www.wikidata.de-de.nina.az

Arcsin Verteilung DichtefunktionVerteilungsfunktionParameter keineTräger x 0 1 displaystyle x in 0 1 Dichtefunktion 1 π

Arcsin-Verteilung

Arcsin-Verteilung
Dichtefunktion
Verteilungsfunktion
Parameter keine
Träger
Dichtefunktion
Verteilungsfunktion
Erwartungswert
Median
Modus
Varianz
Schiefe

Die Arcsin-Verteilung, auch Arkussinus-Verteilung genannt, ist eine univariate Wahrscheinlichkeitsverteilung. Sie ist ein Spezialfall der Beta-Verteilung mit den Parametern und spielt eine wichtige Rolle in der Theorie der brownschen Bewegung.

Definition Bearbeiten

Die Arcsin-Verteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf . Sie ist definiert durch ihre Verteilungsfunktion

und ihre Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion

Eigenschaften Bearbeiten

Es sei eine arcsin-verteilte Zufallsvariable.

Erwartungswert und Varianz Bearbeiten

Der Erwartungswert ergibt sich zu

und die Varianz zu

Symmetrie Bearbeiten

Die Arcsin-Verteilung ist symmetrisch um 0,5.

Arcsin-Gesetze Bearbeiten

Es gibt eine Vielzahl von Arcsin-Gesetzen. Veröffentlichungen dazu stammen unter anderem von Paul Lévy, Paul Erdős, Mark Kac und Erik Sparre Andersen. Nach ihnen sind die Arcsin-Gesetze zum Teil benannt.

Die folgenden Arcsin-Gesetze treffen Aussagen über die Dauer, wie lange sich ein stochastischer Prozess im positiven Bereich aufhält. Es können stattdessen auch die Abbildungen:

  • frühester Zeitpunkt eines Maximums und
  • dem Zeitpunkt, wann zum letzten Mal der Ursprung gekreuzt wird

betrachtet werden, wobei dann gegebenenfalls weitere Annahmen getroffen werden müssen.

Arcsin-Gesetz von Paul Lévy Bearbeiten

Die Zeitlängen, die ein eindimensionaler Standard-Wiener-Prozess positiv ist, sind arcsin-verteilt. Das heißt für

gilt

wobei das eindimensionale Lebesgue-Maß bezeichnet.

Arcsin-Gesetz von Paul Erdős und Mark Kac Bearbeiten

Sei eine Folge von eindimensionalen, unabhängigen und identisch verteilten Zufallsvariablen. Weiter wird angenommen, dass sie Erwartungswert 0 und Varianz 1 haben. Die fortlaufenden Anzahlen der Summen

die positiv sind, sind definiert durch

Dann gilt die folgende Konvergenz in Verteilung

Die Annahmen können variiert werden, sofern der Zentrale Grenzwertsatz weiterhin für gilt.

Arcsin-Gesetz von Erik Sparre Andersen Bearbeiten

Sei eine Folge von Zufallsvariablen. Zu jeder Auswahl von endlich vielen Zufallsvariablen existieren die gemeinsamen Dichten und diese sind invariant bezüglich s-Permutationen. Eine s-Permutation besteht aus der Kompositionen einer Permutation und Vorzeichenwechsel in beliebigen Koordinaten. Dann gilt analog zum Arcsin-Gesetz von Erdős und Kac für die Summen und die die Anzahl von positiven Zufallsvariablen die folgende Konvergenz in Verteilung

Diskrete Arcsin-Verteilung Bearbeiten

Beispiele zur Wahrscheinlichkeitsfunktion der diskreten Arcsin-Verteilung, wobei einem Parameter und einer Ausprägung entspricht.

In der Fluktuationstheorie konnte Erik Sparre Andersen zeigen, dass die sogenannte diskrete Arcsin-Verteilung von Bedeutung ist. Diese ist für jeden Parameter durch ihre Wahrscheinlichkeitsfunktion

und ihre Verteilungsfunktion

definiert.

Der Name ist durch ihr Konvergenzverhalten zur Arcsin-Verteilung begründet, so gilt die gleichmäßige Konvergenz

Erik Sparre Andersen zeigte die entsprechende Konvergenz in Verteilung im gleichen Zug mit dem vorigen Arcsin-Gesetz.

Literatur Bearbeiten

  • William Feller: An introduction to probability theory and its applications. Band 2. Wiley, 1971.
  • Konrad Jacobs: Discrete Stochastics. Birkhäuser, Basel 2012, ISBN 3-0348-8645-4.

Fußnoten Bearbeiten

  1. Bauer, Heinz: Wahrscheinlichkeitstheorie. de Gruyter, 2002, S. 491–492.
  2. Paul Lévy: Sur certains processus stochastiques homogènes, Compositio Mathematica. Band 7, 1939, S. 283–339.
  3. Paul Erdős, Mark Kac: On the number of positive sums of independent random variables. In: Bull. Amer. Math. Soc. Band 53, Nr. 10, 1947, S. 1011–1020.
  4. Erik Sparre Andersen: On the Number of Positive Sums of Random Variables. In: Scandinavian Actuarial Journal. Band 1949, Nr. 1, 1949, S. 27–36, doi:10.1080/03461238.1949.10419756.
wikipedia, wiki, deutsches, deutschland, buch, bücher, bibliothek artikel lesen, herunterladen kostenlos kostenloser herunterladen, MP3, Video, MP4, 3GP, JPG, JPEG, GIF, PNG, Bild, Musik, Lied, Film, Buch, Spiel, Spiele
Veröffentlichungsdatum:
Arcsin VerteilungDichtefunktionVerteilungsfunktionParameter keineTrager x 0 1 displaystyle x in 0 1 Dichtefunktion 1 p x 1 x displaystyle frac 1 pi sqrt x 1 x Verteilungsfunktion 2 p arcsin x displaystyle frac 2 pi arcsin left sqrt x right Erwartungswert 1 2 displaystyle frac 1 2 Median 1 2 displaystyle frac 1 2 Modus 0 1 displaystyle 0 1 Varianz 1 8 displaystyle frac 1 8 Schiefe 0 displaystyle 0 Die Arcsin Verteilung auch Arkussinus Verteilung genannt ist eine univariate Wahrscheinlichkeitsverteilung Sie ist ein Spezialfall der Beta Verteilung mit den Parametern p q 1 2 displaystyle p q tfrac 1 2 und spielt eine wichtige Rolle in der Theorie der brownschen Bewegung Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Eigenschaften 2 1 Erwartungswert und Varianz 2 2 Symmetrie 3 Arcsin Gesetze 3 1 Arcsin Gesetz von Paul Levy 3 2 Arcsin Gesetz von Paul Erdos und Mark Kac 3 3 Arcsin Gesetz von Erik Sparre Andersen 3 4 Diskrete Arcsin Verteilung 4 Literatur 5 FussnotenDefinition BearbeitenDie Arcsin Verteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf 0 1 displaystyle 0 1 nbsp Sie ist definiert durch ihre Verteilungsfunktion F x 2 p arcsin x x 0 1 displaystyle F x frac 2 pi arcsin left sqrt x right x in 0 1 nbsp und ihre Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion f x 1 p x 1 x wenn x 0 1 0 wenn x 0 1 displaystyle f x begin cases frac 1 pi sqrt x 1 x amp text wenn x in 0 1 0 amp text wenn x in 0 1 end cases nbsp Eigenschaften BearbeitenEs sei X displaystyle X nbsp eine arcsin verteilte Zufallsvariable Erwartungswert und Varianz Bearbeiten Der Erwartungswert ergibt sich zu E X 1 2 displaystyle operatorname E X frac 1 2 nbsp und die Varianz zu Var X 1 8 displaystyle operatorname Var X frac 1 8 nbsp Symmetrie Bearbeiten Die Arcsin Verteilung ist symmetrisch um 0 5 Arcsin Gesetze BearbeitenEs gibt eine Vielzahl von Arcsin Gesetzen Veroffentlichungen dazu stammen unter anderem von Paul Levy Paul Erdos Mark Kac und Erik Sparre Andersen Nach ihnen sind die Arcsin Gesetze zum Teil benannt Die folgenden Arcsin Gesetze treffen Aussagen uber die Dauer wie lange sich ein stochastischer Prozess im positiven Bereich aufhalt Es konnen stattdessen auch die Abbildungen fruhester Zeitpunkt eines Maximums und dem Zeitpunkt wann zum letzten Mal der Ursprung gekreuzt wirdbetrachtet werden wobei dann gegebenenfalls weitere Annahmen getroffen werden mussen Arcsin Gesetz von Paul Levy Bearbeiten Die Zeitlangen die ein eindimensionaler Standard Wiener Prozess W t t 0 1 displaystyle W t t in 0 1 nbsp positiv ist sind arcsin verteilt Das heisst fur U l t 0 1 W t gt 0 x 0 1 displaystyle U lambda t in 0 1 mid W t gt 0 x in 0 1 nbsp gilt P U x F x x 0 1 displaystyle P U leq x F x x in 0 1 nbsp wobei l displaystyle lambda nbsp das eindimensionale Lebesgue Mass bezeichnet 1 2 Arcsin Gesetz von Paul Erdos und Mark Kac Bearbeiten Sei X i i N displaystyle X i i in mathbb N nbsp eine Folge von eindimensionalen unabhangigen und identisch verteilten Zufallsvariablen Weiter wird angenommen dass sie Erwartungswert 0 und Varianz 1 haben Die fortlaufenden Anzahlen der Summen S k X 1 X k k N displaystyle S k X 1 dotsb X k k in mathbb N nbsp die positiv sind sind definiert durch N n k 1 n S k gt 0 n N displaystyle N n k in 1 dotsc n mid S k gt 0 n in mathbb N nbsp Dann gilt die folgende Konvergenz in Verteilung lim n P N n n x F x x 0 1 displaystyle lim n rightarrow infty P left frac N n n leq x right F x x in 0 1 nbsp 3 Die Annahmen konnen variiert werden sofern der Zentrale Grenzwertsatz weiterhin fur X i i N displaystyle X i i in mathbb N nbsp gilt Arcsin Gesetz von Erik Sparre Andersen Bearbeiten Sei X i i N displaystyle X i i in mathbb N nbsp eine Folge von Zufallsvariablen Zu jeder Auswahl von endlich vielen Zufallsvariablen existieren die gemeinsamen Dichten und diese sind invariant bezuglich s Permutationen Eine s Permutation besteht aus der Kompositionen einer Permutation und Vorzeichenwechsel in beliebigen Koordinaten Dann gilt analog zum Arcsin Gesetz von Erdos und Kac fur die Summen S k k N displaystyle S k k in mathbb N nbsp und die die Anzahl von positiven Zufallsvariablen N n n N displaystyle N n n in mathbb N nbsp die folgende Konvergenz in Verteilung lim n P N n n x F x x 0 1 displaystyle lim n rightarrow infty P left frac N n n leq x right F x x in 0 1 nbsp 4 Diskrete Arcsin Verteilung Bearbeiten nbsp Beispiele zur Wahrscheinlichkeitsfunktion g n m displaystyle g n m nbsp der diskreten Arcsin Verteilung wobei n displaystyle n nbsp einem Parameter und m 0 n displaystyle m in 0 dotsc n nbsp einer Auspragung entspricht In der Fluktuationstheorie konnte Erik Sparre Andersen zeigen dass die sogenannte diskrete Arcsin Verteilung von Bedeutung ist Diese ist fur jeden Parameter n N 0 displaystyle n in mathbb N cup 0 nbsp durch ihre Wahrscheinlichkeitsfunktion g n m 1 n 1 2 m 1 2 n m m n displaystyle g n m 1 n binom frac 1 2 m binom frac 1 2 n m m leq n nbsp und ihre Verteilungsfunktion G n x m 0 x 1 n 1 2 m 1 2 n m x 0 n displaystyle G n x sum limits m 0 lfloor x rfloor 1 n binom frac 1 2 m binom frac 1 2 n m x in 0 n nbsp definiert Der Name ist durch ihr Konvergenzverhalten zur Arcsin Verteilung begrundet so gilt die gleichmassige Konvergenz lim n sup x 0 1 G n n x F x 0 displaystyle lim n rightarrow infty sup x in 0 1 mid G n n cdot x F x mid 0 nbsp Erik Sparre Andersen zeigte die entsprechende Konvergenz in Verteilung im gleichen Zug mit dem vorigen Arcsin Gesetz Literatur BearbeitenWilliam Feller An introduction to probability theory and its applications Band 2 Wiley 1971 Konrad Jacobs Discrete Stochastics Birkhauser Basel 2012 ISBN 3 0348 8645 4 Fussnoten Bearbeiten Bauer Heinz Wahrscheinlichkeitstheorie de Gruyter 2002 S 491 492 Paul Levy Sur certains processus stochastiques homogenes Compositio Mathematica Band 7 1939 S 283 339 Paul Erdos Mark Kac On the number of positive sums of independent random variables In Bull Amer Math Soc Band 53 Nr 10 1947 S 1011 1020 Erik Sparre Andersen On the Number of Positive Sums of Random Variables In Scandinavian Actuarial Journal Band 1949 Nr 1 1949 S 27 36 doi 10 1080 03461238 1949 10419756 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Arcsin Verteilung amp oldid 236995446 Arcsin Gesetz von Paul Levy