 2 lt 0 nbsp Die Gesamtflache wurde also bei dem Zerfall eines Schwarzen Loches in zwei kleinere abnehmen Der verallgemeinerte zweite Hauptsatz der Thermodynamik verbietet also den Zerfall eines Schwarzen Loches in zwei kleinere Beobachtungen BearbeitenDer Satz von Hawking uber die Zunahme der Flache des Ereignishorizonts und damit der Bekenstein Hawking Entropie wurde aus Gravitationswellendaten bei der Verschmelzung schwarzer Locher 2021 bestatigt 6 Weblinks BearbeitenSchwarze Locher light abenteuer universum de Bekenstein Bekenstein Hawking Entropy ScholarpediaEinzelnachweise Bearbeiten a b Jacob D Bekenstein Black holes and entropy In Phys Rev D Nr 7 1973 S 2333 2346 Online PDF abgerufen am 9 Dezember 2014 Hawking Gravitational radiation from colliding black holes Phys Rev Lett Band 26 1971 S 1344 Misner Thorne Wheeler Gravitation Freeman 1973 S 889 Stephen W Hawking Particle Creation by Black Holes In Commun Math Phys Band 43 1975 S 199 220 doi 10 1007 BF02345020 a b Stephen W Hawking Eine kurze Geschichte der Zeit 1 Auflage Rowohlt Verlag 1988 ISBN 3 498 02884 7 eingeschrankte Vorschau in der Google Buchsuche Maximiliano Isi Will M Farr Matthew Giesler Mark A Scheel and Saul A Teukolsky Testing the Black Hole Area Law with GW150914 Phys Rev Lett 127 011103 1 Juli 2021 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Bekenstein Hawking Entropie amp oldid 213615484