Torricelli-Prinzip

Dieser Artikel erläutert die Bedeutung des Prinzips nach Torricelli in der Mechanik bzw. Statik starrer Körper. Davon unabhängig gibt es auch das Gesetz von Torricelli in der Fluidmechanik.

Das Torricelli-Prinzip ist eine grundlegende Aussage der Statik (Mechanik) von Massensystemen. Die Höhenlage des Massenmittelpunktes eines zusammengesetzten Systems von schweren Körpern befindet sich demnach immer in einem stationären Zustand, wenn Gleichgewicht zwischen den Körpern besteht.

Abb. 1:Torricellis Prinzip illustriert an der schiefen Ebene, mit Geometrie zur Momentenerhaltung (nach Torricellis Beweis von 1644)

Benannt wurde das Prinzip nach dem Naturforscher Evangelista Torricelli, der dessen logische Unabhängigkeit erstmals klar formulierte.

Das Prinzip von Torricelli ist eine unmittelbare Folgerung aus dem Prinzip der virtuellen Arbeit, angewendet auf Mehrkörpersysteme im Schwerepotential. Aus diesem Grund wird es in heutigen Lehrbüchern zur Mechanik kaum noch erwähnt. Für die Entwicklung der klassischen Mechanik hatte es hingegen entscheidenden Einfluss. So wurde es etwa in der dynamischen Erweiterung durch Huygens gleichbedeutend mit der Aussage des mechanischen Energieerhaltungssatzes für Mehrkörpersysteme gebraucht.

Ursprüngliche Motivation und Entwicklung

Die Formulierung am Fallbeispiel der schiefen Ebene

In seiner Mechanikschrift De motu gravium naturaliter descendentium, et proiectorum (Von der Bewegung schwerer Körper, die auf natürliche Weise herunterfallen oder geworfen werden) von 1644 greift Torricelli den Beweis seines Lehrers Galileo Galilei aus dem dritten Tag der berühmten Discorsi (1638) auf. Galilei beweist, exemplarisch für alle einfachen Maschinen, die Erhaltung der verrichteten Arbeit an der schiefen Ebene. Galileis Begründung verwendet dabei dynamische Voraussetzungen, die über die Statik des Systems hinausgehen.

Ein Hauptanliegen Torricellis war es, die notwendige Voraussetzung der bleibenden Schwerpunktshöhe deutlich hervorzuheben, um dann über virtuelle Verschiebungen den Beweisgang statisch umzuformulieren und von den kinetischen Annahmen zu trennen. In diesem Sinne schließt Torricellis Prinzip (nach Pierre Duhem) eine lange Tradition ab, die bis in die scholastische Statik zurückgeht.

Der Deduktionsweg zur Erhaltung der Arbeit lässt sich in heutiger Lehrbuchform betrachten (1), um danach das ursprüngliche Vorgehen von Galilei (2) und im Anschluss Torricellis Idee (3) der gleichbleibenden Schwerpunkthöhe zu veranschaulichen. Alle drei Beweise laufen auf dieselbe Gleichgewichtsbedingung hinaus, was anzeigt, dass die Überlegungen richtig sind.

Der Beweis aus dem Prinzip der virtuellen Arbeit (1)

Abb. 2: Geometrische Anordnung der virtuellen Arbeiten an der schiefen Ebene

Nach der analytischen Vorgehensweise, wie sie J. L. Lagrange geprägt hat, wird das Prinzip der virtuellen Arbeit auf zwei reibungsfrei aufgesetzte Körper A und B an der schiefen Ebene aus Abb. 2 angewendet, wobei die Massen verschieden sein können (). Die Körper werden um die gleiche Strecke in Ebenenrichtung virtuell verschoben, unter Aufwendung der eingeprägten Kräfte . Das Prinzip der virtuellen Arbeit besagt für diesen Fall

Die geometrische Zerlegung der Kräfte in tangentiale Komponenten der eingeprägten Gewichtskräfte () ergibt daraus

Gleichgewicht tritt also ein, wenn die Bedingung

Der dynamische Beweis nach Galilei (2)

Galilei ging von anderen begrifflichen Voraussetzungen aus, die aber zu demselben Ergebnis führen. Er behauptet zunächst, dass

Beide Körper würden dadurch beim Herunterrollen von der Dreieckspitze dieselbe Endgeschwindigkeit erhalten. Das heißt, für Galilei ist dieses Moment eine Erhaltungsgröße. Die Behauptung entspricht sinngemäß der mechanischen Energieerhaltung.

Um das zu beweisen, betrachtet Galilei direkt die Kraftwirkungen an den schiefen Ebenen (Abb. 3), wobei er ursprünglich nur auf den Spezialfall eingeht.

Abb. 3: Virtuelle Arbeit an der schiefen Ebene in der ursprünglichen Fassung nach Galilei

Er geht nun von folgenden Annahmen aus:

• Damit kann Galilei erklären, dass das bewegende Moment zum Heruntersinken nur von der vertikal einwirkenden Gewichtskraft abhängig ist. Entsprechend vergleicht er bei der Untersuchung der Gleichgewichtsbedingung nur die jeweils vertikalen Weganteile miteinander.
• Bei Erzeugen der jeweils virtuellen Bewegungen müssen A und B sich die vertikalen Kräfte umgekehrt verhalten wie die zurückgelegten Höhen:

Das entspricht im Übrigen derselben Erhaltung der verrichteten Arbeit an der schiefen Ebene, auch Goldene Regel der Mechanik genannt:

Übergang: Galileis Begründung des Trägheitsprinzips

Beachtlich ist, dass Galilei in der Beweisversion seiner Discorsi das Trägheitsprinzip nicht nur klar benennt, sondern auch eine Begründung dafür einbaut, die in direkter Verbindung zur scholastischen Tradition steht.

In horizontaler Richtung kann demnach kein Widerstand und daher keine Bewegungsänderung auftreten, weil der gemeinsame Schwerpunkt an allen Stellen denselben Höhenabstand zum allgemeinen Mittelpunkt aller schweren Körper hat, worunter man damals den Erdmittelpunkt verstand. Wenn sich also das Massensystem nicht auf natürlichem Wege dem Mittelpunkt annähern lässt, wie es auf horizontaler Ebene der Fall ist, dann gibt es auch kein bewegendes Moment des Körpers.

„Und tatsächlich, ebenso wie es unmöglich ist, dass sich ein schwerer Körper oder eine Gesamtheit von schweren Körpern von Natur aus in die Höhe bewegt und sich dabei vom allgemeinen Mittelpunkt [centro commune] entfernt, wohin alle schweren Dinge hinstreben, genauso ist es unmöglich, dass er sich spontan bewegt, wenn sich nicht gerade sein Schwerpunkt bei seiner Bewegung dem allgemeinen Mittelpunkt annähert. Somit wird auf der Horizontalen, die sich über eine Oberfläche erstreckt, die gleichermaßen weit vom besagten Mittelpunkt [der Schwere] entfernt ist und die auch ohne jede Neigung ist, der Impetus oder das Moment des Bewegten null sein.“

– G. Galilei.

Der statische Beweis nach Torricelli (3)

Torricelli greift die Konstruktion seines Lehrers Galilei genauso auf und beweist dieselbe Proposition, dass beide Körper A und B an der schiefen Ebene dasselbe Moment innehaben. Hierbei sondert er das für die Statik Wesentliche des Galileischen Beweises ab und begreift im gleichen Zuge das Moment statisch und den gesamten Beweisgang geometrisch, getrennt von den dynamischen Merkmalen (siehe Abb. 4 rechts u. Abb. 1oben). Als Voraussetzung formuliert Torricelli sein Prinzip im Original so:

„Voraussetzung: Zwei schwere, miteinander zugleich verbundene Körper lassen sich von selbst nicht bewegen, wenn nicht ihr gemeinsamer Schwerpunkt sinkt.“

– E. Torricelli

Abb. 4: Geometrische Anordnung zum Beweis von Proposition 1 nach Torricelli (1644)

Anschließend führt Torricelli eine virtuelle Verschiebung durch, um damit auf einen indirekten Beweis der Behauptung zu kommen.

Widerspruch zur Annahme:

Wenn also G‘ nicht sinkt, dann muss nach Torricellis Voraussetzung, seinem vorangehenden Prinzip, Gleichgewicht bestehen. Im Übrigen ergibt sich dieselbe Gleichgewichtsbeziehung , wenn wieder die ganzen Momente senkrecht zur Horizontalen betrachtet werden ().

Allgemeine Formulierung

Eine Menge von Massenelementen sind durch gewisse Zwangsbedingungen voneinander in ihren Bewegungen abhängig. Auf jedes einzelne dieses Massensystems wirke von außen nur die Gewichtskraft ein. Dadurch unterliegt das Massensystem dem Prinzip der virtuellen Arbeit in der Form

In Worten verrichtet das Massensystem im konservativen Schwerekraftfeld keine Arbeit und befindet sich im statischen Gleichgewicht. Da nach Voraussetzung ein Schwerepotential mit existiert, die aufgebrachte Arbeit wegunabhängig ist, wählt man den direkten Integrationsweg der Höhe . Es folgt

In diesem Fall entspricht der Variationsausdruck einem vollständigen Differential, so dass bei Ausdifferenzieren nur die Höhe einen Beitrag hervorbringt. Es folgt somit

und da den Körperschwerpunkt definiert, wenn die Gesamtmasse sei, so entspricht dies der Aussage

In Worte gefasst, verrichtet das Massensystem dann keine virtuelle Arbeit und befindet sich im statischen Gleichgewicht, wenn der Schwerpunkt einen stationären Zustand (d. i. eine minimale oder maximale Höhenlage) einnimmt.

Im Übrigen enthält diese Aussage auch die Zweikörper-Statik an der schiefen Ebene. Aus der Deduktion [II] oben ergibt sich direkt

was wiederum die stationäre Schwerpunkt-Aussage wiedergibt:

oder anders gesagt: .

Huygens‘ dynamische Erweiterung

Abb. 5: Illustration des Torricelli-Huygensschen Prinzips am zusammengesetzten Pendel

Von Christiaan Huygens stammt eine Erweiterung des Torricelli-Prinzips auf bewegte Körpersysteme. Er geht davon aus, dass für ein freies Massensystem der Schwerpunkt von selbst wieder auf dieselbe Höhe gelangen kann, aus der er heruntergefallen ist. In Huygens‘ eigenen Worten:

„Hypothese I. – Wenn eine Anzahl bestimmter Gewichte anfängt, sich vermöge ihrer eigenen Schwerkraft zu bewegen, so kann der gemeinsame Schwerpunkt nicht höher steigen als zu der Höhe, in welcher er zu Beginn seiner Bewegung vorgefunden wurde.“

– C. Huygens

Mit diesem Prinzip gelang es Huygens, entscheidende Theoreme zur Stoß- und Schwingungsmechanik zu beweisen. Huygens‘ allgemeine Lösung zum Schwingungsmittelpunkt basiert darauf (siehe Abb. 5). Der Erhaltungsgedanke der Schwerpunktsenergie wird hierin zum Ausdruck gebracht.

Einzelnachweise

1. Georg Hamel: Theoretische Mechanik. (Springer) Berlin, Heidelberg 1967, S. 77 (dort §4: Das Prinzip der virtuellen Arbeiten).
2. Georg Hamel: Elementare Mechanik. (Teubner) Leipzig, Berlin 1912, S. 473 Nr. 315 (Das Toricellische Prinzip), in §54: Das Prinzip der virtuellen Arbeiten. Textarchiv – Internet Archive (Zugriff: 20. November 2022).
3. René Dugas: A History of Mechanics. (Engl. Ausgabe des franz. Originals von 1955.) Dover, New York 1988. S. 145, §6 von Teil 2: The Formation of Classical Mechanics (Torricelli’s Principle).
4. Pierre Duhem, Les Origines de la Statique. Tome 2, Paris 1906: p. VII (Préface) u. Seite 147 (§11: La tradition d’Albert de Saxe et Galilée. En quoi Galilée a contribué à l’invention du Principe de Torricelli). Online:Textarchiv – Internet Archive.
5. J. L. Lagrange: Mécanique Analytique. Nouvelle Édition. Paris ²1815. Tome Premier, Première Partie, § 16, Seite 21: Sur les différents principes de la Statique. Textarchiv – Internet Archive (Zugriff 20. November 2022), und das vor der Newtonschen Formulierung der klassischen Mechanik.
   Zur dynamischen Erweiterung nach Huygens siehe ebd., Tome Premie, Seconde Partie, Seite 218 (Sur les différents principes de la Dynamique).
6. Galileo Galilei: Unterredungen und mathematische Demonstrationen über zwei neue Wissenszweige, die Mechanik und die Fallgesetze betreffend. Deutsche Übersetzung des ital. Originals (Discorsi e dimostrazioni matematiche, Leiden 1638), hrsg. v. A. v Oettingen, Leipzig 1891. Ostwalds Klassiker der exakten Wissenschaften, Band Nr. 24, Seite 27 – 30. Google-Books (Zugriff: 22. November 2022).
7. Evangelista Torricelli, De motu gravium naturaliter descendentium, et proiectorum. Erstveröffentlichung in E. Torricelli, Opera Geometrica (1644). Neu erschienen in G. Loria, G. Vassura (Hrsg.): Opere di Evangelista Torricelli, Vol. 2. Faenza 1919. (Die hier relevanten Seiten der Prämisse und Proposition 1 sind die Seiten 104 bis 106.)
8. Ernst Mach, Die Mechanik in ihrer Entwicklung. Historisch –kritisch dargestellt. Dritte Auflage, Leipzig (Brockhaus) 1897. Kap. 1, §4 (Das Prinzip der virtuellen Verschiebungen), Seite 50. Textarchiv – Internet Archive (Zugriff: 22. November 2022).
9. G. F. Leneaux, V.N. Vagliente, G.H. Wagener (Hrsg.) Translator’s Introduction to Pierre Duhem‘s The Origins of Statics. Seiten xix - xxxv, insbes. hier Seite xxxii f. (Kluwer) Dordrecht, Boston, London 1991.
10. Galileo Galilei, Unterredungen und mathematische Demonstrationen über zwei neue Wissenszweige, die Mechanik und die Fallgesetze betreffend. Nach der deutschen Übersetzung des ital. Originals (Discorsi e dimostrazioni matematiche, Leiden 1638), hrsg. v. A. v Oettingen, Leipzig 1891. Ostwalds Klassiker der exakten Wissenschaften, Band Nr. 24, Seite 28 des Scholium zu Proposition II. (siehe Link im vorhergehenden Einzelnachweis zu Galilei), z.T. noch verglichen mit der französ. Übersetzung aus E. Jouguet, Lectures de Mécanique., Paris 1908, p. 103 (Hervorhebungen ergänzt).
11. Danilo Capecchi, History of Virtual Work Laws. A History of Mechanical Prospective. Mailand, Heidelberg, New York 2012. Kap. 6 (Torricelli’s Principle), S. 135 ff.
12. De Motu Gravium Naturaliter Descendentium et proiectorum (1644), S. 105 des Einzelnachweises zu E. Torricelli. Der lateinische Originaltext lautet: „Duo gravia simul coniuncta ex se moveri non posse, nisi centrum commune gravitatis ipsorum descendat“.
13. Christiaan Huygens: Holorogium Oscillatorium (1673), Pars Quarta (De Centro Oscillationis). In Oeuvres Complètes t. XVIII, S. 247. Der lateinische Text im Original lautet: „Si pondera quotlibet, vi gravitatis suae, moveri incipiant; non posse centrum gravitatis ex ipsis compositae altius, quam ubi incipiente motu reperiebatur, ascendere.“
14. E.J. Dijksterhuis, Die Mechanisierung des Weltbildes. Berlin, Heidelberg, New York 1983 (Nachdruck der Erstausgabe von 1956). Kapitel IV:141b (Die dynamische Erweiterung des Axioms von Torricelli), Seite 141 f.

Anmerkungen

1. Ernst Mach bemerkt aber, dass bei aller Klärung durch Torricelli gegenüber Galileis Behandlung dem physikalischen Inhalt nichts hinzugefügt wurde. (Siehe die Textstelle des Einzelnachweises E. Mach).
2. Man beachte, dass das Minuszeichen im zweiten Term aus der relativen Richtungsumkehr resultiert. D.h. der zweite Term lautet .
3. Dieser Ausdruck ist bei Galilei neuartig und stellt, wie schon Lagrange (siehe den Einzelnachweis zu Lagrange) bemerkte, eine konzeptuelle Erweiterung gegenüber der Tradition dar. Diese 'Moment' (ital. momento del discendere) entspricht der heutigen Größe der Arbeit W. Sie wird von ihm an einigen Stellen auch 'Impetus' (impeto) und 'Energie' (energia) genannt.
4. Heute würde man sagen, der gemeinsame Schwerpunkt bewege sich auf einer Äquipotentialfläche. Daher ändert sich das Potential bezogen auf den allgemeinen Schwerpunkt nicht.
5. Dabei bringt der Fall die einseitige Bindung des Systems zum Ausdruck: Gegen die Richtung der Schwerkraft kann das System durch (virtuelle) Arbeit bzw. durch äußere Einwirkung angehoben werden.
6. In älterer Literatur wurde dieses Prinzip der Mechanik auch Huygenssches Prinzip genannt, ist aber nicht zu verwechseln mit dem gleichnamigen Prinzip aus der Wellenoptik.