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Tschirikow Taylor Standardabbildung Die Tschirikow Standardabbildung oder kurz Standardabbildung ist die zweidimensional

Tschirikow-Taylor-Standardabbildung

Die Tschirikow-Taylor-Standardabbildung, Tschirikow-Standardabbildung oder kurz Standardabbildung ist die zweidimensionale, flächenerhaltende, iterative Abbildung

Phasenraum der Standard-abbildung für unterschiedliche Werte von , wobei auf der X-Achse und auf der Y-Achse aufgetragen ist.

Sie ist ein einfaches hamiltonsches dynamisches System, das chaotisches Verhalten zeigt und daher ein wichtiges Modellsystem bei der Untersuchung von hamiltonschem Chaos. Die Standardabbildung ist unter anderem der Poincaré-Schnitt eines periodisch angestoßenen Rotators (englisch kicked rotator), wobei der Winkel des Rotators, der Impuls und ein Parameter zur Beschreibung der Stärke der periodischen Stöße ist. Die Abbildung ist nach den theoretischen Physikern Boris Walerianowitsch Tschirikow und John Bryan Taylor benannt.

Eigenschaften Bearbeiten

Der Wert entspricht einem Rotator ohne periodischem Antrieb, bei dem der Drehimpuls erhalten ist und sich der Winkel mit gleichbleibender Geschwindigkeit ändert. Der Phasenraum der Standardabbildung besteht dann aus horizontalen Linien. Für Werte besitzt die Standardabbildung einen elliptischen Fixpunkt bei (in der Mitte der Abbildung) und einen hyperbolischen bei (am Rand der Abbildung).

An der Separatrix, die durch den hyperbolischen Fixpunkt verlaufen würde und die kreisförmige Bewegung um den elliptischen Fixpunkt von der Bewegung entlang der horizontalen Linien trennt, bilden sich mit größer werdenden Werten von chaotische Trajektorien. Das sogenannte chaotische Meer ist jedoch durch stabile Inseln unterbrochen. Dies ist ein universelles Verhalten von flächenerhaltenden, chaotischen, glatten Abbildungen, weshalb sich viele chaotische Systeme auf die Standardabbildung reduzieren lassen.

Für jeden periodischen Orbit lässt sich eine Rotationszahl

definieren, wobei die Hochhebung der Standardabbildung zu einem Homöomorphismus auf und ein beliebiger Startpunkt ist. Für rationale Werte ist der Orbit periodisch mit Periode . Geschlossene Orbits, auch KAM-Orbits oder KAM-Tori genannt, verhindern, dass chaotische Trajektorien frei durch den ganzen Phasenraum diffundieren können. Es lässt sich zeigen, dass bei größer werdenden Werten von zuerst die KAM-Orbits zerstört werden, deren Rotationszahl sich am besten mittels Kettenbruchzerlegung durch rationale Zahlen approximieren lassen. Der KAM-Orbit, der als letztes zerstört wird, hat die Rotationszahl gleich dem goldenen Schnitt und wird daher auch goldener KAM-Torus genannt. Dieser Torus wird bei einem Wert zerstört.

  • Phasenraum der Standardabbildung; gezeigt sind 5000 Iterationen von 1000 zufälligen Punkten

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. R.S.MacKay, "A renormalization approach to invariant circles in area-preserving maps", Physica D 7(1-3): 283 (1983).
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Die Tschirikow Taylor Standardabbildung Tschirikow Standardabbildung oder kurz Standardabbildung ist die zweidimensionale flachenerhaltende iterative Abbildung source source source source source source Phasenraum der Standard abbildung fur unterschiedliche Werte von K displaystyle K wobei 8 displaystyle theta auf der X Achse und p displaystyle p auf der Y Achse aufgetragen ist p n 1 p n K sin 8 n 8 n 1 8 n p n 1 mod 2 p displaystyle begin aligned p n 1 amp p n K sin theta n theta n 1 amp theta n p n 1 mod 2 pi end aligned Sie ist ein einfaches hamiltonsches dynamisches System das chaotisches Verhalten zeigt und daher ein wichtiges Modellsystem bei der Untersuchung von hamiltonschem Chaos Die Standardabbildung ist unter anderem der Poincare Schnitt eines periodisch angestossenen Rotators englisch kicked rotator wobei 8 displaystyle theta der Winkel des Rotators p displaystyle p der Impuls und K displaystyle K ein Parameter zur Beschreibung der Starke der periodischen Stosse ist Die Abbildung ist nach den theoretischen Physikern Boris Walerianowitsch Tschirikow und John Bryan Taylor benannt Eigenschaften BearbeitenDer Wert K 0 displaystyle K 0 nbsp entspricht einem Rotator ohne periodischem Antrieb bei dem der Drehimpuls p displaystyle p nbsp erhalten ist und sich der Winkel 8 displaystyle theta nbsp mit gleichbleibender Geschwindigkeit andert Der Phasenraum der Standardabbildung besteht dann aus horizontalen Linien Fur Werte K gt 0 displaystyle K gt 0 nbsp besitzt die Standardabbildung einen elliptischen Fixpunkt bei p 8 0 p displaystyle p theta 0 pi nbsp in der Mitte der Abbildung und einen hyperbolischen bei p 8 0 0 0 2 p displaystyle p theta 0 0 equiv 0 2 pi nbsp am Rand der Abbildung An der Separatrix die durch den hyperbolischen Fixpunkt verlaufen wurde und die kreisformige Bewegung um den elliptischen Fixpunkt von der Bewegung entlang der horizontalen Linien trennt bilden sich mit grosser werdenden Werten von K displaystyle K nbsp chaotische Trajektorien Das sogenannte chaotische Meer ist jedoch durch stabile Inseln unterbrochen Dies ist ein universelles Verhalten von flachenerhaltenden chaotischen glatten Abbildungen weshalb sich viele chaotische Systeme auf die Standardabbildung reduzieren lassen Fur jeden periodischen Orbit lasst sich eine Rotationszahl w lim n F n x x n displaystyle omega lim n to infty frac F n x x n nbsp definieren wobei F R R displaystyle F colon mathbb R to mathbb R nbsp die Hochhebung der Standardabbildung zu einem Homoomorphismus auf R displaystyle mathbb R nbsp und x p 8 displaystyle x p theta nbsp ein beliebiger Startpunkt ist Fur rationale Werte w a b Q displaystyle omega tfrac a b in mathbb Q nbsp ist der Orbit periodisch mit Periode b displaystyle b nbsp Geschlossene Orbits auch KAM Orbits oder KAM Tori genannt verhindern dass chaotische Trajektorien frei durch den ganzen Phasenraum diffundieren konnen Es lasst sich zeigen dass bei grosser werdenden Werten von K displaystyle K nbsp zuerst die KAM Orbits zerstort werden deren Rotationszahl sich am besten mittels Kettenbruchzerlegung durch rationale Zahlen approximieren lassen Der KAM Orbit der als letztes zerstort wird hat die Rotationszahl gleich dem goldenen Schnitt w 5 1 2 displaystyle omega tfrac sqrt 5 1 2 nbsp und wird daher auch goldener KAM Torus genannt Dieser Torus wird bei einem Wert K 0 971 635 displaystyle K 0 971635 ldots nbsp zerstort 1 Phasenraum der Standardabbildung gezeigt sind 5000 Iterationen von 1000 zufalligen Punkten nbsp K 0 6 displaystyle K 0 6 nbsp nbsp K 0 9 displaystyle K 0 9 nbsp nbsp K 0 971 635 displaystyle K 0 971635 nbsp mit goldenem KAM Orbit schwarze Linie nbsp K 1 0 displaystyle K 1 0 nbsp nbsp K 1 1 displaystyle K 1 1 nbsp nbsp K 1 3 displaystyle K 1 3 nbsp nbsp K 2 0 displaystyle K 2 0 nbsp nbsp K 3 0 displaystyle K 3 0 nbsp Weblinks BearbeitenChirikov Standard Map bei Scholarpedia Standard Map bei Wolfram MathworldEinzelnachweise Bearbeiten R S MacKay A renormalization approach to invariant circles in area preserving maps Physica D 7 1 3 283 1983 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Tschirikow Taylor Standardabbildung amp oldid 215221531