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Klassifizierender Raum Dieser Artikel behandelt den klassifizierenden Raum einer topologischen Gruppe Verallgemeinerunge

Klassifizierender Raum

In der Mathematik werden mit Hilfe des klassifizierenden Raumes und des universellen Bündels einer topologischen Gruppe G die Prinzipalbündel mit G als Strukturgruppe klassifiziert. Der klassifizierende Raum und das universelle Bündel sind durch eine universelle Eigenschaft charakterisiert, eine explizite Konstruktion geht auf John Milnor zurück. Bündel und ihre Klassifikation spielen eine wichtige Rolle in Mathematik und Theoretischer Physik.

Universelles Bündel Bearbeiten

Ein -Hauptfaserbündel heißt universelles Bündel, wenn man alle (numerierbaren) -Prinzipalbündel durch Zurückziehen des universellen Bündels gewinnen kann; formal: wenn es die folgende universelle Eigenschaft für numerierbare G-Prinzipalbündel hat:

  • Für jedes numerierbare -Prinzipalbündel gibt es eine stetige Abbildung so dass die Bündel und isomorph sind.
  • Für zwei Abbildungen sind die Bündel genau dann isomorph, wenn homotop sind.

Man hat also eine Bijektion

wobei die Homotopieklassen von Abbildungen bezeichnet.

Die Basis eines universellen -Bündels heißt klassifizierender Raum der topologischen Gruppe . Mittels allgemeinen Unsinns kann man leicht zeigen, dass (wenn ein universelles Bündel existiert) bis auf Homotopieäquivalenz eindeutig bestimmt ist. Die folgende, auf Milnor zurückgehende Konstruktion beweist auch die Existenz des klassifizierenden Raumes.

Milnor-Konstruktion Bearbeiten

Der unendliche Verbund abzählbar vieler Kopien der topologischen Gruppe wird als Milnor-Raum bezeichnet. Die Elemente sind von der Form mit und nur endlich viele . (Man beachte auch für .)

Die Gruppe wirkt auf dem Milnor-Raum durch . Der Quotient ist der klassifizierende Raum der Gruppe , das Prinzipalbündel

ist das universelle Bündel.

Für verschiedene Lie-Gruppen, zum Beispiel und gibt es einfachere Realisierungen des klassifizierenden Raumes durch Graßmann-Mannigfaltigkeiten, siehe unten.

Allgemein gibt jede freie Wirkung von auf einem zusammenziehbaren Raum einen Quotienten , der ein klassifizierender Raum (und damit insbesondere zu obiger Konstruktion homotopieäquivalent) ist. Die Quotientenabbildung ist dann ein universelles -Prinzipalbündel.

Topologie des klassifizierenden Raumes Bearbeiten

ist zusammenziehbar. Für die Homotopiegruppen von gilt

Insbesondere gilt für mit der diskreten Topologie versehene Gruppen :

Der klassifizierende Raum einer diskreten Gruppe ist also ein Eilenberg-MacLane-Raum.

Wenn eine Homotopieäquivalenz ist, dann ist auch eine Homotopieäquivalenz. Insbesondere ist homotopieäquivalent zu .

Beispiele klassifizierender Räume Bearbeiten

Die folgende Liste gibt Beispiele klassifizierender Räume mit zugehörigem Totalraum (des universellen Bündels) . Man beachte, dass für topologische Gruppen i.a. nicht mit (dem klassifizierenden Raum für dieselbe Gruppe mit der diskreten Topologie) übereinstimmt.

  • mit Totalraum (Insbesondere )
  • mit Totalraum
  • mit Totalraum
  • mit Totalraum (unendlicher Baum vom Grad 4)
  • mit Totalraum
  • mit Totalraum
  • mit Totalraum (hyperbolische Ebene)

Vektorbündel Bearbeiten

Zu einem reellen Vektorbündel vom Rang hat man das Rahmenbündel als -Bündel über derselben Basis. Insbesondere ist , und wegen der Homotopieäquivalenz auch , ein klassifizierender Raum für reelle Vektorbündel vom Rang . Entsprechend ist ein klassifizierender Raum für komplexe Vektorbündel vom Rang .

Die Graßmann-Mannigfaltigkeiten für bzw. sind explizite Realisierungen der klassifizierenden Räume bzw. .

Analog können orientierte Vektorbündel vom Rang durch das universelle Bündel über , der Graßmann-Mannigfaltigkeit der orientierten Untervektorräume klassifiziert werden.

Charakteristische Klassen Bearbeiten

Kohomologieklassen eines klassifizierenden Raumes dienen zur Definition charakteristischer Klassen.

Zum Beispiel erhält man charakteristische Klassen orientierter Vektorbündel vom Rang aus der Kohomologie von . Für einen Körper F mit gilt

wobei die Euler-Klasse und die Pontrjagin-Klassen bezeichnet. Für ist

wobei die Stiefel-Whitney-Klassen bezeichnet.

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • John Milnor: Construction of universal bundles. Teil I In: Ann. of Math. (2) 63 (1956), S. 272–284. pdf; Teil II In: Ann. of Math. (2) 63 (1956), S. 430–436. pdf
  • Dale Husemoller: Fibre bundles. McGraw-Hill Book Co., New York/ London/ Sydney 1966, OCLC 909937420.
  • Tammo tom Dieck: Topologie. (= de Gruyter Lehrbuch). Walter de Gruyter, Berlin 1991, ISBN 3-11-012463-7.

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Eine offene Überdeckung eines topologischen Raumes heißt numerierbar, wenn es eine lokal endliche Zerlegung der Eins mit gibt. Ein Prinzipalbündel heißt numerierbar, wenn es eine numerable Überdeckung gibt, so dass die Einschränkungen des Bündels auf die trivialisierbar sind. Vgl. Husemoller, op.cit., Section I.4.9.
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Dieser Artikel behandelt den klassifizierenden Raum einer topologischen Gruppe Verallgemeinerungen dieses Konzepts sind der klassifizierende Raum einer Familie von Untergruppen und der klassifizierende Raum einer Kategorie In der Mathematik werden mit Hilfe des klassifizierenden Raumes und des universellen Bundels einer topologischen Gruppe G die Prinzipalbundel mit G als Strukturgruppe klassifiziert Der klassifizierende Raum und das universelle Bundel sind durch eine universelle Eigenschaft charakterisiert eine explizite Konstruktion geht auf John Milnor zuruck Bundel und ihre Klassifikation spielen eine wichtige Rolle in Mathematik und Theoretischer Physik Inhaltsverzeichnis 1 Universelles Bundel 2 Milnor Konstruktion 3 Topologie des klassifizierenden Raumes 4 Beispiele klassifizierender Raume 5 Vektorbundel 6 Charakteristische Klassen 7 Siehe auch 8 Literatur 9 Weblinks 10 EinzelnachweiseUniverselles Bundel BearbeitenEin G displaystyle G nbsp Hauptfaserbundel 3 E G B G displaystyle xi colon EG to BG nbsp heisst universelles Bundel wenn man alle numerierbaren G displaystyle G nbsp Prinzipalbundel durch Zuruckziehen des universellen Bundels gewinnen kann formal wenn es die folgende universelle Eigenschaft fur numerierbare G Prinzipalbundel 1 hat Fur jedes numerierbare G displaystyle G nbsp Prinzipalbundel p E X displaystyle pi colon E to X nbsp gibt es eine stetige Abbildung f X B G displaystyle f colon X to BG nbsp so dass die Bundel f 3 displaystyle f xi nbsp und p displaystyle pi nbsp isomorph sind Fur zwei Abbildungen f g X B G displaystyle f g colon X to BG nbsp sind die Bundel f 3 g 3 displaystyle f xi g xi nbsp genau dann isomorph wenn f g displaystyle f g nbsp homotop sind Man hat also eine Bijektion G Prinzipalbundel uber X X B G displaystyle left G text Prinzipalbundel uber X right left X BG right nbsp wobei X B G displaystyle left X BG right nbsp die Homotopieklassen von Abbildungen X B G displaystyle X to BG nbsp bezeichnet Die Basis eines universellen G displaystyle G nbsp Bundels heisst klassifizierender Raum B G displaystyle BG nbsp der topologischen Gruppe G displaystyle G nbsp Mittels allgemeinen Unsinns kann man leicht zeigen dass B G displaystyle BG nbsp wenn ein universelles Bundel existiert bis auf Homotopieaquivalenz eindeutig bestimmt ist Die folgende auf Milnor zuruckgehende Konstruktion beweist auch die Existenz des klassifizierenden Raumes Milnor Konstruktion BearbeitenDer unendliche Verbund E G G G G displaystyle EG G G ldots G ldots nbsp abzahlbar vieler Kopien der topologischen Gruppe G displaystyle G nbsp wird als Milnor Raum bezeichnet Die Elemente sind von der Form i t i g i displaystyle textstyle sum i t i g i nbsp mit g i G t i 0 1 i t i 1 displaystyle textstyle g i in G t i in left 0 1 right sum i t i 1 nbsp und nur endlich viele t i 0 displaystyle t i not 0 nbsp Man beachte 0 g i 0 g i displaystyle 0g i 0g i prime nbsp auch fur g i g i displaystyle g i not g i prime nbsp Die Gruppe G displaystyle G nbsp wirkt auf dem Milnor Raum E G displaystyle EG nbsp durch i t i g i g i t i g i g displaystyle textstyle sum i t i g i g sum i t i g i g nbsp Der Quotient B G E G G displaystyle BG EG G nbsp ist der klassifizierende Raum der Gruppe G displaystyle G nbsp das Prinzipalbundel 3 E G B G displaystyle xi colon EG to BG nbsp ist das universelle Bundel Fur verschiedene Lie Gruppen zum Beispiel O n displaystyle operatorname O n nbsp und U n displaystyle operatorname U n nbsp gibt es einfachere Realisierungen des klassifizierenden Raumes durch Grassmann Mannigfaltigkeiten siehe unten Allgemein gibt jede freie Wirkung von G displaystyle G nbsp auf einem zusammenziehbaren Raum E displaystyle E nbsp einen Quotienten B E G displaystyle B E G nbsp der ein klassifizierender Raum B G displaystyle BG nbsp und damit insbesondere zu obiger Konstruktion homotopieaquivalent ist Die Quotientenabbildung E B displaystyle E to B nbsp ist dann ein universelles G displaystyle G nbsp Prinzipalbundel Topologie des klassifizierenden Raumes BearbeitenE G displaystyle EG nbsp ist zusammenziehbar Fur die Homotopiegruppen von B G displaystyle BG nbsp gilt p i B G p i 1 G displaystyle pi i BG pi i 1 G nbsp Insbesondere gilt fur mit der diskreten Topologie versehene Gruppen G displaystyle Gamma nbsp p 1 B G G displaystyle pi 1 B Gamma Gamma nbsp p i B G 0 displaystyle pi i B Gamma 0 nbsp fur i 1 displaystyle i not 1 nbsp Der klassifizierende Raum einer diskreten Gruppe ist also ein Eilenberg MacLane Raum Wenn K G displaystyle K to G nbsp eine Homotopieaquivalenz ist dann ist auch B K B G displaystyle BK to BG nbsp eine Homotopieaquivalenz Insbesondere ist BO n displaystyle operatorname BO n nbsp homotopieaquivalent zu BGL n R displaystyle operatorname BGL n mathbb R nbsp Beispiele klassifizierender Raume BearbeitenDie folgende Liste gibt Beispiele klassifizierender Raume B G displaystyle BG nbsp mit zugehorigem Totalraum des universellen Bundels E G displaystyle EG nbsp Man beachte dass fur topologische Gruppen i a B G displaystyle BG nbsp nicht mit B G d displaystyle BG delta nbsp dem klassifizierenden Raum fur dieselbe Gruppe mit der diskreten Topologie ubereinstimmt B Z n L n displaystyle B mathbb Z n L n infty nbsp mit Totalraum S displaystyle S infty nbsp Insbesondere B Z 2 R P displaystyle B mathbb Z 2 mathbb R P infty nbsp B Z S 1 displaystyle B mathbb Z S 1 nbsp mit Totalraum R displaystyle mathbb R nbsp B S 1 C P displaystyle BS 1 mathbb C P infty nbsp mit Totalraum S displaystyle S infty nbsp B F 2 S 1 S 1 displaystyle B F 2 S 1 vee S 1 nbsp mit Totalraum T displaystyle mathcal T nbsp unendlicher Baum vom Grad 4 BO n BGL n R Gr n R displaystyle operatorname BO n operatorname BGL n mathbb R operatorname Gr n mathbb R infty nbsp mit Totalraum V n R displaystyle V n mathbb R infty nbsp B R p t displaystyle B mathbb R lbrace pt rbrace nbsp mit Totalraum R displaystyle mathbb R nbsp B a 1 b 1 a g b g i 1 g a i b i S g displaystyle B langle a 1 b 1 ldots a g b g prod i 1 g a i b i rangle S g nbsp mit Totalraum H displaystyle mathcal H nbsp hyperbolische Ebene B G 1 G 2 B G 1 B G 2 displaystyle B G 1 times G 2 BG 1 times BG 2 nbsp Vektorbundel BearbeitenZu einem reellen Vektorbundel vom Rang r displaystyle r nbsp hat man das Rahmenbundel als GL r R displaystyle operatorname GL r mathbb R nbsp Bundel uber derselben Basis Insbesondere ist BGL r R displaystyle operatorname BGL r mathbb R nbsp und wegen der Homotopieaquivalenz BO r BGL r R displaystyle operatorname BO r simeq operatorname BGL r mathbb R nbsp auch BO r displaystyle operatorname BO r nbsp ein klassifizierender Raum fur reelle Vektorbundel vom Rang r displaystyle r nbsp Entsprechend ist BU r BGL r C displaystyle operatorname BU r simeq operatorname BGL r mathbb C nbsp ein klassifizierender Raum fur komplexe Vektorbundel vom Rang r displaystyle r nbsp Die Grassmann Mannigfaltigkeiten Gr K r displaystyle operatorname Gr mathbb K r infty nbsp fur K R displaystyle mathbb K mathbb R nbsp bzw K C displaystyle mathbb K mathbb C nbsp sind explizite Realisierungen der klassifizierenden Raume BO r displaystyle operatorname BO r nbsp bzw BU r displaystyle operatorname BU r nbsp Analog konnen orientierte Vektorbundel vom Rang r displaystyle r nbsp durch das universelle Bundel uber BSO r Gr r displaystyle operatorname BSO r operatorname Gr r infty nbsp der Grassmann Mannigfaltigkeit der orientierten Untervektorraume klassifiziert werden Charakteristische Klassen BearbeitenKohomologieklassen eines klassifizierenden Raumes dienen zur Definition charakteristischer Klassen Zum Beispiel erhalt man charakteristische Klassen orientierter Vektorbundel vom Rang n displaystyle n nbsp aus der Kohomologie von BSO n displaystyle operatorname BSO n nbsp Fur einen Korper F mit char F 2 displaystyle operatorname char F not 2 nbsp gilt H BSO 2 n F F e p 1 p n e 2 p n displaystyle H operatorname BSO 2n F F left e p 1 ldots p n right e 2 p n nbsp H BSO 2 n 1 F F p 1 p n displaystyle H operatorname BSO 2n 1 F F left p 1 ldots p n right nbsp wobei e displaystyle e nbsp die Euler Klasse und p i displaystyle p i nbsp die Pontrjagin Klassen bezeichnet Fur char F 2 displaystyle operatorname char F 2 nbsp ist H BSO n F F w 2 w n displaystyle H operatorname BSO n F F left w 2 ldots w n right nbsp wobei w i displaystyle w i nbsp die Stiefel Whitney Klassen bezeichnet Siehe auch BearbeitenBO n displaystyle operatorname BO n nbsp klassifizierender Raum von O n displaystyle operatorname O n nbsp BSO n displaystyle operatorname BSO n nbsp klassifizierender Raum von SO n displaystyle operatorname SO n nbsp BU n displaystyle operatorname BU n nbsp klassifizierender Raum von U n displaystyle operatorname U n nbsp BSU n displaystyle operatorname BSU n nbsp klassifizierender Raum von SU n displaystyle operatorname SU n nbsp Literatur BearbeitenJohn Milnor Construction of universal bundles Teil I In Ann of Math 2 63 1956 S 272 284 pdf Teil II In Ann of Math 2 63 1956 S 430 436 pdf Dale Husemoller Fibre bundles McGraw Hill Book Co New York London Sydney 1966 OCLC 909937420 Tammo tom Dieck Topologie de Gruyter Lehrbuch Walter de Gruyter Berlin 1991 ISBN 3 11 012463 7 Weblinks BearbeitenClassifying space Encyclopedia of Mathematics BG literature guide to algebraic topology Mitchell Notes on principal bundles and classifying spaces Kapitel 7 11 May A concise course in algebraic topology Kapitel 23 Characteristic classes of vector bundles Stasheff Cohomology of groups and classifying spacesEinzelnachweise Bearbeiten Eine offene Uberdeckung U i i I displaystyle U i i in I nbsp eines topologischen Raumes heisst numerierbar wenn es eine lokal endliche Zerlegung der Eins 1 S i I u i displaystyle 1 Sigma i in I u i nbsp mit supp u i U i displaystyle operatorname supp u i subset U i nbsp gibt Ein Prinzipalbundel heisst numerierbar wenn es eine numerable Uberdeckung gibt so dass die Einschrankungen des Bundels auf die U i displaystyle U i nbsp trivialisierbar sind Vgl Husemoller op cit Section I 4 9 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Klassifizierender Raum amp oldid 239473351