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Schwacher Hausdorffraum Im mathematischen Teilgebiet der Topologie ist ein schwacher Hausdorffraum ein topologischer Rau

Schwacher Hausdorffraum

Im mathematischen Teilgebiet der Topologie ist ein schwacher Hausdorffraum ein topologischer Raum mit einer gewissen Eigenschaft, die eine Abschwächung der Trennungseigenschaft des Hausdorffraums ist.

Definition Bearbeiten

Eine topologischer Raum heißt schwacher Hausdorffraum, wenn für jeden kompakten Hausdorffraum und jede stetige Abbildung die Bildmenge eine abgeschlossene Menge in ist.

Bemerkungen Bearbeiten

  • Jeder Hausdorffraum ist auch ein schwacher Hausdorffraum, denn Bilder kompakter Mengen sind kompakt und kompakte Mengen in Hausdorffräumen sind abgeschlossen, das heißt Hausdorffräume erfüllen die definierende Bedingung eines schwachen Hausdorffraums.
  • Schwache Hausdorffräume sind T1-Räume, denn jede einelementige Menge ist selbst ein kompakter Hausdorffraum, der stetig in den umgebenden Raum eingebettet ist, und muss daher abgeschlossen sein. Die schwache Hausdorffeigenschaft liegt also zwischen den Trennungsaxiomen T1 und T2.
  • Ist ein schwacher Hausdorffraum und ist eine stetige Abbildung eines kompakten Hausdorffraums nach , so ist nicht nur kompakt, sondern ebenfalls hausdorffsch in der Relativtopologie. Sind nämlich zwei verschiedene Punkte, so sind und zwei disjunkte, abgeschlossene Mengen im normalen Raum , die sich daher durch disjunkte, offene Mengen trennen lassen. Dann sind und disjunkte, relativ offene Mengen in , die und trennen.
  • Produkte und Koprodukte von Familien schwacher Hausdorffräume sind wieder schwache Hausdorffräume.

Beispiele Bearbeiten

  • Es sei eine überabzählbare Menge mit der koabzählbaren Topologie. Dann ist ein schwacher Hausdorffraum, denn eine kompakte Teilmenge ist endlich und daher abgeschlossen. Der Raum ist nicht hausdorffsch, je zwei nicht-leere offene Mengen haben einen nicht-leeren Durchschnitt.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Birgit Richter: From Categories to Homotopy Theory. Cambridge University Press, 2020, ISBN 978-1-108-47962-2, Definition 8.5.9.
  2. Stefan Schwede: Global Homotopy Theory. Cambridge University Press, 2018, ISBN 978-1-108-42581-0, Appendix A, Seite 694.

Weblinks Bearbeiten

  • weakly Hausdorff topological space in nLab
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Veröffentlichungsdatum:
Im mathematischen Teilgebiet der Topologie ist ein schwacher Hausdorffraum ein topologischer Raum mit einer gewissen Eigenschaft die eine Abschwachung der Trennungseigenschaft des Hausdorffraums ist Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Bemerkungen 3 Beispiele 4 Einzelnachweise 5 WeblinksDefinition BearbeitenEine topologischer Raum X displaystyle X nbsp heisst schwacher Hausdorffraum wenn fur jeden kompakten Hausdorffraum K displaystyle K nbsp und jede stetige Abbildung f K X displaystyle f K rightarrow X nbsp die Bildmenge f K X displaystyle f K subset X nbsp eine abgeschlossene Menge in X displaystyle X nbsp ist 1 Bemerkungen BearbeitenJeder Hausdorffraum ist auch ein schwacher Hausdorffraum denn Bilder kompakter Mengen sind kompakt und kompakte Mengen in Hausdorffraumen sind abgeschlossen das heisst Hausdorffraume erfullen die definierende Bedingung eines schwachen Hausdorffraums Schwache Hausdorffraume sind T1 Raume denn jede einelementige Menge ist selbst ein kompakter Hausdorffraum der stetig in den umgebenden Raum eingebettet ist und muss daher abgeschlossen sein Die schwache Hausdorffeigenschaft liegt also zwischen den Trennungsaxiomen T1 und T2 Ist X displaystyle X nbsp ein schwacher Hausdorffraum und ist f K X displaystyle f K rightarrow X nbsp eine stetige Abbildung eines kompakten Hausdorffraums K displaystyle K nbsp nach X displaystyle X nbsp so ist f K X displaystyle f K subset X nbsp nicht nur kompakt sondern ebenfalls hausdorffsch in der Relativtopologie Sind namlich x y f K displaystyle x y in f K nbsp zwei verschiedene Punkte so sind f 1 x displaystyle f 1 x nbsp und f 1 y displaystyle f 1 y nbsp zwei disjunkte abgeschlossene Mengen im normalen Raum K displaystyle K nbsp die sich daher durch disjunkte offene Mengen U x U y X displaystyle U x U y subset X nbsp trennen lassen Dann sind f K f K U x displaystyle f K setminus f K setminus U x nbsp und f K f K U y displaystyle f K setminus f K setminus U y nbsp disjunkte relativ offene Mengen in f K displaystyle f K nbsp die x displaystyle x nbsp und y displaystyle y nbsp trennen Produkte und Koprodukte von Familien schwacher Hausdorffraume sind wieder schwache Hausdorffraume 2 Beispiele BearbeitenDie Einpunktkompaktifizierung von Q displaystyle mathbb Q nbsp ist ein schwacher Hausdorffraum der kein Hausdorffraum ist Es sei X displaystyle X nbsp eine uberabzahlbare Menge mit der koabzahlbaren Topologie Dann ist X displaystyle X nbsp ein schwacher Hausdorffraum denn eine kompakte Teilmenge ist endlich und daher abgeschlossen Der Raum X displaystyle X nbsp ist nicht hausdorffsch je zwei nicht leere offene Mengen haben einen nicht leeren Durchschnitt Die Menge X R displaystyle X mathbb R nbsp mit der kofiniten Topologie ist ein T1 Raum der nicht schwach hausdorffsch ist denn das Einheitsintervall mit der ublichen euklidischen Topologie ist ein kompakter Hausdorffraum die Inklusion i 0 1 X displaystyle i 0 1 rightarrow X nbsp ist stetig aber das Bild 0 1 X displaystyle 0 1 subset X nbsp ist nicht abgeschlossen Einzelnachweise Bearbeiten Birgit Richter From Categories to Homotopy Theory Cambridge University Press 2020 ISBN 978 1 108 47962 2 Definition 8 5 9 Stefan Schwede Global Homotopy Theory Cambridge University Press 2018 ISBN 978 1 108 42581 0 Appendix A Seite 694 Weblinks Bearbeitenweakly Hausdorff topological space in nLab Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Schwacher Hausdorffraum amp oldid 220296921