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Solenoid Mathematik In der Mathematik sind Solenoide gewisse Kontinua die unter anderem als Attraktoren in der Theorie d

Solenoid (Mathematik)

In der Mathematik sind Solenoide gewisse Kontinua, die unter anderem als Attraktoren in der Theorie der dynamischen Systeme vorkommen.

Ein Smale-Williams-Solenoid

Definition Bearbeiten

Ein Solenoid ist eine topologische Gruppe, die der projektive Limes einer Folge stetiger Homomorphismen

ist, wobei alle topologische Gruppen homöomorph zur Kreisgruppe sind.

Wenn man die Kreisgruppe als realisiert, dann sind also alle von der Form

für ein . Anschaulich gesprochen wickelt den Kreis -mal um sich selbst, je nach Vorzeichen von in positiver oder negativer Richtung.

Eigenschaften Bearbeiten

Solenoide sind kompakt, zusammenhängend und eindimensional. Sie sind unzerlegbare Kontinua und nicht lokal zusammenhängend oder lokal wegzusammenhängend. Sie lassen sich in den dreidimensionalen euklidischen Raum einbetten und sind damit metrisierbar.

Beispiele Bearbeiten

Erster Schritt in der Konstruktion eines Smale-Williams-Solenoids: ein Volltorus wird innerhalb des Volltorus zweimal herumgewickelt.
Die ersten sechs Schritte in der Konstruktion eines Smale-Williams-Solenoids.
  • Die folgenden topologischen Gruppen sind alle isomorph zueinander und sind ein Solenoid:
  1. der projektive Limes , wobei durch die Teilbarkeitsrelation teilgeordnet ist und für die Abbildung von der -ten auf die -te Kopie von durch gegeben ist;
  2. der projektive Limes , wobei durch die Teilbarkeitsrelation teilgeordnet ist und für die Abbildung von auf von der Identitätsabbildung induziert wird;
  3. das Pontrjagin-Dual , d. h. die Menge der Gruppenhomomorphismen mit der kompakt-offenen Topologie, wobei die diskrete Topologie trägt;
  4. die Adeleklassengruppe , wobei der Adelring und diagonal eingebettet ist.
  • Das Smale-Willians-Solenoid zu einer Folge natürlicher Zahlen wird wie folgt konstruiert: starte mit einem Volltorus , dann wird ein Volltorus innerhalb von -mal herumgewickelt (das Bild rechts zeigt den Fall ), anschließend wird ein Volltorus innerhalb von -mal herumgewickelt, und so fort. Dabei sollen die Durchmesser des Querschnitts der Volltori gegen Null konvergieren. Die Schnittmenge ist dann homöomorph zum durch die Folge definierten Solenoid.

Literatur Bearbeiten

  • Leopold Vietoris: Über den höheren Zusammenhang kompakter Räume und eine Klasse von zusammenhangstreuen Abbildungen. Math. Ann. 97 (1927), 454–472.
  • David van Dantzig: Über topologisch homogene Kontinua. Fund. Math. 15 (1930), 102–125.

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Robert Kucharczyk, Peter Scholze: Topological realisations of absolute Galois groups online
  2. Robert F. Williams: Expanding attractors. Publ. Math. IHES 43 (1974), 169–203
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Veröffentlichungsdatum:
In der Mathematik sind Solenoide gewisse Kontinua die unter anderem als Attraktoren in der Theorie der dynamischen Systeme vorkommen Ein Smale Williams Solenoid Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Eigenschaften 3 Beispiele 4 Literatur 5 Weblinks 6 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenEin Solenoid ist eine topologische Gruppe die der projektive Limes einer Folge stetiger Homomorphismen f i j S i S j displaystyle f ij colon S i to S j nbsp ist wobei alle S i displaystyle S i nbsp topologische Gruppen homoomorph zur Kreisgruppe sind Wenn man die Kreisgruppe als z C z 1 displaystyle left z in mathbb C colon z 1 right nbsp realisiert dann sind also alle f i j displaystyle f ij nbsp von der Form f i j z z n i j displaystyle f ij z z n ij nbsp fur ein n i j Z displaystyle n ij in mathbb Z nbsp Anschaulich gesprochen wickelt f i j displaystyle f ij nbsp den Kreis n i j displaystyle mid n ij mid nbsp mal um sich selbst je nach Vorzeichen von n i j displaystyle n ij nbsp in positiver oder negativer Richtung Eigenschaften BearbeitenSolenoide sind kompakt zusammenhangend und eindimensional Sie sind unzerlegbare Kontinua und nicht lokal zusammenhangend oder lokal wegzusammenhangend Sie lassen sich in den dreidimensionalen euklidischen Raum einbetten und sind damit metrisierbar Beispiele Bearbeiten nbsp Erster Schritt in der Konstruktion eines Smale Williams Solenoids ein Volltorus T 2 displaystyle T 2 nbsp wird innerhalb des Volltorus T 1 displaystyle T 1 nbsp zweimal herumgewickelt nbsp Die ersten sechs Schritte in der Konstruktion eines Smale Williams Solenoids Die folgenden topologischen Gruppen sind alle isomorph zueinander und sind ein Solenoid 1 der projektive Limes lim n N S 1 displaystyle varprojlim n in mathbb N S 1 nbsp wobei N displaystyle mathbb N nbsp durch die Teilbarkeitsrelation teilgeordnet ist und fur m n displaystyle m mid n nbsp die Abbildung von der m displaystyle m nbsp ten auf die n displaystyle n nbsp te Kopie von S 1 displaystyle S 1 nbsp durch z z n m displaystyle z to z frac n m nbsp gegeben ist der projektive Limes lim n N R 1 n Z displaystyle varprojlim n in mathbb N mathbb R frac 1 n mathbb Z nbsp wobei N displaystyle mathbb N nbsp durch die Teilbarkeitsrelation teilgeordnet ist und fur m n displaystyle m mid n nbsp die Abbildung von R 1 n Z displaystyle mathbb R frac 1 n mathbb Z nbsp auf R 1 m Z displaystyle mathbb R frac 1 m mathbb Z nbsp von der Identitatsabbildung induziert wird das Pontrjagin Dual Q displaystyle mathbb Q vee nbsp d h die Menge der Gruppenhomomorphismen Q S 1 displaystyle mathbb Q to S 1 nbsp mit der kompakt offenen Topologie wobei Q displaystyle mathbb Q nbsp die diskrete Topologie tragt die Adeleklassengruppe A Q displaystyle mathbb A mathbb Q nbsp wobei A displaystyle mathbb A nbsp der Adelring und Q A displaystyle mathbb Q subset mathbb A nbsp diagonal eingebettet ist Das Smale Willians Solenoid zu einer Folge naturlicher Zahlen n i displaystyle n i nbsp wird wie folgt konstruiert starte mit einem Volltorus T 1 displaystyle T 1 nbsp dann wird ein Volltorus T 2 displaystyle T 2 nbsp innerhalb von T 1 displaystyle T 1 nbsp n 1 displaystyle n 1 nbsp mal herumgewickelt das Bild rechts zeigt den Fall n 1 2 displaystyle n 1 2 nbsp anschliessend wird ein Volltorus T 3 displaystyle T 3 nbsp innerhalb von T 2 displaystyle T 2 nbsp n 2 displaystyle n 2 nbsp mal herumgewickelt und so fort Dabei sollen die Durchmesser des Querschnitts der Volltori gegen Null konvergieren Die Schnittmenge L T i displaystyle Lambda bigcap T i nbsp ist dann homoomorph zum durch die Folge f i i 1 z z n i displaystyle f i i 1 z z n i nbsp definierten Solenoid 2 Literatur BearbeitenLeopold Vietoris Uber den hoheren Zusammenhang kompakter Raume und eine Klasse von zusammenhangstreuen Abbildungen Math Ann 97 1927 454 472 David van Dantzig Uber topologisch homogene Kontinua Fund Math 15 1930 102 125 Weblinks BearbeitenSolenoid Encyclopedia of Mathematics Einzelnachweise Bearbeiten Robert Kucharczyk Peter Scholze Topological realisations of absolute Galois groups online Robert F Williams Expanding attractors Publ Math IHES 43 1974 169 203 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Solenoid Mathematik amp oldid 239269216