Segre Einbettung Die ist eine Abbildung die in der algebraischen Geometrie verwendet werden kann um dem kartesischen Pro

Segre-Einbettung

Die Segre-Einbettung ist eine Abbildung, die in der algebraischen Geometrie verwendet werden kann, um dem kartesischen Produkt zweier projektiver Varietäten die Struktur einer projektiven Varietät zu geben. Die Segre-Einbettung ist nach Corrado Segre benannt.

Definition Bearbeiten

Definition in homogenen Koordinaten Bearbeiten

Sei ein algebraisch abgeschlossener Körper, der - und der -dimensionale projektive Raum über mit homogenen Koordinaten und .

Die Segre-Einbettung von und ist definiert als

wobei die nach der lexikographischen Ordnung angeordnet sind.

Das Bild wird als Segre-Varietät bezeichnet.

Koordinatenfreie Definition Bearbeiten

Es ist auch möglich, die Segre-Einbettung koordinatenfrei zu definieren. Für endlichdimensionale -Vektorräume und und die zugehörigen projektiven Räume und definiert man die Segre-Einbettung mit Hilfe des Tensorprodukts als

Eigenschaften Bearbeiten

Die Segre-Einbettung ist eine wohldefinierte injektive Abbildung, deren Bild eine abgeschlossene, irreduzible Teilmenge ist.

Somit ist die Segre-Varietät tatsächlich eine projektive Varietät. Das dazugehörige homogene Ideal lässt sich explizit angeben. Bezeichnen wir die homogenen Koordinaten auf mit , so erhalten wir

Die Segre-Varietät kann also auch als Nullstellenmenge der Minoren der Matrix aufgefasst werden und ist damit eine spezielle Determinantenvarietät.

Produkte in der Kategorie der (quasi-)projektiven Varietäten Bearbeiten

Sind , (lokal-)abgeschlossene Teilmengen, so ist auch (lokal-)abgeschlossen.

Da bijektiv ist, kann damit auf die Struktur einer (quasi-)projektiven Varietät definiert werden, indem man die Struktur mit Hilfe der Bijektion überträgt.

Die dadurch definierte (quasi-)projektive Varietät ist ein Produkt im Sinne der Kategorientheorie.

Hat man alternativ dazu die Produkte auf einem anderen Weg definiert, so kann man zeigen, dass die Segre-Einbettung eine abgeschlossene Einbettung ist, was sie im obigen Weg per Definition ist.

Beispiele Bearbeiten

Quadrik Bearbeiten

Im einfachsten Fall erhalten wir für eine Einbettung des Produktes der projektiven Geraden nach . Die Segre-Varietät ist dann eine Quadrik. Bezeichnet man die homogenen Koordinaten mit , so erhält man die Quadrik als Nullstellenmenge der Determinante

Einzelnachweise Bearbeiten

Harris: Algebraic Geometry. 1992, Example 2.11.
Fiesler, Kaup: Algebraische Geometrie. 2005, S. 49.
Harris: Algebraic Geometry. 1992, Example 2.21.
Hartshorne: Algebraic Geometry. 1977, Exercise 3.16.
Fiesler, Kaup: Algebraische Geometrie. 2005, Aufgabe 4.7.
Harris: Algebraic Geometry. 1992, Example 2.11.

Literatur Bearbeiten

Joe Harris: Algebraic Geometry. A First Course. Springer, New Your 1992, ISBN 3-540-97716-3.
Karl-Heinz Fiesler, Ludger Kaup: Algebraische Geometrie. Heldermann Verlag, Lemgo 2005, ISBN 3-88538-113-3.
Robin Hartshorne: Algebraic Geometry. Springer, New York 1977, ISBN 978-1-4419-2807-8, Exercises 2.10., 3.16.

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Veröffentlichungsdatum: Dezember 03, 2023, 04:09 am

Die Segre Einbettung ist eine Abbildung die in der algebraischen Geometrie verwendet werden kann um dem kartesischen Produkt zweier projektiver Varietaten die Struktur einer projektiven Varietat zu geben Die Segre Einbettung ist nach Corrado Segre benannt Inhaltsverzeichnis 1 Definition 1 1 Definition in homogenen Koordinaten 1 2 Koordinatenfreie Definition 2 Eigenschaften 3 Produkte in der Kategorie der quasi projektiven Varietaten 4 Beispiele 4 1 Quadrik 5 Einzelnachweise 6 LiteraturDefinition BearbeitenDefinition in homogenen Koordinaten Bearbeiten Sei K displaystyle K nbsp ein algebraisch abgeschlossener Korper P n displaystyle mathbb P n nbsp der n displaystyle n nbsp und P m displaystyle mathbb P m nbsp der m displaystyle m nbsp dimensionale projektive Raum uber K displaystyle K nbsp mit homogenen Koordinaten X 0 X n displaystyle X 0 dotsc X n nbsp und Y 0 Y m displaystyle Y 0 dotsc Y m nbsp Die Segre Einbettung s n m displaystyle sigma n m nbsp von P n displaystyle mathbb P n 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Minoren der Matrix Z i j i j displaystyle Z ij ij nbsp aufgefasst werden und ist damit eine spezielle Determinantenvarietat Produkte in der Kategorie der quasi projektiven Varietaten BearbeitenSind X P n displaystyle X subseteq mathbb P n nbsp Y P m displaystyle Y subseteq mathbb P m nbsp lokal abgeschlossene Teilmengen so ist auch s n m X Y P n 1 m 1 1 displaystyle sigma n m X times Y subseteq mathbb P n 1 m 1 1 nbsp lokal abgeschlossen Da s n m X Y s n m X Y displaystyle sigma n m colon X times Y to sigma n m X times Y nbsp bijektiv ist kann damit auf X Y displaystyle X times Y nbsp die Struktur einer quasi projektiven Varietat definiert werden indem man die Struktur mit Hilfe der Bijektion s n m displaystyle sigma n m nbsp ubertragt Die dadurch definierte quasi projektive Varietat X Y displaystyle X times Y nbsp ist ein Produkt im Sinne der Kategorientheorie 3 4 Hat man alternativ dazu die Produkte auf einem anderen Weg definiert so kann man zeigen dass die Segre Einbettung eine abgeschlossene Einbettung ist was sie im obigen Weg per Definition ist 5 Beispiele BearbeitenQuadrik Bearbeiten Im einfachsten Fall erhalten wir fur n m 1 displaystyle n m 1 nbsp eine Einbettung des Produktes der projektiven Geraden nach P 3 displaystyle mathbb P 3 nbsp Die Segre Varietat S 1 1 displaystyle Sigma 1 1 nbsp ist dann eine Quadrik Bezeichnet man die homogenen Koordinaten P 3 displaystyle mathbb P 3 nbsp mit Z 0 Z 3 displaystyle Z 0 dotsc Z 3 nbsp so erhalt man die Quadrik als Nullstellenmenge der Determinante det Z 0 Z 1 Z 2 Z 3 Z 0 Z 3 Z 1 Z 2 displaystyle det left begin matrix Z 0 amp Z 1 Z 2 amp Z 3 end matrix right Z 0 Z 3 Z 1 Z 2 nbsp 6 Einzelnachweise Bearbeiten Harris Algebraic Geometry 1992 Example 2 11 Fiesler Kaup Algebraische Geometrie 2005 S 49 Harris Algebraic Geometry 1992 Example 2 21 Hartshorne Algebraic Geometry 1977 Exercise 3 16 Fiesler Kaup Algebraische Geometrie 2005 Aufgabe 4 7 Harris Algebraic Geometry 1992 Example 2 11 Literatur BearbeitenJoe Harris Algebraic Geometry A First Course Springer New Your 1992 ISBN 3 540 97716 3 Karl Heinz Fiesler Ludger Kaup Algebraische Geometrie Heldermann Verlag Lemgo 2005 ISBN 3 88538 113 3 Robin Hartshorne Algebraic Geometry Springer New York 1977 ISBN 978 1 4419 2807 8 Exercises 2 10 3 16 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Segre Einbettung amp oldid 223732020