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Wendelfläche Die oder Helikoide ist eine Fläche aus dem mathematischen Teilgebiet der Differentialgeometrie Sie ist nebe

Wendelfläche

Die Wendelfläche oder Helikoide ist eine Fläche aus dem mathematischen Teilgebiet der Differentialgeometrie. Sie ist neben der Ebene die einzige einfach zusammenhängende Minimalfläche im 3-dimensionalen euklidischen Raum.

Ausschnitt einer Wendelfläche für

Parametrisierung Bearbeiten

Ein Ausschnitt der Wendelfläche zum Parameter . Der Ausschnitt zeigt den Teil für und .

Für eine fest gewählte Konstante parametrisiert man die Wendelfläche durch

wobei und alle reellen Werte annehmen, also von bis laufen.

Minimalfläche Bearbeiten

Die Hauptkrümmungen der Wendelfläche in dem den Parametern entsprechenden Punkt sind und , die mittlere Krümmung ist also in jedem Punkt null, die Wendelfläche ist eine Minimalfläche.

Topologisch ist sie homöomorph zur Ebene.

Lokal ist sie isometrisch zum Katenoid, sie ist aber nicht zu diesem homöomorph.

Sie ist eine Regelfläche und eine Schraubfläche. Sie lässt sich auch als Schiebfläche darstellen.

Praktische und wissenschaftliche Bedeutung – Chiralität Bearbeiten

In der Natur, in der Architektur und in der Chemie gibt es zahlreiche Anwendungsbereiche für Wendelflächen. Dabei spielt die Drehrichtung (Chiralität) auch eine Rolle.

Geschichte Bearbeiten

Die Helikoide wurde im 18. Jahrhundert von Euler und Meusnier beschrieben. Catalan bewies 1842, dass sie neben der Ebene die einzige minimale Regelfläche ist. Meeks und Rosenberg bewiesen 2005 (aufbauend auf Ungleichungen von Colding-Minicozzi), dass es nur 2 Arten von einfach zusammenhängenden Minimalflächen im gibt: die Ebene und die Helikoide. Für von null verschiedenes topologisches Geschlecht fanden sich durch David Allen Hoffman und Kollegen in den 1990er Jahren aber weitere Beispiele, die aus der Helicoide hervorgingen. Den Beweis, dass sie für Genus 1 eine vollständige einbettbare Minimalfläche bilden, erbrachten Hoffman, Michael Wolf und Matthias Weber 2009 (davor war dies außer für den Fall des Geschlechts 0 nur für den Fall unendlichen Geschlechts bewiesen).

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. William H. Meeks, Harold Rosenberg (2005). The uniqueness of the helicoid. Annals of Mathematics (2), 161 (2), 727–758, doi:10.4007/annals.2005.161.727.
  2. Tobias H. Colding, William P. Minicozzi (2004). The space of embedded minimal surfaces of fixed genus in a 3-manifold. IV. Locally simply connected. Annals of Mathematics (2), 160 (2), 573–615, doi:10.4007/annals.2004.160.573.
  3. David Allen Hoffman, Matthias Weber, Michael Wolf: An embedded genus-one helicoid, Annals of Mathematics, Band 169, 2009, S. 347–448 (und Proc. Nat. Acad. USA, Band 102, 2005, S. 16566–16568).

Weblinks Bearbeiten

Commons: Helicoids – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
  • Helicoid: Sammlung von Bildern und Animationen (Matthias Weber, Indiana University)
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Veröffentlichungsdatum:
Die Wendelflache oder Helikoide ist eine Flache aus dem mathematischen Teilgebiet der Differentialgeometrie Sie ist neben der Ebene die einzige einfach zusammenhangende Minimalflache im 3 dimensionalen euklidischen Raum Ausschnitt einer Wendelflache fur 0 r r 0 0 ϕ ϕ 0 displaystyle 0 leq r leq r 0 0 leq phi leq phi 0 Inhaltsverzeichnis 1 Parametrisierung 2 Minimalflache 3 Praktische und wissenschaftliche Bedeutung Chiralitat 4 Geschichte 5 Einzelnachweise 6 WeblinksParametrisierung Bearbeiten nbsp Ein Ausschnitt der Wendelflache zum Parameter c 1 displaystyle c 1 nbsp Der Ausschnitt zeigt den Teil fur 1 r 1 displaystyle 1 leq r leq 1 nbsp und p ϕ p displaystyle pi leq phi leq pi nbsp Fur eine fest gewahlte Konstante c gt 0 displaystyle c gt 0 nbsp parametrisiert man die Wendelflache durch x r cos ϕ displaystyle x r cos phi nbsp y r sin ϕ displaystyle y r sin phi nbsp z c ϕ displaystyle z c phi nbsp wobei r displaystyle r nbsp und ϕ displaystyle phi nbsp alle reellen Werte annehmen also von displaystyle infty nbsp bis displaystyle infty nbsp laufen Minimalflache BearbeitenDie Hauptkrummungen der Wendelflache in dem den Parametern r ϕ displaystyle r phi nbsp entsprechenden Punkt sind 1 1 r 2 displaystyle frac 1 1 r 2 nbsp und 1 1 r 2 displaystyle frac 1 1 r 2 nbsp die mittlere Krummung ist also in jedem Punkt null die Wendelflache ist eine Minimalflache Topologisch ist sie homoomorph zur Ebene Lokal ist sie isometrisch zum Katenoid sie ist aber nicht zu diesem homoomorph Sie ist eine Regelflache und eine Schraubflache Sie lasst sich auch als Schiebflache darstellen Praktische und wissenschaftliche Bedeutung Chiralitat Bearbeiten nbsp Chemie P Heptahelicen weist Helizitat im Uhrzeigersinn auf nbsp Chemie M Heptahelicen weist Helizitat entgegen dem Uhrzeigersinn auf nbsp Wendeltreppe im Vatican Museum in Rom als Beispiel fur einen schraubenformigen Baukorper zum Vergleich Die Symmetrie entspricht der von P Heptahelicen nbsp Die Schraubendrehung dieser Kletterpflanze entspricht dem Drehsinn von M Heptahelicen In der Natur in der Architektur und in der Chemie gibt es zahlreiche Anwendungsbereiche fur Wendelflachen Dabei spielt die Drehrichtung Chiralitat auch eine Rolle Geschichte BearbeitenDie Helikoide wurde im 18 Jahrhundert von Euler und Meusnier beschrieben Catalan bewies 1842 dass sie neben der Ebene die einzige minimale Regelflache ist Meeks und Rosenberg bewiesen 2005 aufbauend auf Ungleichungen von Colding Minicozzi dass es nur 2 Arten von einfach zusammenhangenden Minimalflachen im R 3 displaystyle mathbb R 3 nbsp gibt die Ebene und die Helikoide 1 2 Fur von null verschiedenes topologisches Geschlecht fanden sich durch David Allen Hoffman und Kollegen in den 1990er Jahren aber weitere Beispiele die aus der Helicoide hervorgingen Den Beweis dass sie fur Genus 1 eine vollstandige einbettbare Minimalflache bilden erbrachten Hoffman Michael Wolf und Matthias Weber 2009 3 davor war dies ausser fur den Fall des Geschlechts 0 nur fur den Fall unendlichen Geschlechts bewiesen Einzelnachweise Bearbeiten William H Meeks Harold Rosenberg 2005 The uniqueness of the helicoid Annals of Mathematics 2 161 2 727 758 doi 10 4007 annals 2005 161 727 Tobias H Colding William P Minicozzi 2004 The space of embedded minimal surfaces of fixed genus in a 3 manifold IV Locally simply connected Annals of Mathematics 2 160 2 573 615 doi 10 4007 annals 2004 160 573 David Allen Hoffman Matthias Weber Michael Wolf An embedded genus one helicoid Annals of Mathematics Band 169 2009 S 347 448 und Proc Nat Acad USA Band 102 2005 S 16566 16568 Weblinks Bearbeiten nbsp Commons Helicoids Sammlung von Bildern Videos und Audiodateien Helicoid Sammlung von Bildern und Animationen Matthias Weber Indiana University Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Wendelflache amp oldid 214542724