Approximationssatz von Walsh Der englisch Walsh s approximation theorem ist ein mathematischer Lehrsatz der im übergangs

Approximationssatz von Walsh

Der Approximationssatz von Walsh (englisch Walsh's approximation theorem) ist ein mathematischer Lehrsatz, der im Übergangsfeld zwischen den Gebieten Funktionentheorie und Funktionalanalysis angesiedelt ist und der auf eine wissenschaftliche Publikation des Mathematikers Joseph Leonard Walsh aus dem Jahre 1927 zurückgeht. Der Satz ist eng verwandt mit dem Approximationssatz von Weierstraß sowie mit dem rungeschen Approximationssatz und behandelt die Bedingungen, unter denen gewisse holomorphe Funktionen der komplexen Zahlenebene durch Polynomfunktionen gleichmäßig approximiert werden können.

Formulierung des Satzes Bearbeiten

Der Darstellung von Robert B. Burckel folgend kann der Approximationssatz von Walsh folgendermaßen angegeben werden:

Abweichende Version Bearbeiten

Unter der Bezeichnung Approximationssatz von Walsh versteht man gemäß der Darstellung von Günter Meinardus auch einen etwas anderen Approximationssatz, der auf eine Publikation von Walsh aus dem Jahre 1956 zurückgeht. Dieser besagt folgendes:

erzeugt wird.

Dann gilt:

Anmerkung Bearbeiten

In derselben Publikation des Jahres 1956 hat Walsh auch den Fall behandelt, dass eine offene Jordankurve, also eine homöomorphe Einbettung des Einheitsintervalls in die komplexe Zahlenebene ist, und dazu festgehalten, dass – unabhängig davon, ob der Nullpunkt auf liegt oder nicht liegt – dann die komplexen Polynomfunktionen im Funktionenraum (s. o.) dicht liegen.

Literatur Bearbeiten

Robert B. Burckel: An Introduction to Classical Complex Analysis (= Lehrbücher und Monographien aus dem Gebiete der exakten Wissenschaften: Mathematische Reihe. Band 64). Vol. 1. Birkhäuser, Basel 1979, ISBN 3-7643-0989-X.
J. Korevaar: Lacunary forms of Walsh's approximation theorems. In: The Theory of the Approximation of Functions (= Proc. Internat. Conf., Kaluga). Nauka, Moskau 1977, S. 229–237 (MR0525534).
Günter Meinardus: Approximation von Funktionen und ihre numerische Behandlung (= Springer Tracts in Natural Philosophy. Band 4). Springer Verlag, Berlin/ Göttingen/ Heidelberg/ New York 1964 (MR0176272).
J. L. Walsh: Über die Entwicklung einer analytischen Funktion nach Polynomen. In: Mathematische Annalen. Band 96, 1927, S. 430–436 (MR1512331).
J. L. Walsh: Interpolation and Approximation by Rational Functions in the Complex Domain (= American Mathematical Society Colloquium Publications. Vol. XX). American Mathematical Society, Providence, R.I. 1956 (MR0218588).

Einzelnachweise Bearbeiten

Robert B. Burckel: An Introduction to Classical Complex Analysis. Vol. 1, 1979, S. 320–321, 341.
Robert B. Burckel: An Introduction to Classical Complex Analysis. Vol. 1, 1979, S. 320.
Günter Meinardus: Approximation von Funktionen und ihre numerische Behandlung. 2009, S. 11.
Günter Meinardus: Approximation von Funktionen und ihre numerische Behandlung. 2009, S. 12.

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Veröffentlichungsdatum: Dezember 07, 2023, 02:49 am

Der Approximationssatz von Walsh englisch Walsh s approximation theorem ist ein mathematischer Lehrsatz der im Ubergangsfeld zwischen den Gebieten Funktionentheorie und Funktionalanalysis angesiedelt ist und der auf eine wissenschaftliche Publikation des Mathematikers Joseph Leonard Walsh aus dem Jahre 1927 zuruckgeht Der Satz ist eng verwandt mit dem Approximationssatz von Weierstrass sowie mit dem rungeschen Approximationssatz und behandelt die Bedingungen unter denen gewisse holomorphe Funktionen der komplexen Zahlenebene durch Polynomfunktionen gleichmassig approximiert werden konnen 1 Inhaltsverzeichnis 1 Formulierung des Satzes 2 Abweichende Version 2 1 Anmerkung 3 Literatur 4 EinzelnachweiseFormulierung des Satzes BearbeitenDer Darstellung von Robert B Burckel folgend kann der Approximationssatz von Walsh folgendermassen angegeben werden 2 Es sei in der komplexen Zahlenebene eine geschlossene Jordankurve g C displaystyle gamma subset mathbb C nbsp mit zugehorigem Innengebiet W g C displaystyle Omega gamma subset mathbb C nbsp gegeben und weiter auf dem topologischen Abschluss W g displaystyle overline Omega gamma nbsp eine stetige komplexe Funktion f W g C displaystyle f colon overline Omega gamma to mathbb C nbsp deren Einschrankung f W g displaystyle f Omega gamma nbsp sogar holomorph ist Dann gilt Eine solche Funktion f displaystyle f nbsp kann stets gleichmassig durch Polynomfunktionen approximiert werden Abweichende Version BearbeitenUnter der Bezeichnung Approximationssatz von Walsh versteht man gemass der Darstellung von Gunter Meinardus auch einen etwas anderen Approximationssatz der auf eine Publikation von Walsh aus dem Jahre 1956 zuruckgeht Dieser besagt folgendes 3 In der komplexen Zahlenebene sei eine geschlossene Jordankurve g C displaystyle gamma subset mathbb C nbsp gegeben deren Innengebiet W g C displaystyle Omega gamma subset mathbb C nbsp den Nullpunkt 0 C displaystyle 0 in mathbb C nbsp enthalten soll Hier werde der zugehorige Funktionenraum C C g C displaystyle C C gamma mathbb C nbsp der stetigen komplexen Funktionen f g C displaystyle f colon gamma to mathbb C nbsp versehen mit der Maximumsnorm betrachtet und dazu der topologische Abschluss X C displaystyle X subseteq C nbsp des C displaystyle mathbb C nbsp linearen Unterraums der von den Einschrankungen w g displaystyle w gamma nbsp der meromorphen Funktionen w displaystyle w nbsp der Formz w z k m n a k z k m 1 2 n 0 1 a k C z C displaystyle z mapsto w z sum k m n a k z k m 1 2 ldots n 0 1 ldots a k in mathbb C z in mathbb C nbsp dd erzeugt wird Dann gilt X C displaystyle X C nbsp dd Anmerkung Bearbeiten In derselben Publikation des Jahres 1956 hat Walsh auch den Fall behandelt dass g C displaystyle gamma subset mathbb C nbsp eine offene Jordankurve also eine homoomorphe Einbettung des Einheitsintervalls in die komplexe Zahlenebene ist und dazu festgehalten dass unabhangig davon ob der Nullpunkt auf g displaystyle gamma nbsp liegt oder nicht liegt dann die komplexen Polynomfunktionen im Funktionenraum C C g C displaystyle C C gamma mathbb C nbsp s o dicht liegen 4 Literatur BearbeitenRobert B Burckel An Introduction to Classical Complex Analysis Lehrbucher und Monographien aus dem Gebiete der exakten Wissenschaften Mathematische Reihe Band 64 Vol 1 Birkhauser Basel 1979 ISBN 3 7643 0989 X J Korevaar Lacunary forms of Walsh s approximation theorems In The Theory of the Approximation of Functions Proc Internat Conf Kaluga Nauka Moskau 1977 S 229 237 MR0525534 Gunter Meinardus Approximation von Funktionen und ihre numerische Behandlung Springer Tracts in Natural Philosophy Band 4 Springer Verlag Berlin Gottingen Heidelberg New York 1964 MR0176272 J L Walsh Uber die Entwicklung einer analytischen Funktion nach Polynomen In Mathematische Annalen Band 96 1927 S 430 436 MR1512331 J L Walsh Interpolation and Approximation by Rational Functions in the Complex Domain American Mathematical Society Colloquium Publications Vol XX American Mathematical Society Providence R I 1956 MR0218588 Einzelnachweise Bearbeiten Robert B Burckel An Introduction to Classical Complex Analysis Vol 1 1979 S 320 321 341 Robert B Burckel An Introduction to Classical Complex Analysis Vol 1 1979 S 320 Gunter Meinardus Approximation von Funktionen und ihre numerische Behandlung 2009 S 11 Gunter Meinardus Approximation von Funktionen und ihre numerische Behandlung 2009 S 12 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Approximationssatz von Walsh amp oldid 236894367