In der Mathematik ist die Zahmheits-Vermutung eine auf Albert Marden zurückgehende Vermutung aus der Theorie der Kleinschen Gruppen in der 3-dimensionalen Topologie, die 2004 von Ian Agol, Danny Calegari und David Gabai bewiesen wurde.
Aussage Bearbeiten
Jede vollständige, 3-dimensionale hyperbolische Mannigfaltigkeit mit endlich erzeugter Fundamentalgruppe ist topologisch zahm, das heißt ist homöomorph zum Inneren einer kompakten Mannigfaltigkeit.
Enden hyperbolischer 3-Mannigfaltigkeiten Bearbeiten
Aus der topologischen Zahmheit folgt unmittelbar, dass sich jede orientierbare vollständige 3-dimensionale hyperbolische Mannigfaltigkeit mit endlich erzeugter Fundamentalgruppe zerlegen lässt in einen kompakten Kern (welcher homöomorph zu ist) und endlich viele zusammenhängende „Enden“, welche von der Form sind. Dabei sind die Flächen homöomorph zu den Zusammenhangskomponenten von .
Rolle der Hyperbolizität Bearbeiten
Die Annahme, dass hyperbolisch ist, spielt eine wesentliche Rolle im Beweis der Zahmheits-Vermutung. Es gibt Gegenbeispiele von (nicht-hyperbolischen) 3-Mannigfaltigkeiten mit endlich erzeugter Fundamentalgruppe, deren Enden nicht zahm sind.
Literatur Bearbeiten
- Ian Agol: Tameness of hyperbolic 3-manifolds. 2004, arxiv:math.GT/0405568.
- Danny Calegari, David Gabai: Shrinkwrapping and the taming of hyperbolic 3-manifolds. In: Journal of the American Mathematical Society. Bd. 19, Nr. 2, 2006, S. 385–446, JSTOR:20161283.
- Richard D. Canary: Marden's tameness conjecture: history and applications In: Lizhen Ji, Kefeng Liu, Lo Yang, Shing-Tung Yau (Hrsg.): Geometry, Analysis and Topology of Discrete groups (= Advanced Lectures in Mathematics. 6). International Press u. a., Somerville MA u. a. 2008, ISBN 978-1-57146-126-1, S. 137–162, (online (PDF; 246 KB)).
- Dana Mackenzie: Taming the hyperbolic jungle by pruning its unruly edges. In: Science. Bd. 306, Nr. 5705, 2004, S. 2182–2183, doi:10.1126/science.306.5705.2182.
- Albert Marden: The geometry of finitely generated kleinian groups. In: Annals of Mathematics. Series 2, Bd. 99, Nr. 3, 1974, S. 383–462, doi:10.2307/1971059.