Ein singuläres Maß ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Maßtheorie. Es spielt eine große Rolle bei der Klassifizierung von Maßen bezüglich eines anderen Maßes und findet besondere Anwendung beim Zerlegungssatz von Lebesgue sowie beim Darstellungssatz in der Stochastik.
Definition Bearbeiten
Ein (signiertes oder gewöhnliches) Maß heißt singulär bezüglich eines anderen (signierten oder gewöhnlichen) Maßes (auch singulär zu oder -singulär), wenn es eine Menge gibt mit
Hierbei sind die Maße und auf dem gleichen Messraum definiert. Für „ ist singulär bezüglich “ schreibt man kurz .
Beispiele Bearbeiten
- Das Null-Maß ist bezüglich jedes anderen Maßes auf einem beliebigen Messraum singulär.
- Jedes Dirac-Maß auf ist bezüglich des Lebesgue-Maßes singulär.
- Jede diskrete Verteilung auf ist bezüglich des Lebesgue-Maßes singulär.
- Die Cantor-Verteilung auf dem Messraum ist eine stetige, singuläre Verteilung bezüglich des Lebesgue-Maßes.
- Für die Hahn-Jordan-Zerlegung eines signierten Maßes gilt .
Eigenschaften Bearbeiten
- Die Singularität von Maßen ist eine symmetrische Relation. Es gilt also
- Für Wahrscheinlichkeitsmaße mit Dichten gilt, dass sie genau dann singulär zueinander sind, wenn ihr Hellingerabstand gleich eins ist.
Wichtige Aussagen Bearbeiten
Der Zerlegungssatz von Lebesgue liefert für ein signiertes Maß und ein Maß eine Zerlegung von in einen Anteil, der singulär bezüglich ist und in einen Anteil, der absolut stetig bezüglich ist.
Literatur Bearbeiten
- Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 6., korrigierte Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-89727-9, doi:10.1007/978-3-540-89728-6.
- Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.