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Varianzreduktion ist der Oberbegriff für verschiedene Techniken zur Effizienzsteigerung bei Monte Carlo Simulationen Die

Varianzreduktion

Varianzreduktion ist der Oberbegriff für verschiedene Techniken zur Effizienzsteigerung bei Monte-Carlo-Simulationen. Diese wurden zuerst 1955 durch Herman Kahn beschrieben. Wichtige Varianzreduktionstechniken sind:

Grundidee Bearbeiten

Das Standardvorgehen bei Monte-Carlo-Simulationen besteht darin, eine gesuchte Größe , wie etwa ein Integral, eine komplizierte Summe oder einen unbekannten Parameter einer Wahrscheinlichkeitsverteilung, durch einen Erwartungswert auszudrücken, beispielsweise in der Form

mit einer geeigneten reellwertigen Funktion und einer Zufallsvariable , für die leicht eine große Anzahl von Realisierungen algorithmisch generiert werden kann, im Allgemeinen mithilfe von Pseudozufallszahlen.

Ist nun eine solche Stichprobe von unabhängigen Zufallsvariablen, die alle die gleiche Verteilung wie besitzen, so lässt sich für große annähern durch das arithmetische Mittel

denn wegen der Linearität des Erwartungswerts gilt und nach dem starken Gesetz der großen Zahlen konvergieren die Näherungen fast sicher gegen den gesuchten Wert .

Die Genauigkeit dieser Schätzung lässt sich mithilfe der Varianz von messen. Nach der Gleichung von Bienaymé gilt wegen der Unabhängigkeit der (und damit auch der )

Die Proportionalität der Varianz zum Kehrwert der Stichprobengröße , und damit die Konvergenzordnung der Standardabweichung von , lässt sich im Allgemeinen nicht weiter verbessern. Aus diesem Grund setzen Verfahren zur Varianzreduktion beim Proportionalitätsfaktor selbst an, indem sie für konkrete Fälle Möglichkeiten angeben, die Funktion und die Verteilung von so zu wählen, dass dieser möglichst klein wird.

Bei realistischen Anwendungen kann im Allgemeinen die Varianz von nicht exakt berechnet werden, da dann ja nicht einmal der Erwartungswert dieser Zufallsvariable bekannt ist. In diesem Fall kann mit Hilfe der Stichprobenvarianz

geschätzt werden.

Literatur Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Herman Kahn, Use of different Monte Carlo Sampling Techniques, https://www.rand.org/content/dam/rand/pubs/papers/2008/P766.pdf
wikipedia, wiki, deutsches, deutschland, buch, bücher, bibliothek artikel lesen, herunterladen kostenlos kostenloser herunterladen, MP3, Video, MP4, 3GP, JPG, JPEG, GIF, PNG, Bild, Musik, Lied, Film, Buch, Spiel, Spiele
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Varianzreduktion ist der Oberbegriff fur verschiedene Techniken zur Effizienzsteigerung bei Monte Carlo Simulationen Diese wurden zuerst 1955 durch Herman Kahn beschrieben 1 Wichtige Varianzreduktionstechniken sind Gemeinsame Zufallszahlen Antithetische Variate antithetic sampling Kontrollvariate control variates Gewichtete Stichproben importance sampling Geschichtete Stichproben stratified sampling Grundidee BearbeitenDas Standardvorgehen bei Monte Carlo Simulationen besteht darin eine gesuchte Grosse s displaystyle s nbsp wie etwa ein Integral eine komplizierte Summe oder einen unbekannten Parameter einer Wahrscheinlichkeitsverteilung durch einen Erwartungswert auszudrucken beispielsweise in der Form s E f X displaystyle s operatorname E f X nbsp mit einer geeigneten reellwertigen Funktion f displaystyle f nbsp und einer Zufallsvariable X displaystyle X nbsp fur die leicht eine grosse Anzahl von Realisierungen algorithmisch generiert werden kann im Allgemeinen mithilfe von Pseudozufallszahlen Ist nun X 1 X n displaystyle X 1 dotsc X n nbsp eine solche Stichprobe von unabhangigen Zufallsvariablen die alle die gleiche Verteilung wie X displaystyle X nbsp besitzen so lasst sich s displaystyle s nbsp fur grosse n displaystyle n nbsp annahern durch das arithmetische Mittel S n 1 n i 1 n f X i displaystyle S n frac 1 n sum i 1 n f X i nbsp denn wegen der Linearitat des Erwartungswerts gilt E S n s displaystyle operatorname E S n s nbsp und nach dem starken Gesetz der grossen Zahlen konvergieren die Naherungen S n displaystyle S n nbsp fast sicher gegen den gesuchten Wert s displaystyle s nbsp Die Genauigkeit dieser Schatzung lasst sich mithilfe der Varianz von S n displaystyle S n nbsp messen Nach der Gleichung von Bienayme gilt wegen der Unabhangigkeit der X i displaystyle X i nbsp und damit auch der f X i displaystyle f X i nbsp Var S n 1 n Var f X displaystyle operatorname Var S n frac 1 n operatorname Var f X nbsp Die Proportionalitat der Varianz zum Kehrwert der Stichprobengrosse n displaystyle n nbsp und damit die Konvergenzordnung O 1 n displaystyle mathcal O left tfrac 1 sqrt n right nbsp der Standardabweichung von S n displaystyle S n nbsp lasst sich im Allgemeinen nicht weiter verbessern Aus diesem Grund setzen Verfahren zur Varianzreduktion beim Proportionalitatsfaktor Var f X displaystyle operatorname Var f X nbsp selbst an indem sie fur konkrete Falle Moglichkeiten angeben die Funktion f displaystyle f nbsp und die Verteilung von X displaystyle X nbsp so zu wahlen dass dieser moglichst klein wird Bei realistischen Anwendungen kann im Allgemeinen die Varianz von f X displaystyle f X nbsp nicht exakt berechnet werden da dann ja nicht einmal der Erwartungswert dieser Zufallsvariable bekannt ist In diesem Fall kann Var f X displaystyle operatorname Var f X nbsp mit Hilfe der Stichprobenvarianz 1 n 1 i 1 n f X i S n 2 displaystyle frac 1 n 1 sum i 1 n f X i S n 2 nbsp geschatzt werden Literatur BearbeitenThomas Muller Gronbach Erich Novak Klaus Ritter Monte Carlo Algorithmen Springer 2012 ISBN 978 3 540 89140 6 Einzelnachweise Bearbeiten Herman Kahn Use of different Monte Carlo Sampling Techniques https www rand org content dam rand pubs papers 2008 P766 pdf Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Varianzreduktion amp oldid 238297359