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Schrödinger Newton Gleichung Die auch Newton Schrödinger oder Schrödinger Poisson Gleichung ist eine nichtlineare Modifi

Schrödinger-Newton-Gleichung

Die Schrödinger-Newton-Gleichung (auch Newton-Schrödinger- oder Schrödinger-Poisson-Gleichung) ist eine nichtlineare Modifikation der Schrödingergleichung unter Berücksichtigung des Newtonschen Gravitationsgesetzes. Dabei ergibt sich eine Selbstwechselwirkung, da die Wellenfunktion massebehaftet angenommen wird. Die Gleichung kann entweder als eine Integro-Differentialgleichung oder als ein Gleichungssystem bestehend aus Schrödinger- und Poissongleichung geschrieben werden.

Die Schrödinger–Newton-Gleichung wurde als erstes von Remo Ruffini und Silvano Bonazzola in Verbindung mit der Eigengravitation von Bosonensternen betrachtet.

Später wurde von Lajos Diósi und Roger Penrose diskutiert, dass die Schrödinger-Newton-Gleichung eine Erklärung für den Kollaps der Wellenfunktion sein kann. Dabei hat Materie Quanteneigenschaften, wohingegen die Gravitation eine klassische Theorie bleibt.

Außerdem wird die Schrödinger-Newton-Gleichung als Hartree-Approximation für die gegenseitige gravitative Anziehung in einem System mit einer großen Anzahl Teilchen verwendet.

Übersicht Bearbeiten

Als Gleichungssystem geschrieben ergibt sich die Schrödinger-Newton-Gleichung aus der linearen Schrödingergleichung, erweitert um ein Gravitationspotential

hier ist das nicht gravitative Potential; das Gravitationspotential erfüllt die Poisson-Gleichung

Aufgrund der Kopplung der Wellenfunktion und des Gravitationspotentials und wegen des Terms ist das Gleichungssystem nichtlinear.

Die Integro-Differentialform der Gleichung ist

Diese Gleichung ergibt sich aus dem oben angegebenen Gleichungssystem unter der Annahme, dass das Gravitationspotential im Unendlichen verschwindet.

Mathematisch gesehen ist die Schrödinger-Newton-Gleichung eine Hartree-Gleichung für den Fall . Die Gleichung hat viele Eigenschaften der linearen Schrödinger-Gleichung. Insbesondere bleibt die totale Wahrscheinlichkeit sowie die Energie erhalten; weiterhin ist die Gleichung invariant bezüglich einer Galilei-Transformation. Lösungen der Schrödinger-Newton-Gleichung wurden bereits analytisch und numerisch untersucht; die stationäre Gleichung, die sich durch Separation der Variablen ergibt, hat eine unendliche Menge von Lösungen, von denen lediglich der stationäre Grundzustand stabil ist.

Beziehung zur semi-klassischen und Quantengravitation Bearbeiten

Die Schrödinger-Newton-Gleichung ergibt sich aus der Annahme, dass die Gravitation sich auch auf fundamentaler Ebene klassisch verhält und dass die Wellenfunktion massebehaftet ist. Effekte der Allgemeinen Relativitätstheorie werden dabei vernachlässigt. Für den Fall, dass die Annahme korrekt ist, ist die Schrödinger-Newton-Gleichung eine fundamentale Gleichung für ein einzelnes Teilchen; eine Verallgemeinerung auf Mehrteilchensysteme wird weiter unten beschrieben. Für den Fall, dass die Annahme nicht korrekt ist, ist die Schrödinger-Newton-Gleichung lediglich eine Näherung für die gravitative Anziehung in einem System mit einer großen Anzahl von Teilchen.

Schrödinger-Newton-Gleichung für Mehrteilchensysteme Bearbeiten

Für den Fall, dass die Schrödinger-Newton-Gleichung eine fundamentale Gleichung ist, existiert eine entsprechende Gleichung für Mehrteilchensysteme, die von Diósi analog zur Einteilchengleichung unter der Annahme semi-klassischer Gravitation abgeleitet wurde:

Das Potential enthält alle gegenseitigen linearen Wechselwirkungen, z. B. das Coulomb-Potential, wohingegen das Gravitationspotential sich aus der Masseverteilung aller Teilchen ergibt.

Bei einer Born-Oppenheimer-Näherung kann die -Teilchen-Gleichung separiert werden. Eine Gleichung beschreibt die relative Bewegung, die andere beschreibt die Dynamik des Schwerpunkts der Wellenfunktion. Für die relative Bewegung spielt die gravitative Wechselwirkung nur eine geringe Rolle, da sie üblicherweise schwach im Vergleich zu den anderen Wechselwirkungen ist. Sie hat aber einen signifikanten Einfluss auf die Bewegung des Schwerpunkts.

Einfluss der Gravitation Bearbeiten

Eine grobe Bestimmung der Größen, bei der sich Unterschiede zwischen der Schrödinger-Gleichung und der Schrödinger-Newton-Gleichung ergeben, ist durch Einsetzen einer Gauß-Verteilung möglich.

Für eine radialsymmetrische Gauß-Verteilung

hat die lineare Schrödingergleichung die Lösung

Das Maximum der Wahrscheinlichkeitsdichte befindet sich bei

Für die Beschleunigung, das heißt die zweite Ableitung nach der Zeit , erhält man hieraus nach kurzer Rechnung

Dies wird mit der Beschleunigung durch die Gravitation

verglichen. Zur Zeit ist und die Gleichsetzung der Beträge der Beschleunigungen in diesem Abstand ergibt und damit

Diese Gleichung erlaubt es, mit eine kritische Abmessung für eine gegebene Masse zu bestimmen, und umgekehrt.

Numerische Berechnungen zeigen, dass diese Gleichung eine gute Abschätzung des Parameterbereichs ergibt, bei dem gravitative Einflüsse signifikant werden.

Für ein Wasserstoffatom ( = atomare Masseneinheit) beträgt die kritische Größe ungefähr 1022 Meter; bei einem Teilchen mit einer Masse von einem Mikrogramm erhält man 10−31 Meter. Im Bereich von 1010 atomaren Masseneinheiten liegt die kritische Größe im Bereich von Mikrometern, so dass möglicherweise in Zukunft eine experimentelle Prüfung der Schrödinger-Newton-Gleichung möglich ist.

Kollaps der Wellenfunktion Bearbeiten

Die Idee, dass Gravitation den Kollaps der Wellenfunktion hervorruft (oder zumindest beeinflusst), wurde schon in den 1960er Jahren von Károlyházy vorgeschlagen.

Als mathematische Beschreibung wurde in diesem Zusammenhang die Schrödinger–Newton-Gleichung von Diósi vorgeschlagen.

Roger Penrose diskutierte, dass eine Superposition von zwei oder mehr Quantenzuständen, welche sich signifikant in der Masseverteilung unterscheiden, instabil ist und daher in einen der Zustände übergeht. Seine Hypothese ist, dass es eine bevorzugte Menge von Zuständen (die stationären Zustände der Schrödinger-Newton-Gleichung) gibt, die nicht weiter kollabieren, sondern stabil sind. Ein makroskopisches, massives System kann sich daher niemals in einer Superposition von Zuständen befinden, da die nichtlineare gravitative Selbstwechselwirkung sofort zu einem Kollaps in einen stationären Zustand der Schrödinger-Newton-Gleichung führt. Nach Penroses Auffassung führt eine Messung eines Quantensystems einerseits zu einer Verschränkung mit der makroskopischen Umgebung und damit zur Dekohärenz, gleichzeitig führt die Verschränkung mit dem massiven Messsystem durch die gravitative Selbstwechselwirkung zur Reduktion zu einem bestimmten (dem gemessenen) Zustand.

Probleme und offene Fragen Bearbeiten

Es existieren drei grundsätzliche Probleme bei der Interpretation der Schrödinger-Newton-Gleichung als Ursache für den Kollaps der Wellenfunktion.

Numerische Simulationen zeigen, dass beim „Kollaps“ der Wellenfunktion zu einer stationären Lösung ein kleiner Teil der Wellenfunktion zum Unendlichen strebt. Dies würde bedeuten, dass auch im Fall eines komplett reduzierten Zustands ein Teilchen mit einer geringen Wahrscheinlichkeit an einem entfernten Ort gemessen werden kann. Die Schrödinger-Newton-Gleichung kann damit nur teilweise als Erklärung herangezogen werden und der Effekt der Umgebung durch Dekohärenz muss berücksichtigt werden.

Ein zweites Problem ist, dass die Bornsche Wahrscheinlichkeitsinterpretation nicht erklärt wird. Zur Lösung des Messproblems ist es nicht ausreichend, dass ein Kollaps der Wellenfunktion auftritt. Es muss auch erklärt werden, dass die Wahrscheinlichkeitsdichte, mit der ein Teilchen an einem bestimmten Ort gemessen wird, sich durch das Betragsquadrat der Wellenfunktion berechnen lässt. Es ist unklar, ob sich bei genauerer Analyse zeigen lässt, dass sich diese Wahrscheinlichkeitsdichte einstellt.

Ein letztes Problem ergibt sich durch die Interpretation der Wellenfunktion als reales physikalisches Objekt. Damit kann die Wellenfunktion eine Größe sein, die zumindest im Prinzip gemessen werden kann. Durch die nichtlokale Natur der Wellenfunktion könnte es daher möglich sein, Information mit Überlichtgeschwindigkeit zu übertragen, was im Widerspruch zur Relativitätstheorie steht. Es ist unklar, ob dieses Problem bei genauerer Betrachtung tatsächlich relevant ist.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Remo Ruffini, Silvano Bonazzola: Systems of Self-Gravitating Particles in General Relativity and the Concept of an Equation of State. In: Physical Reviews. 187. Jahrgang, Nr. 5, 1969, S. 1767–1783, doi:10.1103/PhysRev.187.1767, bibcode:1969PhRv..187.1767R.
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  10. Irene M. Moroz, Roger Penrose, Paul Tod: Spherically-symmetric solutions of the Schrödinger–Newton equations. In: Classical and Quantum Gravity. 15. Jahrgang, 1998, S. 2733–2742, doi:10.1088/0264-9381/15/9/019, bibcode:1998CQGra..15.2733M.
  11. Paul Tod, Irene M. Moroz: An analytical approach to the Schrödinger–Newton equations. In: Nonlinearity. 12. Jahrgang, 1999, S. 201–216, doi:10.1088/0951-7715/12/2/002, bibcode:1999Nonli..12..201T.
  12. ↑ R. Harrison, I. Moroz, K. P. Tod: A numerical study of the Schrödinger–Newton equations. In: Nonlinearity. 16, 2003, S. 101–122, arxiv:math-ph/0208045 (Teil 1) und arxiv:math-ph/0208046 (Teil 2); basierend auf R. Harrison: A numerical study of the Schrödinger–Newton equations, bibcode:2003Nonli..16..101H, doi:10.1088/0951-7715/16/1/307.
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  14. ↑ J. R. van Meter: Schrödinger–Newton 'collapse' of the wave function. In: Classical and Quantum Gravity. 28. Jahrgang, Nr. 21, 2011, S. 215013, doi:10.1088/0264-9381/28/21/215013, arxiv:1105.1579, bibcode:2011CQGra..28u5013V.
  15. F. Károlyházy: Gravitation and Quantum Mechanics of Macroscopic Objects. In: Il Nuovo Cimento A. 42. Jahrgang, 1966, S. 390–402, doi:10.1007/BF02717926, bibcode:1966NCimA..42..390K.
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Veröffentlichungsdatum:
Die Schrodinger Newton Gleichung auch Newton Schrodinger oder Schrodinger Poisson Gleichung ist eine nichtlineare Modifikation der Schrodingergleichung unter Berucksichtigung des Newtonschen Gravitationsgesetzes Dabei ergibt sich eine Selbstwechselwirkung da die Wellenfunktion massebehaftet angenommen wird Die Gleichung kann entweder als eine Integro Differentialgleichung oder als ein Gleichungssystem bestehend aus Schrodinger und Poissongleichung geschrieben werden Die Schrodinger Newton Gleichung wurde als erstes von Remo Ruffini und Silvano Bonazzola 1 in Verbindung mit der Eigengravitation von Bosonensternen betrachtet Spater wurde von Lajos Diosi und Roger Penrose 2 3 4 5 diskutiert dass die Schrodinger Newton Gleichung eine Erklarung fur den Kollaps der Wellenfunktion sein kann Dabei hat Materie Quanteneigenschaften wohingegen die Gravitation eine klassische Theorie bleibt 6 Ausserdem wird die Schrodinger Newton Gleichung als Hartree Approximation fur die gegenseitige gravitative Anziehung in einem System mit einer grossen Anzahl Teilchen verwendet 7 Inhaltsverzeichnis 1 Ubersicht 1 1 Beziehung zur semi klassischen und Quantengravitation 2 Schrodinger Newton Gleichung fur Mehrteilchensysteme 3 Einfluss der Gravitation 4 Kollaps der Wellenfunktion 4 1 Probleme und offene Fragen 5 EinzelnachweiseUbersicht BearbeitenAls Gleichungssystem geschrieben ergibt sich die Schrodinger Newton Gleichung aus der linearen Schrodingergleichung erweitert um ein Gravitationspotential F displaystyle Phi nbsp i ℏ PS t ℏ 2 2 m 2 PS V PS m F PS displaystyle mathrm i hbar frac partial Psi partial t frac hbar 2 2m nabla 2 Psi V Psi m Phi Psi nbsp hier ist V displaystyle V nbsp das nicht gravitative Potential das Gravitationspotential F displaystyle Phi nbsp erfullt die Poisson Gleichung 2 F 4 p G m PS 2 displaystyle nabla 2 Phi 4 pi Gm Psi 2 nbsp Aufgrund der Kopplung der Wellenfunktion und des Gravitationspotentials und wegen des Terms PS 2 displaystyle Psi 2 nbsp ist das Gleichungssystem nichtlinear Die Integro Differentialform der Gleichung ist i ℏ PS t ℏ 2 2 m 2 V G m 2 PS t y 2 x y d 3 y PS displaystyle mathrm i hbar frac partial Psi partial t left frac hbar 2 2m nabla 2 V Gm 2 int frac Psi t mathbf y 2 mathbf x mathbf y mathrm d 3 mathbf y right Psi nbsp Diese Gleichung ergibt sich aus dem oben angegebenen Gleichungssystem unter der Annahme dass das Gravitationspotential im Unendlichen verschwindet Mathematisch gesehen ist die Schrodinger Newton Gleichung eine Hartree Gleichung fur den Fall n 2 displaystyle n 2 nbsp Die Gleichung hat viele Eigenschaften der linearen Schrodinger Gleichung Insbesondere bleibt die totale Wahrscheinlichkeit sowie die Energie erhalten weiterhin ist die Gleichung invariant bezuglich einer Galilei Transformation Losungen der Schrodinger Newton Gleichung wurden bereits analytisch und numerisch untersucht die stationare Gleichung die sich durch Separation der Variablen ergibt hat eine unendliche Menge von Losungen von denen lediglich der stationare Grundzustand stabil ist 8 9 10 11 12 Beziehung zur semi klassischen und Quantengravitation Bearbeiten Die Schrodinger Newton Gleichung ergibt sich aus der Annahme dass die Gravitation sich auch auf fundamentaler Ebene klassisch verhalt und dass die Wellenfunktion massebehaftet ist Effekte der Allgemeinen Relativitatstheorie werden dabei vernachlassigt Fur den Fall dass die Annahme korrekt ist ist die Schrodinger Newton Gleichung eine fundamentale Gleichung fur ein einzelnes Teilchen eine Verallgemeinerung auf Mehrteilchensysteme wird weiter unten beschrieben Fur den Fall dass die Annahme nicht korrekt ist ist die Schrodinger Newton Gleichung lediglich eine Naherung fur die gravitative Anziehung in einem System mit einer grossen Anzahl von Teilchen 13 Schrodinger Newton Gleichung fur Mehrteilchensysteme BearbeitenFur den Fall dass die Schrodinger Newton Gleichung eine fundamentale Gleichung ist existiert eine entsprechende Gleichung fur Mehrteilchensysteme die von Diosi analog zur Einteilchengleichung unter der Annahme semi klassischer Gravitation abgeleitet wurde 2 i ℏ PS t x 1 x N t i 1 N ℏ 2 2 m i i 2 i j V i j x i x j G i j 1 N m i m j d 3 y 1 d 3 y N PS t y 1 y N 2 x i y j PS t x 1 x N displaystyle begin aligned mathrm i hbar frac partial Psi t mathbf x 1 dots mathbf x N partial t Bigg amp sum i 1 N frac hbar 2 2m i nabla i 2 sum i not j V ij mathbf x i mathbf x j amp G sum i j 1 N m i m j int mathrm d 3 mathbf y 1 cdots mathrm d 3 mathbf y N frac Psi t mathbf y 1 dots mathbf y N 2 mathbf x i mathbf y j Bigg Psi t mathbf x 1 dots mathbf x N end aligned nbsp Das Potential V i j displaystyle V ij nbsp enthalt alle gegenseitigen linearen Wechselwirkungen z B das Coulomb Potential wohingegen das Gravitationspotential sich aus der Masseverteilung aller Teilchen ergibt Bei einer Born Oppenheimer Naherung kann die N displaystyle N nbsp Teilchen Gleichung separiert werden Eine Gleichung beschreibt die relative Bewegung die andere beschreibt die Dynamik des Schwerpunkts der Wellenfunktion Fur die relative Bewegung spielt die gravitative Wechselwirkung nur eine geringe Rolle da sie ublicherweise schwach im Vergleich zu den anderen Wechselwirkungen ist Sie hat aber einen signifikanten Einfluss auf die Bewegung des Schwerpunkts Einfluss der Gravitation BearbeitenEine grobe Bestimmung der Grossen bei der sich Unterschiede zwischen der Schrodinger Gleichung und der Schrodinger Newton Gleichung ergeben ist durch Einsetzen einer Gauss Verteilung moglich 6 Fur eine radialsymmetrische Gauss Verteilung PS t 0 r p s 2 3 4 exp r 2 2 s 2 displaystyle Psi t 0 r pi sigma 2 3 4 exp left frac r 2 2 sigma 2 right nbsp hat die lineare Schrodingergleichung die Losung PS t r p s 2 3 4 1 i ℏ t m s 2 3 2 exp r 2 2 s 2 1 i ℏ t m s 2 displaystyle Psi t r pi sigma 2 3 4 left 1 frac mathrm i hbar t m sigma 2 right 3 2 exp left frac r 2 2 sigma 2 left 1 frac mathrm i hbar t m sigma 2 right right nbsp Das Maximum der Wahrscheinlichkeitsdichte 4 p r 2 PS 2 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Zustande ubergeht 3 4 5 Seine Hypothese ist dass es eine bevorzugte Menge von Zustanden die stationaren Zustande der Schrodinger Newton Gleichung gibt die nicht weiter kollabieren sondern stabil sind Ein makroskopisches massives System kann sich daher niemals in einer Superposition von Zustanden befinden da die nichtlineare gravitative Selbstwechselwirkung sofort zu einem Kollaps in einen stationaren Zustand der Schrodinger Newton Gleichung fuhrt Nach Penroses Auffassung fuhrt eine Messung eines Quantensystems einerseits zu einer Verschrankung mit der makroskopischen Umgebung und damit zur Dekoharenz gleichzeitig fuhrt die Verschrankung mit dem massiven Messsystem durch die gravitative Selbstwechselwirkung zur Reduktion zu einem bestimmten dem gemessenen Zustand Probleme und offene Fragen Bearbeiten Es existieren drei grundsatzliche Probleme bei der Interpretation der Schrodinger Newton Gleichung als Ursache fur den Kollaps der Wellenfunktion Numerische Simulationen 9 12 14 zeigen dass beim Kollaps der Wellenfunktion zu einer stationaren Losung ein kleiner Teil der Wellenfunktion zum Unendlichen strebt Dies wurde bedeuten dass auch im Fall eines komplett reduzierten Zustands ein Teilchen mit einer geringen Wahrscheinlichkeit an einem entfernten Ort gemessen werden kann Die Schrodinger Newton Gleichung kann damit nur teilweise als Erklarung herangezogen werden und der Effekt der Umgebung durch Dekoharenz muss berucksichtigt werden Ein zweites Problem ist dass die Bornsche Wahrscheinlichkeitsinterpretation nicht erklart wird Zur Losung des Messproblems ist es nicht ausreichend dass ein Kollaps der Wellenfunktion auftritt Es muss auch erklart werden dass die Wahrscheinlichkeitsdichte mit der ein Teilchen an einem bestimmten Ort gemessen wird sich durch das Betragsquadrat der Wellenfunktion berechnen lasst Es ist unklar ob sich bei genauerer Analyse zeigen lasst dass sich diese Wahrscheinlichkeitsdichte einstellt Ein letztes Problem ergibt sich durch die Interpretation der Wellenfunktion als reales physikalisches Objekt Damit kann die Wellenfunktion eine Grosse sein die zumindest im Prinzip gemessen werden kann Durch die nichtlokale Natur der Wellenfunktion konnte es daher moglich sein Information mit Uberlichtgeschwindigkeit zu ubertragen was im Widerspruch zur Relativitatstheorie steht Es ist unklar ob dieses Problem bei genauerer Betrachtung tatsachlich relevant ist Einzelnachweise Bearbeiten Remo Ruffini Silvano Bonazzola Systems of Self Gravitating Particles in General Relativity and the Concept of an Equation of State In Physical Reviews 187 Jahrgang Nr 5 1969 S 1767 1783 doi 10 1103 PhysRev 187 1767 bibcode 1969PhRv 187 1767R a b c L Diosi Gravitation and quantum mechanical localization of macro objects In Physics Letters A 105 Jahrgang 1984 S 199 202 doi 10 1016 0375 9601 84 90397 9 arxiv 1412 0201 bibcode 1984PhLA 105 199D a b Roger Penrose On Gravity s Role in Quantum State Reduction In General Relativity and Gravitation 28 Jahrgang Nr 5 1996 S 581 600 doi 10 1007 BF02105068 bibcode 1996GReGr 28 581P a b Roger Penrose Quantum computation entanglement and state reduction In Phil Trans R Soc Lond A 356 Jahrgang Nr 1743 1998 S 1927 1939 doi 10 1098 rsta 1998 0256 bibcode 1998RSPTA 356 1927P a b Roger Penrose On the Gravitization of Quantum Mechanics 1 Quantum State Reduction In Foundations of Physics 44 Jahrgang 2014 S 557 575 doi 10 1007 s10701 013 9770 0 bibcode 2014FoPh 44 557P a b S Carlip Is quantum gravity necessary In Classical and Quantum Gravity 25 Jahrgang 2008 S 154010 doi 10 1088 0264 9381 25 15 154010 arxiv 0803 3456 bibcode 2008CQGra 25o4010C Elliott H Lieb Existence and uniqueness of the Minimizing Solution of Choquard s Nonlinear Equation In Studies of Applied Mathematics 57 Jahrgang 1977 S 93 105 Oliver Robertshaw Paul Tod Lie point symmetries and an approximate solution for the Schrodinger Newton equations In Nonlinearity 19 Jahrgang 2006 S 1507 1514 doi 10 1088 0951 7715 19 7 002 arxiv math ph 0509066 bibcode 2006Nonli 19 1507R a b c Domenico Giulini Andre Grossardt Gravitationally induced inhibitions of dispersion according to the Schrodinger Newton Equation In Classical and Quantum Gravity 28 Jahrgang 2011 S 195026 doi 10 1088 0264 9381 28 19 195026 arxiv 1105 1921 bibcode 2011CQGra 28s5026G Irene M Moroz Roger Penrose Paul Tod Spherically symmetric solutions of the Schrodinger Newton equations In Classical and Quantum Gravity 15 Jahrgang 1998 S 2733 2742 doi 10 1088 0264 9381 15 9 019 bibcode 1998CQGra 15 2733M Paul Tod Irene M Moroz An analytical approach to the Schrodinger Newton equations In Nonlinearity 12 Jahrgang 1999 S 201 216 doi 10 1088 0951 7715 12 2 002 bibcode 1999Nonli 12 201T a b R Harrison I Moroz K P Tod A numerical study of the Schrodinger Newton equations In Nonlinearity 16 2003 S 101 122 arxiv math ph 0208045 Teil 1 und arxiv math ph 0208046 Teil 2 basierend auf R Harrison A numerical study of the Schrodinger Newton equations bibcode 2003Nonli 16 101H doi 10 1088 0951 7715 16 1 307 Mohammad Bahrami Andre Grossardt Sandro Donadi Angelo Bassi The Schrodinger Newton equation and its foundations In New J Phys 2014 arxiv 1407 4370 a b J R van Meter Schrodinger Newton collapse of the wave function In Classical and Quantum Gravity 28 Jahrgang Nr 21 2011 S 215013 doi 10 1088 0264 9381 28 21 215013 arxiv 1105 1579 bibcode 2011CQGra 28u5013V F Karolyhazy Gravitation and Quantum Mechanics of Macroscopic Objects In Il Nuovo Cimento A 42 Jahrgang 1966 S 390 402 doi 10 1007 BF02717926 bibcode 1966NCimA 42 390K Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Schrodinger Newton Gleichung amp oldid 238096841