Die Wohlfahrtstheoreme auch Hauptsatze der Wohlfahrtsokonomik sind zwei fundamentale Lehrsatze der Wohlfahrtsokonomik aus dem mikrookonomischen Bereich der Volkswirtschaftslehre Inhaltsverzeichnis 1 Einfuhrende Darstellung 1 1 Erstes Wohlfahrtstheorem 1 2 Zweites Wohlfahrtstheorem 2 Formale Darstellung 2 1 Vereinbarungen und Definitionen 2 2 Erster Hauptsatz 2 3 Zusatzliche Definitionen 2 4 Zweiter Hauptsatz 3 Beweise 3 1 Beweis des Ersten Hauptsatzes 3 2 Beweis des Zweiten Hauptsatzes 4 Literatur 5 Weblinks 6 AnmerkungenEinfuhrende Darstellung BearbeitenBeide Theoreme gelten unter der Voraussetzung von vollkommenem Wettbewerb in dem sich alle Marktteilnehmer als Preisnehmer verhalten und es keine Externalitaten gibt Unter diesen Voraussetzungen bezeichnet man einen Zustand bei dem Angebot und Nachfrage auf allen Markten ubereinstimmen als Wettbewerbsgleichgewicht Die Realitat ist komplizierter dennoch werden die folgenden Ergebnisse als wichtige Ausgangspunkte fur die weiterfuhrende Forschung angesehen Erstes Wohlfahrtstheorem Bearbeiten Bei vollkommenem Wettbewerb ist jedes allgemeine Wettbewerbsgleichgewicht ein Pareto Optimum Anders ausgedruckt kann in einem Wettbewerbsgleichgewicht niemand besser gestellt werden ohne dass ein anderer schlechter gestellt wird Dieser Satz geht insbesondere auf Arbeiten von Kenneth Arrow und Gerard Debreu nach entscheidender Vorarbeit von Leon Walras zuruck Er formalisiert Adam Smiths Vorstellung dass Markte wie eine unsichtbare Hand funktionieren 1 Zweites Wohlfahrtstheorem Bearbeiten Unter bestimmten einschrankenden Voraussetzungen kann jede Pareto optimale Allokation als Wettbewerbsgleichgewicht realisiert werden das heisst es gibt Anfangsausstattungen und Preise die garantieren dass gegeben eine Pareto optimale Allokation alle Haushalte ihren Nutzen und alle Unternehmen ihren Gewinn maximieren und alle Plane kompatibel sind 2 Hiernach lassen sich die beiden Kardinalfragen der Volkswirtschaftslehre namlich Effizienz und Verteilungsgerechtigkeit voneinander trennen Um dasjenige Pareto Optimum zu erreichen das gerecht erscheint braucht man nicht die Marktwirtschaft abzuschaffen sondern es genugt die Anfangsausstattungen der Marktteilnehmer anzupassen Formale Darstellung BearbeitenVereinbarungen und Definitionen Bearbeiten Grundlegendes NotationBetrachtet sei eine Okonomie aus n Markten Die Preise auf diesen Markten werden in einem Preisvektor p p 1 p n displaystyle mathbf p p 1 ldots p n nbsp fur n Guter zusammengefasst wobei p 0 displaystyle mathbf p neq mathbf 0 nbsp In der Okonomie gebe es weiter I displaystyle I nbsp Konsumenten und J displaystyle J nbsp Firmen wobei fur diese beiden Gruppen entsprechend die Indexmengen I 1 I displaystyle mathcal I 1 ldots I nbsp die Menge aller Konsumenten bzw J 1 J displaystyle mathcal J 1 ldots J nbsp die Menge aller Produzenten definiert werden Betrachtet werden nun nacheinander Konsumenten und Produzenten danach die anfangliche Ausstattung der Okonomie Konsumprofil x i x 1 i x n i R n displaystyle mathbf x i x 1 i ldots x n i in mathbb R n nbsp Das Konsumprofil x i displaystyle mathbf x i nbsp einer Person i I displaystyle i in mathcal I nbsp gibt Auskunft welche Menge Person i von jedem der n Guter konsumiert Konsummoglichkeitsmenge X i R n displaystyle X i subset mathbb R n nbsp Die Menge X i displaystyle X i nbsp erfasst alle moglichen Konsumprofile von Person i Konsummoglichkeitenmenge Nutzenfunktion u i u i x i R displaystyle u i u i mathbf x i in mathbb R nbsp Die Praferenzstruktur eines jeden Individuums i I displaystyle i in mathcal I nbsp findet wiederum in seiner Nutzenfunktion Ausdruck Technologie y j y 1 j y n j R n displaystyle mathbf y j y 1 j ldots y n j in mathbb R n nbsp Die Produktion eines Unternehmens j J displaystyle j in mathcal J nbsp ist gegeben durch die Technologie y j displaystyle mathbf y j nbsp Produktionsmoglichkeitenmenge Y j R n displaystyle Y j subset mathbb R n nbsp Die Menge Y j displaystyle Y j nbsp erfasst alle moglichen Technologien der Firma j Ausstattungsvektor e e 1 e n R n displaystyle mathbf e e 1 ldots e n in mathbb R n nbsp Die anfanglichen Bestande an den jeweiligen Gutern sind durch einen Ausstattungsvektor e displaystyle mathbf e nbsp gegeben Ausstattung einer Person e i e 1 i e n i R n displaystyle mathbf e i e 1 i ldots e n i in mathbb R n nbsp Wir vereinbaren weiter e i displaystyle mathbf e i nbsp als die Ausstattung einer Person i I displaystyle i in mathcal I nbsp bezuglich aller Guter Definition OkonomieMit den vereinbarten Definitionen hinsichtlich der Praferenzstruktur der Individuen der technologischen Kapazitaten der Produzenten und der Ressourcenbestande lasst sich eine Okonomie durch das Tupel E X i u i i I Y j j J e displaystyle mathbf mathcal E left left X i u i right i in mathcal I left Y j right j in mathcal J mathbf e right nbsp charakterisieren Definition Allokationen und zulassige AllokationenDurch einen n I J displaystyle n I J nbsp Allokationsvektor x i i I y j j J displaystyle left left mathbf x i right i in mathcal I left mathbf y j right j in mathcal J right nbsp ist wiederum ein konkreter Zustand von E displaystyle mathbf mathcal E nbsp mit spezifischem Konsum und Produktionsvektoren fur jeden Konsumenten bzw Produzenten gegeben Eine solche Allokation bezeichnet man als zulassig wenn fur jede Ressource gilt dass die insgesamt konsumierte Menge gerade der Anfangsausstattung zuzuglich der insgesamt produzierten Menge entspricht mithin also wenn i 1 I x i e j 1 J y j displaystyle sum i 1 I mathbf x i mathbf e sum j 1 J mathbf y j nbsp gilt Definition Pareto Effizienz von AllokationenEine Allokation ist uberdies Pareto effizient wenn es keine Moglichkeit gibt die Ressourcen so zwischen Konsumenten umzuverteilen dass jeder zumindest den gleichen Nutzen hat mindestens eine Person aber sogar einen Nutzenzuwachs erfahrt Formal ist die Allokation x i i I y j j J displaystyle left left mathbf x i right i in mathcal I left mathbf y j right j in mathcal J right nbsp Pareto effizient genau dann wenn sie zulassig ist siehe oben und keine andere zulassige Allokation x i i I y j j J displaystyle left left mathbf tilde x i right i in mathcal I left mathbf tilde y j right j in mathcal J right nbsp existiert sodass u i x i u i x i displaystyle u i left mathbf tilde x i right geq u i left mathbf x i right nbsp fur alle i I displaystyle i in mathcal I nbsp und u i x i gt u i x i displaystyle u i left mathbf tilde x i right gt u i left mathbf x i right nbsp fur gewisses i I displaystyle i in mathcal I nbsp Definition Wettbewerbsokonomie mit PrivateigentumBetrachtet werde nun eine spezielle Okonomie und zwar ein Wettbewerbssystem in dem alle Firmen und ihre Gewinne privates Eigentum darstellen das heisst die Gewinne sind Bestandteil des aggregierten Konsumbudgets Da es sich um eine Wettbewerbsokonomie handelt werden Guter uberdies dezentral auf Wettbewerbsmarkten gehandelt wobei die Marktakteure als Preisnehmer agieren Konsumenten maximieren ihren Nutzen Produzenten ihre Gewinne Aus der Privateigentumsannahme ergibt sich formal dass sich das Budget der Konsumenten aus zwei Komponenten zusammensetzt Zum einen aus einem Anteil e i R n displaystyle mathbf e i in mathbb R n nbsp an der Anfangsausstattung zum anderen aus einem Anteil an den Gewinnen der Produzenten Dieser Anteil betrage gerade 8 i R J displaystyle mathbf theta i in mathbb R J nbsp mit 8 i 8 i 1 8 i J displaystyle theta i theta i1 ldots theta iJ nbsp 8 i 4 displaystyle theta i4 nbsp ware also beispielsweise der Anteil den Person i an den Gewinnen von Produzent 4 fur sich in Anspruch nehmen kann Entsprechend den Voraussetzungen ist e i 1 I e i displaystyle mathbf e sum i 1 I mathbf e i nbsp und i 1 I 8 i 1 displaystyle sum i 1 I mathbf theta i mathbf 1 nbsp Eine solche Okonomie lasst sich dann als Tupel E p X i u i i I Y j j J e i 8 i i I displaystyle mathbf mathcal E p left left X i u i right i in mathcal I left Y j right j in mathcal J left mathbf e i mathbf theta i right i in mathcal I right nbsp beschreiben Definition Preisnehmer Wettbewerbsgleichgewicht fur E p displaystyle mathbf mathcal E p nbsp Fur die Wettbewerbsokonomie mit Privateigentum E p displaystyle mathbf mathcal E p nbsp ist ein Wettbewerbsgleichgewicht definiert als ein Tupel x i i I y j j J p displaystyle left left mathbf x i right i in mathcal I left mathbf y j right j in mathcal J mathbf p right nbsp fur den folgende Eigenschaften gelten Die Allokation x i i I y j j J displaystyle left left mathbf x i right i in mathcal I left mathbf y j right j in mathcal J right nbsp ist in E p displaystyle mathbf mathcal E p nbsp zulassig Jedes Unternehmen maximiert gegeben die gleichgewichtigen Marktpreise seinen Gewinn das heisst fur alle j J displaystyle j in mathcal J nbsp gilt p y j p y j displaystyle mathbf p cdot mathbf y j leq mathbf p cdot mathbf y j nbsp fur alle y j displaystyle mathbf y j nbsp Jede Person maximiert ihren Nutzen gegeben die gleichgewichtigen Marktpreise und ihr Konsumbudget Genauer Sei X displaystyle mathcal X nbsp die Menge aller Konsumvektoren x i displaystyle mathbf x i nbsp die der Budgetbedingung genugen X x i p x i p e i j 1 J 8 i j p y j displaystyle mathcal X left mathbf x i left mathbf p cdot mathbf x i leq mathbf p cdot mathbf e i sum j 1 J theta ij cdot mathbf p cdot mathbf y j right right nbsp Dann ist x i X displaystyle mathbf x i in mathcal X nbsp und es gilt u x i u x i displaystyle u left mathbf x i right geq u left mathbf x i right nbsp fur alle x i X displaystyle mathbf x i in mathcal X nbsp dd Ein solches Gleichgewicht bezeichnet man als walrasianisches Gleichgewicht Erster Hauptsatz Bearbeiten Erster Hauptsatz der Wohlfahrtsokonomik 3 Sei E p displaystyle mathbf mathcal E p nbsp die betrachtete Okonomie Sei die jeder individuellen Nutzenfunktionen u i R n R displaystyle u i mathbb R n rightarrow mathbb R nbsp i I displaystyle i in mathcal I nbsp zugrunde liegende Praferenzordnung lokal nicht gesattigt oder im Spezialfall streng monoton Sei weiter x i i I y j j J p displaystyle left left mathbf x i right i in mathcal I left mathbf y j right j in mathcal J mathbf p right nbsp ein walrasianisches Gleichgewicht Dann ist die daraus abgeleitete walrasianische Gleichgewichtsallokation x i i I y j j J displaystyle left left mathbf x i right i in mathcal I left mathbf y j right j in mathcal J right nbsp fur E p displaystyle mathbf mathcal E p nbsp Pareto effizient Eine etwas allgemeinere Definition greift auf das im Folgenden erlauterte Konzept eines Quasi Gleichgewichts zuruck sie erfordert dann nicht wie hier die spezifische Okonomie E p displaystyle mathbf mathcal E p nbsp sondern gilt allgemein Hierfur wird auf eine Fussnote verwiesen 4 Zusatzliche Definitionen Bearbeiten Definition Quasi Preisnehmer Wettbewerbsgleichgewicht mit Transfers fur E displaystyle mathbf mathcal E nbsp Wir weiten die engen Vorgaben des walrasianischen Gleichgewichts wieder etwas auf indem wir das Gleichgewichtskonzept auf die abstraktere Okonomie E displaystyle mathbf mathcal E nbsp ubertragen Voraussetzung fur das Preisnehmer Wettbewerbsgleichgewicht fur E p displaystyle mathbf mathcal E p nbsp ist dass jedes Individuum nur so viel zur Verfugung hat wie sich aus dem Wert seiner ursprunglichen Guterausstattung und den anteiligen Unternehmensgewinnen zusammensetzt die ihm zustehen Das in diesem Abschnitt behandelte Gleichgewichtskonzept kennt noch eine weitere Komponente der Wohlstandsbestimmung die Transferzahlung Man kann sich dies praktisch beispielsweise als einmalige positive oder negative Steuer vorstellen durch die ein sozialer Planer vor der Wettbewerbstatigkeit in der Okonomie Mittel zwischen den Konsumenten verschiebt Man definiert nun zunachst ein Mass fur den individuellen Wohlstand w i R displaystyle w i in mathbb R nbsp fur alle Konsumenten Dies geschieht mittels des Vektors w w i w I R I displaystyle mathbf w w i ldots w I in mathbb R I nbsp Fur die Wettbewerbsokonomie E displaystyle mathbf mathcal E nbsp ist dann x i i I y j j J p displaystyle left left mathbf x i right i in mathcal I left mathbf y j right j in mathcal J mathbf p right nbsp ein Quasi Preisnehmer Wettbewerbsgleichgewicht mit Transfers genau dann wenn es ein Tupel w displaystyle mathbf w nbsp mit i 1 I w i p e j 1 J p y j displaystyle sum i 1 I w i mathbf p cdot mathbf e sum j 1 J mathbf p cdot mathbf y j nbsp gibt sodass gilt Die Allokation x i i I y j j J displaystyle left left mathbf x i right i in mathcal I left mathbf y j right j in mathcal J right nbsp ist in E p displaystyle mathbf mathcal E p nbsp zulassig Jedes Unternehmen maximiert gegeben die gleichgewichtigen Marktpreise seinen Gewinn das heisst fur alle j J displaystyle j in mathcal J nbsp gilt p y j p y j displaystyle mathbf p cdot mathbf y j leq mathbf p cdot mathbf y j nbsp fur alle y j displaystyle mathbf y j nbsp Jede Person maximiert ihren Nutzen gegeben die gleichgewichtigen Marktpreise und ihr Konsumbudget Genauer Sei X displaystyle mathcal X nbsp die Menge aller Konsumvektoren x i displaystyle mathbf x i nbsp die der Budgetbedingung genugen X x i p x i w i displaystyle mathcal X left mathbf x i left mathbf p cdot mathbf x i leq w i right right nbsp Dann ist x i X displaystyle mathbf x i in mathcal X nbsp und es gilt u x i u x i displaystyle u left mathbf x i right geq u left mathbf x i right nbsp fur alle x i X displaystyle mathbf x i in mathcal X nbsp dd Insbesondere ist das walrasianische Gleichgewicht ein Quasi Preisnehmer Wettbewerbsgleichgewicht mit Transfers 5 Zweiter Hauptsatz Bearbeiten Zweiter Hauptsatz der Wohlfahrtsokonomik 6 Sei E displaystyle mathbf mathcal E nbsp die betrachtete Okonomie Sei die jeder individuellen Nutzenfunktionen u i R n R displaystyle u i mathbb R n rightarrow mathbb R nbsp i I displaystyle i in mathcal I nbsp zugrunde liegende Praferenzordnung lokal nicht gesattigt oder im Spezialfall streng monoton und daruber hinaus konvex Sei weiter Y j displaystyle Y j nbsp konvex fur alle j J displaystyle j in mathcal J nbsp Dann existiert zu jeder Pareto optimalen Allokation x i i I y j j J displaystyle left left mathbf x i right i in mathcal I left mathbf y j right j in mathcal J right nbsp ein Preisvektor p 0 displaystyle mathbf p neq mathbf 0 nbsp sodass x i i I y j j J p displaystyle left left mathbf x i right i in mathcal I left mathbf y j right j in mathcal J mathbf p right nbsp ein Quasi Preisnehmer Wettbewerbsgleichgewicht mit Transfers bildet Beweise BearbeitenBeweis des Ersten Hauptsatzes Bearbeiten Beweis durch Widerspruch 7 Man nehme an dass die sich aus dem Preisnehmer Wettbewerbsgleichgewicht ergebende Allokation x i i I y j j J displaystyle left left mathbf x i right i in mathcal I left mathbf y j right j in mathcal J right nbsp fur E p displaystyle mathbf mathcal E p nbsp nicht Pareto optimal ist Dann gibt es definitionsgemass eine zulassige Allokation x i i I y j j J displaystyle left left tilde mathbf x i right i in mathcal I left mathbf tilde y j right j in mathcal J right nbsp fur E p displaystyle mathbf mathcal E p nbsp mit u i x i u i x i displaystyle u i mathbf tilde x i geq u i mathbf x i nbsp fur alle i und u i x i gt u i x i displaystyle u i mathbf tilde x i gt u i mathbf x i nbsp fur mindestens ein Individuum i I displaystyle i in mathcal I nbsp Es ist zu zeigen dass eine solche zulassige Allokation nicht existiert Hierzu gehe man schrittweise vor a Da x i i I y j j J p displaystyle left left mathbf x i right i in mathcal I left mathbf y j right j in mathcal J mathbf p right nbsp das Preisnehmer Wettbewerbgleichgewicht fur E p displaystyle mathbf mathcal E p nbsp ist mit p e i j 1 J 8 i j p y j displaystyle mathbf p cdot mathbf e i sum j 1 J theta ij cdot mathbf p cdot mathbf y j nbsp dem Budget muss auch gelten dass p x i p x i displaystyle mathbf p cdot tilde mathbf x i geq mathbf p cdot mathbf x i nbsp Denn ware stattdessen p x i lt p x i displaystyle mathbf p cdot tilde mathbf x i lt mathbf p cdot mathbf x i nbsp gabe es in einer Umgebung um x i displaystyle mathbf tilde x i nbsp ein x i displaystyle mathbf tilde tilde x i nbsp das strikt gegenuber x i displaystyle mathbf tilde x i nbsp vorgezogen wird lokale Nichtsattigung und das ja ebenfalls der Budgetbedingung genugt dann aber ware x i displaystyle mathbf tilde x i nbsp nicht das optimale Konsumbundel vgl Punkt 3 in der Definition des Preisnehmer Wettbewerbsgleichgewichtes Salopp gesagt muss also eine Pareto superiore Allokation zu teuer sein sonst konnte die Pareto unterlegene Allokation ja nicht gleichgewichtig sein b Aus 2 folgt dass p x i gt p x i displaystyle mathbf p cdot mathbf tilde x i gt mathbf p cdot mathbf x i nbsp denn i displaystyle i nbsp zieht x i displaystyle mathbf tilde x i nbsp gegenuber x i displaystyle mathbf x i nbsp strikt vor Ware p x i displaystyle mathbf p cdot mathbf tilde x i nbsp also gleich gross oder sogar kleiner als p x i displaystyle mathbf p cdot mathbf x i nbsp wurde im Gleichgewicht sicherlich x i displaystyle mathbf tilde x i nbsp gewahlt im Widerspruch zur Eigenschaft 1 in der Definition des Preisnehmer Wettbewerbsgleichgewichtes c Nach Voraussetzung ist fur jeden Produzenten j y j displaystyle mathbf y j nbsp die gewinnmaximierende Produktionsmenge zum Preis p displaystyle mathbf p nbsp weshalb notwendigerweise auch p y j p y j displaystyle mathbf p cdot mathbf y j geq mathbf p cdot mathbf tilde y j nbsp denn ware stattdessen p y j lt p y j displaystyle mathbf p cdot mathbf y j lt mathbf p cdot mathbf tilde y j nbsp wurde y j j J displaystyle left mathbf y j right j in mathcal J nbsp die Eigenschaft 2 in der Definition des Preisnehmer Wettbewerbsgleichgewichtes nicht erfullen d Jede Person befindet sich in ihrer durch p x i p e i j 1 J 8 i j p y j displaystyle mathbf p cdot mathbf x i mathbf p cdot mathbf e i sum j 1 J theta ij cdot mathbf p cdot mathbf y j nbsp gegebenen Budgetmenge e Da nach Voraussetzung i 1 n e i e displaystyle sum i 1 n mathbf e i mathbf e nbsp und i 1 I 8 i j 1 displaystyle sum i 1 I mathbf theta ij 1 nbsp fur alle j J displaystyle j in mathcal J nbsp siehe die Definition der Wettbewerbs Tauschokonomie liefert Summieren uber die Gleichung in d dass auch i 1 I p x i p e j 1 J p y j displaystyle sum i 1 I mathbf p cdot mathbf x i mathbf p cdot mathbf e sum j 1 J mathbf p cdot mathbf y j nbsp f Aus c und e folgt dass i 1 I p x i p e j 1 J p y j displaystyle sum i 1 I mathbf p cdot mathbf x i geq mathbf p cdot mathbf e sum j 1 J mathbf p cdot mathbf tilde y j nbsp g a und b in f eingesetzt ergeben i 1 I p x i gt p e j 1 J p y j displaystyle sum i 1 I mathbf p cdot mathbf tilde x i gt mathbf p cdot mathbf e sum j 1 J mathbf p cdot mathbf tilde y j nbsp Daraus folgt aber nach der Definition der Zulassigkeit von Allokationen siehe oben dass x i i I y j j J displaystyle left left tilde mathbf x i right i in mathcal I left mathbf tilde y j right j in mathcal J right nbsp nicht zulassig ist im Widerspruch zur Annahme q e d Beweis des Zweiten Hauptsatzes Bearbeiten Der nachfolgende Beweis folgt ganz uberwiegend dem weit verbreiteten Beweisverfahren aus Mas Colell Whinston Green 1995 S 552 ff Sei fur alle i I displaystyle i in mathcal I nbsp eine Menge V i x i R n u i x i gt u i x i displaystyle V i equiv left mathbf x i in mathbb R n left u i left mathbf x i right gt u i left mathbf x i right right right nbsp definiert die obere Konturmenge von x i displaystyle mathbf x i nbsp bzw die Menge aller Konsumvektoren die einen hoheren Nutzen als x i displaystyle mathbf x i nbsp stiften Summiert man diese Menge uber alle i erhalt man V i 1 I V i x R n x 1 V 1 x n V n mit x i 1 I x i displaystyle V sum i 1 I V i left mathbf x in mathbb R n left mathbf x 1 in V 1 ldots mathbf x n in V n textrm mit mathbf x sum i 1 I mathbf x i right right nbsp das heisst die Menge aller individuellen Konsumplane zusammengefasst zu einem Vektor x displaystyle mathbf x nbsp durch die samtliche Individuen strikt besser gestellt sind als mit x i displaystyle mathbf x i nbsp Analog ist fur alle j J displaystyle j in mathcal J nbsp eine Menge Y j 1 J y j y R n y 1 Y 1 y n Y n mit y j 1 J y j displaystyle Y sum j 1 J mathbf y j left mathbf y in mathbb R n left mathbf y 1 in Y 1 ldots mathbf y n in Y n textrm mit mathbf y sum j 1 J mathbf y j right right nbsp definiert die Menge samtlicher Produktionsplane auf gesamtwirtschaftlicher Ebene Diese aggregierte Produktionsmenge lasst sich um den Ausstattungsvektor e displaystyle mathbf e nbsp verschieben wodurch man die aggregierte Menge der Konsummoglichkeiten A Y e displaystyle A Y mathbf e nbsp erhalt a Jedes V i displaystyle V i nbsp ist eine konvexe Menge Seien x i displaystyle mathbf tilde x i nbsp und x i displaystyle mathbf hat x i nbsp beide Elemente von V i displaystyle V i nbsp Dann ist nach Definition u i x i gt u i x i displaystyle u i left mathbf tilde x i right gt u i left mathbf x i right nbsp und u i x i gt u i x i displaystyle u i left mathbf hat x i right gt u i left mathbf x i right nbsp Sei nun ohne Beschrankung der Allgemeinheit u i x i u i x i displaystyle u i left mathbf tilde x i right geq u i left mathbf hat x i right nbsp Die Konvexitatseigenschaft der Praferenzordnung impliziert dass fur beliebiges l 0 1 displaystyle lambda in 0 1 nbsp auch u i l x i 1 l x i u i x i displaystyle u i left lambda mathbf tilde x i 1 lambda mathbf hat x i right geq u i left mathbf hat x i right nbsp Da Praferenzordnungen zudem transitiv sind gilt auch dass u i l x i 1 l x i gt u i x i displaystyle u i left lambda mathbf tilde x i 1 lambda mathbf hat x i right gt u i left mathbf x i right nbsp Also ist V i displaystyle V i nbsp eine konvexe Menge 8 dd b V ist als Summe konvexer Mengen konvex ebenso wie Y auch nach Verschiebung um e displaystyle mathbf e nbsp auf A c Es ist V A displaystyle V cap A emptyset nbsp Wegen der Pareto Optimalitat der Allokation x i i I y j j J displaystyle left left mathbf x i right i in mathcal I left mathbf y j right j in mathcal J right nbsp nach Voraussetzung ist V A displaystyle V cap A emptyset nbsp es darf kein mogliches Angebot geben das auch in V enthalten ist sonst gabe es eine Allokation die mit gegebener Technologie und Ausstattung produzierbar ist und der anderen vorgezogen wurde dann aber konnte die Ausgangsallokation erst gar nicht Pareto optimal sein dd d Es existiert ein Preisvektor p R n 0 displaystyle mathbf p in mathbb R n setminus mathbf 0 nbsp und ein r R displaystyle r in mathbb R nbsp sodass 1 p z r displaystyle mathbf p cdot mathbf z geq r nbsp fur alle z V displaystyle mathbf z in V nbsp und 2 p z r displaystyle mathbf p cdot mathbf z leq r nbsp fur alle z A displaystyle mathbf z in A nbsp Dies folgt aus einer auf Minkowski zuruckgehenden 9 Version des Trennungssatzes fur disjunkte konvexe Mengen in normierten Raumen durch reelle affine Hyperebenen wonach fur zwei disjunkte nichtleere und konvexe Untermengen des R n displaystyle mathbb R n nbsp A und B gilt dass eine Hyperebene existiert die A von B trennt das heisst es existiert ein p R n 0 displaystyle mathbf p in mathbb R n setminus mathbf 0 nbsp sodass sup a A p a inf b B p b displaystyle sup mathbf a in A mathbf p cdot mathbf a leq inf mathbf b in B mathbf p cdot mathbf b nbsp oder anders formuliert es existiert ein nichtleeres p R n displaystyle mathbf p in mathbb R n nbsp und ein a R displaystyle alpha in mathbb R nbsp sodass fur alle a A displaystyle mathbf a in A nbsp und fur alle b B displaystyle mathbf b in B nbsp gilt dass p a a p b displaystyle mathbf p cdot mathbf a leq alpha leq mathbf p cdot mathbf b nbsp 10 Zum Beweis des Theorems vgl verkurzt Mas Colell 1995 S 948 und vollstandig Moore 1999 11 S 297 ff dd e Wenn u i x i u i x i displaystyle u i left mathbf x i right geq u i left mathbf x i right nbsp fur alle i dann auch p i 1 I x i r displaystyle mathbf p cdot left sum i 1 I mathbf x i right geq r nbsp Wegen Nichtsattigung gibt es namlich fur jeden Konsumenten i I displaystyle i in mathcal I nbsp ein Konsumbundel x i displaystyle tilde mathbf x i nbsp in einer beliebig kleinen Umgebung um x i displaystyle mathbf x i nbsp mit dem u i x i gt u i x i displaystyle u i left tilde mathbf x i right gt u i left mathbf x i right nbsp und also x i V i displaystyle tilde mathbf x i in V i nbsp Folglich ist nun auch x V displaystyle mathbf tilde x in V nbsp und demnach gemass Minkowski Theorem p i 1 I x i r displaystyle mathbf p cdot left sum i 1 I mathbf tilde x i right geq r nbsp sodass mit x i x i displaystyle tilde mathbf x i rightarrow mathbf x i nbsp fur alle i im Grenzwert auch p i 1 I x i r displaystyle mathbf p cdot left sum i 1 I mathbf x i right geq r nbsp dd f Es gilt p j 1 J y j e r displaystyle mathbf p cdot left sum j 1 J mathbf y j mathbf e right r nbsp Nach vorigem Punkt ist p i 1 I x i r displaystyle mathbf p cdot left sum i 1 I mathbf x i right geq r nbsp Zugleich ist aber i 1 I x i j 1 J y j e displaystyle sum i 1 I mathbf x i sum j 1 J mathbf y j mathbf e nbsp A displaystyle in A nbsp und also p i 1 I x i r displaystyle mathbf p cdot left sum i 1 I mathbf x i right leq r nbsp Es folgt dass p i 1 I x i r displaystyle mathbf p cdot left sum i 1 I mathbf x i right r nbsp und wegen i 1 I x i j 1 J y j e displaystyle sum i 1 I mathbf x i sum j 1 J mathbf y j mathbf e nbsp auch p j 1 J y j e r displaystyle mathbf p cdot left sum j 1 J mathbf y j mathbf e right r nbsp dd g Es gilt p y j p y j displaystyle mathbf p cdot mathbf y j leq mathbf p cdot mathbf y j nbsp Es ist p y j p y j displaystyle mathbf p cdot mathbf y j leq mathbf p cdot mathbf y j nbsp fur alle y j Y j displaystyle mathbf y j in Y j nbsp Fur jedes j J displaystyle j in J nbsp und fur alle y j Y j displaystyle mathbf y j in Y j nbsp gilt dass y j k j y k Y displaystyle left mathbf y j sum k neq j mathbf y k right in Y nbsp Gemeinsam impliziert dies p y j k j y k e r p j 1 J y j displaystyle mathbf p cdot left mathbf y j sum k neq j mathbf y k mathbf e right leq r mathbf p cdot left sum j 1 J mathbf y j right nbsp also auch p y j k j y k r p y j j 1 J y j displaystyle mathbf p cdot left mathbf y j sum k neq j mathbf y k right leq r mathbf p cdot left mathbf y j sum j 1 J mathbf y j right nbsp Daraus wiederum folgt fur alle y j Y j displaystyle mathbf y j in Y j nbsp und fur alle j J displaystyle j in J nbsp dass p y j p y j displaystyle mathbf p cdot mathbf y j leq mathbf p cdot mathbf y j nbsp dd h Wenn u i x i gt u i x i displaystyle u i left mathbf x i right gt u i left mathbf x i right nbsp dann auch p x i p x i displaystyle mathbf p cdot mathbf x i geq mathbf p cdot mathbf x i nbsp Wenn u i x i gt u i x i displaystyle u i left mathbf x i right gt u i left mathbf x i right nbsp dann namlich nach e und f auch p k i x k x i r p k i x k x i displaystyle mathbf p cdot left sum k neq i mathbf x k mathbf x i right geq r mathbf p cdot left sum k neq i mathbf x k mathbf x i right nbsp und deshalb p x i p x i displaystyle mathbf p cdot mathbf x i geq mathbf p cdot mathbf x i nbsp dd Da uberdies x i i I y j j J displaystyle left left mathbf x i right i in mathcal I left mathbf y j right j in mathcal J right nbsp zulassig nach Voraussetzung gewahrleistet also die Wahl von w i p x i displaystyle w i mathbf p cdot mathbf x i nbsp fur alle i I displaystyle i in mathcal I nbsp die Existenz des Quasi Preisnehmer Wettbewerbsgleichgewichts mit Transfers x i i I y j j J p displaystyle left left mathbf x i right i in mathcal I left mathbf y j right j in mathcal J mathbf p right nbsp q e d Literatur BearbeitenAndreu Mas Colell Michael Whinston und Jerry Green Microeconomic Theory Oxford University Press Oxford 1995 ISBN 0 19 507340 1 Kapitel 16 Allan M Feldman Welfare Economics In Steven N Durlauf und Lawrence E Blume Hrsg The New Palgrave Dictionary of Economics 2 Auflage Palgrave Macmillan 2008 Internet http www dictionaryofeconomics com article id pde2008 W000050 amp edition current Online Ausgabe James C Moore General equilibrium and welfare economics An introduction Springer Berlin u a 2007 ISBN 978 3 540 31407 3 auch als E Book doi 10 1007 978 3 540 32223 8 Hal Varian Intermediate Microeconomics A Modern Approach 8 Aufl W W Norton New York und London 2010 ISBN 978 0 393 93424 3 Kapitel 31 Fur eine einfache Edgeworth Okonomie vgl Edgeworth Box Weblinks BearbeitenMichael Powell Econ 201C General Equilibrium and Welfare Economics Memento vom 6 Januar 2009 imInternet Archive PDF Datei Vorlesungsnotizen Archivierte Version Memento vom 21 Januar 2014 im Internet Archive vom 21 Januar 2014 Anmerkungen Bearbeiten Vgl Feldmann 2008 Ahnlich Friedrich Breyer Mikrookonomik Eine Einfuhrung 5 Aufl Springer Heidelberg u a 2011 ISBN 978 3 642 22150 7 S 212 Vereinfacht zu Mas Colell Whinston 1995 S 546 549 Sei E displaystyle mathbf mathcal E nbsp die betrachtete Okonomie Sei die jeder individuellen Nutzenfunktionen u i R n R displaystyle u i mathbb R n rightarrow mathbb R nbsp i I displaystyle i in mathcal I nbsp zugrunde liegende Praferenzordnung lokal nicht gesattigt oder im Spezialfall streng monoton Sei weiter x i i I y j j J p displaystyle left left mathbf x i right i in mathcal I left mathbf y j right j in mathcal J mathbf p right nbsp ein Quasi Preisnehmer Wettbewerbsgleichgewicht mit Transfers Dann ist die daraus abgeleitete Gleichgewichtsallokation x i i I y j j J displaystyle left left mathbf x i right i in mathcal I left mathbf y j right j in mathcal J right nbsp fur E displaystyle mathbf mathcal E nbsp Pareto effizient Vgl Mas Colell Whinston Green 1995 S 549 f Dort ist ja nach Definition w i p e i j 1 J 8 i j p y j displaystyle w i mathbf p cdot mathbf e i sum j 1 J theta ij cdot mathbf p cdot mathbf y j nbsp was die obige Anforderung an i 1 I w i displaystyle sum i 1 I w i nbsp offensichtlich erfullt Vgl Mas Colell Whinston Green 1995 S 552 Moore 2007 S 213 Der Beweis folgt dem schrittweisen Beweisverfahren bei Sam Bucovetsky General Equilibrium and Welfare Chapter 16 Vorlesungsnotizen Internet Archivlink Memento vom 2 Februar 2014 im Internet Archive PDF Datei Das konkrete Vorgehen selbst basiert auf Mas Colell Whinston 1995 S 549 f wo jedoch eine leicht verallgemeinerte Version bewiesen wird und Teilschritte ausgespart sind Die Beweisidee uber den Widerspruchsbeweis geht zuruck auf Kenneth Arrow An extension of the basic theorems of classical Welfare Economics In Proceedings of the Second Berkeley Symposium on Mathematical Statistics and Probability University of California Berkeley 1951 Vgl Alexandre B Cunha Arbeitspapier S 1 sowie Feldmann 2008 Eine Menge V ist konvex wenn a b V displaystyle mathbf a mathbf b in V nbsp und l 0 1 displaystyle lambda in 0 1 nbsp displaystyle Rightarrow nbsp l a 1 l b V displaystyle lambda mathbf a 1 lambda mathbf b in V nbsp Vgl Knut Sydsaeter Arne Strom und Peter Berck Economists mathematical manual 4 Aufl Springer Berlin u a 2005 ISBN 978 3 540 26088 2 auch als E Book doi 10 1007 3 540 28518 0 S 90 Vgl Mas Colell 1995 S 948 und James C Moore General equilibrium and welfare economics An introduction Springer Berlin u a 2007 ISBN 978 3 540 31407 3 auch als E Book doi 10 1007 978 3 540 32223 8 S 172 James C Moore Mathematical methods for economic theory Bd 1 Springer Berlin u a 1995 ISBN 3 540 66235 9 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Wohlfahrtstheoreme amp oldid 230149934
