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ARCH Modelle ARCH Akronym für AutoRegressive Conditional Heteroscedasticity deutsch autoregressive bedingte Heteroskedas

ARCH-Modelle

ARCH-Modelle (ARCH, Akronym für: AutoRegressive Conditional Heteroscedasticity, deutsch autoregressive bedingte Heteroskedastizität) bzw. autoregressive bedingt heteroskedastische Zeitreihenmodelle sind stochastische Modelle zur Zeitreihenanalyse, mit deren Hilfe insbesondere finanzmathematische Zeitreihen mit nicht konstanter Volatilität beschrieben werden können. Sie gehen von der Annahme aus, dass die bedingte Varianz der zufälligen Modellfehler abhängig ist vom realisierten Zufallsfehler der Vorperiode, so dass große und kleine Fehler dazu tendieren, in Gruppen aufzutreten. ARCH-Modelle wurden von Robert F. Engle in den 1980er Jahren entwickelt. Im Jahr 2003 wurde ihm dafür der Nobelpreis für Wirtschaftswissenschaften verliehen.

Simulation einer ARCH(1)-Zeitreihe; Zeitabschnitte mit kleiner und mit großer Volatilität wechseln sich ab

Definition Bearbeiten

Eine Zeitreihe heißt ARCH(p)-Zeitreihe, wenn sie rekursiv definiert ist durch

wobei mit reelle, nichtnegative Parameter sind, und der Prozess aus unabhängigen identisch verteilten Zufallsvariablen mit und besteht.

Eigenschaften Bearbeiten

Für ARCH-Modelle gelten unter der Zusatzbedingung, dass für alle bezüglich der durch erzeugten σ-Algebra messbar ist, die folgenden Aussagen:

  • Eine ARCH(p)-Zeitreihe ist genau dann (schwach) stationär, wenn alle Nullstellen des charakteristischen Polynoms
außerhalb des komplexen Einheitskreises liegen.
  • Eine stationäre ARCH(p)-Zeitreihe hat den stationären Erwartungswert und ihre Autokorrelation verschwindet: für . Für ihre stationäre Varianz gilt die Formel
  • Ist eine stationäre ARCH(p)-Zeitreihe, für die gilt, dann ist der quadrierte Prozess eine AR-Zeitreihe.

Verallgemeinerungen Bearbeiten

Die Idee des ARCH-Modells wurde in verschiedener Weise weiterentwickelt und gehört heute ganz selbstverständlich zu den fortgeschrittenen Methoden der Ökonometrie.

Eine Verallgemeinerung sind die GARCH-Modelle (generalized autoregressive conditional heteroscedasticity), die 1986 von Tim Bollerslev entwickelt wurden. Hierbei hängt die bedingte Varianz nicht nur von der Historie der Zeitreihe ab, sondern auch von ihrer eigenen Vergangenheit. Zeitstetige Analoga, sogenannte COGARCH-Modelle (continuous-time GARCH), wurden von Feike C. Drost und Bas J. C. Werker sowie Claudia Klüppelberg, Alexander Lindner und Ross Maller vorgestellt.

Literatur Bearbeiten

  • Robert F. Engle: Autoregressive Conditional Heteroskedasticity with Estimates of the Variance of UK. Inflation. In: Econometrica. Vol.: 50, pp. 987–1008, 1982. JSTOR:1912773
  • Tim Bollerslev: Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity. In: Journal of Econometrics. Vol.: 31 No.: 3, pp. 307–327, 1986. doi:10.1016/0304-4076(86)90063-1
  • Jürgen Franke, Wolfgang Härdle, Christian Matthias Hafner: Statistics of Financial Markets: An Introduction. 3. Auflage Springer, Berlin/Heidelberg/New York 2011, ISBN 978-3-642-16520-7, Kapitel 13, S. 283–342.
  • Christian Gouriéroux: ARCH Models and Financial Applications. Springer, New York 1997, ISBN 0-387-94876-7.
  • Feike C. Drost, F.C., Bas J. C. Werker: Closing the GARCH gap: continuous GARCH modelling. In: Journal of Econometrics. Vol.: 74, No.: 1, pp. 31–57, 1996. doi:10.1016/0304-4076(95)01750-X
  • Claudia Klüppelberg, Alexander Lindner, Ross Maller: A continuous-time GARCH process driven by a Lévy process: Stationarity and second-order behaviour. In: Journal of Applied Probability. Vol.: 41 No.: 3, pp. 601–622, 2004. doi:10.1239/jap/1091543413 JSTOR:4141341
  • Evdokia Xekalaki, Stavros Degiannakis: ARCH Models for Financial Applications. Wiley, New York 2010, ISBN 978-0-470-06630-0.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. ↑ Jens-Peter Kreiß, Georg Neuhaus: Einführung in die Zeitreihenanalyse. Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg 2006, ISBN 3-540-25628-8, S. 298f.
  2. Rainer Schlittgen, Bernd H. J. Streitberg: Zeitreihenanalyse. 9. Auflage. Oldenbourg Verlag, München/Wien 2001, ISBN 3-486-25725-0, S. 450 f.
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ARCH Modelle ARCH Akronym fur AutoRegressive Conditional Heteroscedasticity deutsch autoregressive bedingte Heteroskedastizitat bzw autoregressive bedingt heteroskedastische Zeitreihenmodelle sind stochastische Modelle zur Zeitreihenanalyse mit deren Hilfe insbesondere finanzmathematische Zeitreihen mit nicht konstanter Volatilitat beschrieben werden konnen Sie gehen von der Annahme aus dass die bedingte Varianz der zufalligen Modellfehler abhangig ist vom realisierten Zufallsfehler der Vorperiode so dass grosse und kleine Fehler dazu tendieren in Gruppen aufzutreten ARCH Modelle wurden von Robert F Engle in den 1980er Jahren entwickelt Im Jahr 2003 wurde ihm dafur der Nobelpreis fur Wirtschaftswissenschaften verliehen Simulation einer ARCH 1 Zeitreihe Zeitabschnitte mit kleiner und mit grosser Volatilitat wechseln sich ab Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Eigenschaften 3 Verallgemeinerungen 4 Literatur 5 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenEine Zeitreihe x t t Z displaystyle x t t in mathbb Z nbsp heisst ARCH p Zeitreihe wenn sie rekursiv definiert ist durch 1 x t s t ϵ t s t 2 a 0 a 1 x t 1 2 a p x t p 2 displaystyle begin aligned x t amp sigma t epsilon t sigma t 2 amp a 0 a 1 x t 1 2 dotsb a p x t p 2 end aligned nbsp wobei a 0 a p displaystyle a 0 dotsc a p nbsp mit a p 0 displaystyle a p neq 0 nbsp reelle nichtnegative Parameter sind und der Prozess ϵ t t Z displaystyle epsilon t t in mathbb Z nbsp aus unabhangigen identisch verteilten Zufallsvariablen mit E ϵ t 0 displaystyle operatorname E epsilon t 0 nbsp und Var ϵ t 1 displaystyle operatorname Var epsilon t 1 nbsp besteht Eigenschaften BearbeitenFur ARCH Modelle gelten unter der Zusatzbedingung dass s t displaystyle sigma t nbsp fur alle t Z displaystyle t in mathbb Z nbsp bezuglich der durch ϵ s s t 1 displaystyle epsilon s s leq t 1 nbsp erzeugten s Algebra messbar ist die folgenden Aussagen 1 2 Die auf die Vergangenheit bedingten Erwartungswerte und bedingten Varianzen sind E x t x t 1 x t 2 0 displaystyle operatorname E x t mid x t 1 x t 2 dotsc 0 nbsp und Var x t x t 1 x t 2 s t 2 displaystyle operatorname Var x t mid x t 1 x t 2 dotsc sigma t 2 nbsp dd Eine ARCH p Zeitreihe x t displaystyle x t nbsp ist genau dann schwach stationar wenn alle Nullstellen des charakteristischen PolynomsP z 1 a 1 z a p z p displaystyle P z 1 a 1 z dotsb a p z p nbsp dd ausserhalb des komplexen Einheitskreises liegen Eine stationare ARCH p Zeitreihe hat den stationaren Erwartungswert E x t 0 displaystyle operatorname E x t 0 nbsp und ihre Autokorrelation verschwindet Cov x t x t h 0 displaystyle operatorname Cov x t x t h 0 nbsp fur h gt 0 displaystyle h gt 0 nbsp Fur ihre stationare Varianz gilt die FormelVar x t a 0 1 k 1 p a k displaystyle operatorname Var x t frac a 0 1 sum k 1 p a k nbsp dd Ist x t displaystyle x t nbsp eine stationare ARCH p Zeitreihe fur die E x t 4 lt displaystyle operatorname E x t 4 lt infty nbsp gilt dann ist der quadrierte Prozess x t 2 displaystyle x t 2 nbsp eine AR Zeitreihe Verallgemeinerungen BearbeitenDie Idee des ARCH Modells wurde in verschiedener Weise weiterentwickelt und gehort heute ganz selbstverstandlich zu den fortgeschrittenen Methoden der Okonometrie Eine Verallgemeinerung sind die GARCH Modelle generalized autoregressive conditional heteroscedasticity die 1986 von Tim Bollerslev entwickelt wurden Hierbei hangt die bedingte Varianz nicht nur von der Historie der Zeitreihe ab sondern auch von ihrer eigenen Vergangenheit Zeitstetige Analoga sogenannte COGARCH Modelle continuous time GARCH wurden von Feike C Drost und Bas J C Werker sowie Claudia Kluppelberg Alexander Lindner und Ross Maller vorgestellt Literatur BearbeitenRobert F Engle Autoregressive Conditional Heteroskedasticity with Estimates of the Variance of UK Inflation In Econometrica Vol 50 pp 987 1008 1982 JSTOR 1912773 Tim Bollerslev Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity In Journal of Econometrics Vol 31 No 3 pp 307 327 1986 doi 10 1016 0304 4076 86 90063 1 Jurgen Franke Wolfgang Hardle Christian Matthias Hafner Statistics of Financial Markets An Introduction 3 Auflage Springer Berlin Heidelberg New York 2011 ISBN 978 3 642 16520 7 Kapitel 13 S 283 342 Christian Gourieroux ARCH Models and Financial Applications Springer New York 1997 ISBN 0 387 94876 7 Feike C Drost F C Bas J C Werker Closing the GARCH gap continuous GARCH modelling In Journal of Econometrics Vol 74 No 1 pp 31 57 1996 doi 10 1016 0304 4076 95 01750 X Claudia Kluppelberg Alexander Lindner Ross Maller A continuous time GARCH process driven by a Levy process Stationarity and second order behaviour In Journal of Applied Probability Vol 41 No 3 pp 601 622 2004 doi 10 1239 jap 1091543413 JSTOR 4141341 Evdokia Xekalaki Stavros Degiannakis ARCH Models for Financial Applications Wiley New York 2010 ISBN 978 0 470 06630 0 Einzelnachweise Bearbeiten a b Jens Peter Kreiss Georg Neuhaus Einfuhrung in die Zeitreihenanalyse Springer Verlag Berlin Heidelberg 2006 ISBN 3 540 25628 8 S 298f Rainer Schlittgen Bernd H J Streitberg Zeitreihenanalyse 9 Auflage Oldenbourg Verlag Munchen Wien 2001 ISBN 3 486 25725 0 S 450 f Abgerufen von https de wikipedia org w index php title ARCH Modelle amp oldid 189166456