Arens-Produkt

Das Arens-Produkt, benannt nach Richard Arens, ist eine Konstruktion aus der mathematischen Theorie der Banachalgebren. Genaugenommen handelt es sich dabei um zwei Produkte auf dem Bidualraum einer Banachalgebra , die das auf gegebene Produkt fortsetzen, wenn man vermöge der natürlichen Einbettung als Unterraum von auffasst. Beide Produkte machen zu einer Banachalgebra. Stimmen die beiden Produkte überein, so nennt man die Ausgangsalgebra Arens-regulär.

Konstruktion

Erstes Arens-Produkt

Es sei eine Banachalgebra, ihr Dualraum und ihr Bidualraum. Wie üblich wird vermöge der isometrischen Einbettung

als Unterraum von aufgefasst. Die Konstruktion eines Produktes auf erfolgt in drei Schritten:

1. Für und wird definiert durch .
2. Für und wird definiert durch .
3. Für wird definiert durch .

Die so definierte Verknüpfung auf heißt das erste Arens-Produkt. Man kann zeigen, dass es sich tatsächlich um eine assoziative Multiplikation handelt, die zu einer Banachalgebra macht. Im Folgenden sei stets mit dieser Multiplikation versehen. Die leicht nachzurechnende Formel zeigt, dass dadurch das auf der Ausgangsalgebra gegebene Produkt fortgesetzt wird, wenn man wie oben erwähnt als Teilmenge von auffasst.

Zweites Arens-Produkt

Das zweite Arens-Produkt ergibt sich aus dem ersten, indem man obige Konstruktion auf die Gegenalgebra anwendet und anschließend erneut zur Gegenalgebra übergeht, d. h. man bildet . Auch das kann man wieder als eine dreistufige Konstruktion beschreiben:

1. Für und wird definiert durch .
2. Für und wird definiert durch .
3. Für wird definiert durch .

Wieder ist hierdurch eine Multiplikation definiert, die diejenige von fortsetzt und zu einer Banachalgebra macht.

Arens-Regularität

Während das erste Arens-Produkt ohne Verknüpfungszeichen geschrieben wurde, haben wir zur Unterscheidung einen Punkt für das zweite Arens-Produkt gewählt. Schon Arens hat in der grundlegenden Arbeit gezeigt, dass , falls einer der Faktoren aus , das heißt aus , ist. Im Allgemeinen stimmen die beiden Arens-Produkte nicht überein. Das führt zu folgender Definition:

Eine Banachalgebra heißt Arens-regulär, wenn das erste und zweite Arens-Produkt auf übereinstimmen, das heißt falls für alle .

Eine Banachalgebra ist genau dann Arens-regulär, wenn für jedes der durch definierte lineare Operator schwach kompakt ist.

Beispiele

Gruppenalgebren

Ist eine lokalkompakte Gruppe, so ist die Gruppenalgebra genau dann Arens-regulär, wenn endlich ist. Insbesondere ist die Faltungsalgebra ein Beispiel für eine nicht-Arens-reguläre Banachalgebra.

C*-Algebren

S. Sherman und Z. Takeda haben gezeigt, dass C*-Algebren stets Arens-regulär sind, dass sich die Involution der C*-Algebra auf den Bidual fortsetzt und dieser dadurch ebenfalls zu einer C*-Algebra wird, sogar zu einer Von-Neumann-Algebra. Weiter kann gezeigt werden, dass diese mit der einhüllenden Von-Neumann-Algebra übereinstimmt.

Eigenschaften

Approximation der Eins

Eine Banachalgebra hat genau dann eine beschränkte rechts-Approximation der Eins, wenn ein rechts-Einselement hat. Daraus folgt:

Eine Arens-reguläre Banachalgebra hat genau dann eine beschränkte Approximation der Eins, wenn ein Einselement hat.

Kommutativität

Kommutativität vererbt sich nur im Falle der Arens-Regularität auf den Bidual. Ist eine kommutative Banachalgebra, so ist genau dann kommutativ unter einem der Arens-Produkte, wenn Arens-regulär ist.

Vererbungseigenschaften

Es sei eine Arens-reguläre Banachalgebra, eine abgeschlossene Unteralgebra und ein abgeschlossenes zweiseitiges Ideal. Dann sind auch und Arens-regulär.

Ist ein kompakter Hausdorffraum und eine Banachalgebra, so ist die Banachalgebra der stetigen Funktionen mit den punktweise erklärten Verknüpfungen genau dann Arens-regulär, wenn Arens-regulär ist. Aus der Arens-Regularität von folgt also die Arens-Regularität des injektiven Tensorproduktes , denn letzteres stimmt mit überein. Das projektive Tensorprodukt Arens-regulärer Banachalgebren ist im Allgemeinen nicht wieder Arens-regulär.

Einzelnachweise

1. F. F. Bonsall, J. Duncan: Complete Normed Algebras. Springer-Verlag 1973, ISBN 3-540-06386-2, § 10, Example 13 (v)
2. R. Arens: The adjoint of a bilinear operation, Proceedings Amer. Math. Soc. Band 2 (1951), Seiten 839–848
3. S. L.Gulick: Commutativity and ideals in the biduals of topological algebras, Pacific J. Math. Band 18 (1966), Seiten 121–137 (kommutativer Fall)
4. J. Hennefeld: A note on the Arens Products, Pacific J. Math. Band 26 (1968), Seiten 115–119 (allgemeiner Fall)
5. N. J. Young: The Irregularity of Multiplication in Group Algebras, Quart. J. Math. Oxford, Band 24 (1973), Seiten 59–62
6. F. F. Bonsall, J. Duncan: Complete Normed Algebras. Springer-Verlag 1973, ISBN 3-540-06386-2, § 38, Theorem 19
7. F. F. Bonsall, J. Duncan: Complete Normed Algebras. Springer-Verlag 1973, ISBN 3-540-06386-2, § 29, Satz 7
8. F. F. Bonsall, J. Duncan: Complete Normed Algebras. Springer-Verlag 1973, ISBN 3-540-06386-2, § 29, Korollar 8
9. J. Duncan, S. A. R. Hosseiniun: The second dual of a Banach algebra, Proceedings Royal Soc. Edinburgh, Band 84 (1979), Seiten 309–325, § 2, Satz 1
10. J. Duncan, S. A. R. Hosseiniun: The second dual of a Banach algebra, Proceedings Royal Soc. Edinburgh, Band 84 (1979), Seiten 309–325, § 2, Korollar zu Theorem 1
11. A. Ülger: Arens Regularity of the Algebra C(K,A), Journal London Mathematical Society, Band S2-42, Ausgabe 2 (1989), Seiten 354–364
12. A. Ülger: Arens regularity of the algebra A⊗B, Trans. Amer. Math. Soc., Band 305 (1988), Seiten 623–639