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Satz von Wallace Der ist ein Lehrsatz aus dem mathematischen Teilgebiet der Topologie welcher auf den amerikanischen Mat

Satz von Wallace

Der Satz von Wallace ist ein Lehrsatz aus dem mathematischen Teilgebiet der Topologie, welcher auf den amerikanischen Mathematiker Alexander Doniphan Wallace (1905–1985) zurückgeht. Er behandelt eine spezielle Trennungseigenschaft kompakter Produktunterräume in Produkttopologien: Ein Produkt kompakter Mengen in einer offenen Menge liegt in einem darin enthaltenen Produkt offener Mengen.

Formulierung des Satzes Bearbeiten

Gegeben seien zwei topologische Räume und und darin eingelagert zwei kompakte Unterräume und . Sei ferner eine offene Obermenge von in .

Dann existieren offene Teilmengen und mit .

Korollar Bearbeiten

Jeder kompakte Hausdorff-Raum ist normal.

Sind nämlich    und     abgeschlossene, disjunkte Teilmengen des kompakten Hausdorffraums , so ist    . Da     ein Hausdorffraum ist, ist die Diagonale abgeschlossen, also ist     offen. Wendet man nun obigen Satz von Wallace an, so erhält man zwei offene Mengen     und     mit    , d. h.    . Damit ist     normal.

Literatur Bearbeiten

  • John L. Kelley: General topology (= Graduate Texts in Mathematics. Band 27). Reprint of the 1955 edition published by Van Nostrand. Springer, New York NY u. a. 1975, ISBN 3-540-90125-6.
  • Anthony Connors Shershin: Introduction to topological semigroups. University Presses of Florida, Miami FL 1979, ISBN 0-8130-0664-3.
  • Kapil D. Joshi: Introduction to General Topology. Wiley Eastern, New Delhi u. a. 1983, ISBN 0-85226-444-5.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Weiteres zur Vita siehe hier.
  2. Kelley: General topology. 1975, S. 142.
  3. Shershin: Introduction to topological semigroups. 1979, S. 23.
  4. Joshi: Introduction to General Topology. 1983, S. 171.
  5. Shershin: Introduction to topological semigroups. 1979, S. 24.
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Veröffentlichungsdatum:
Der Satz von Wallace ist ein Lehrsatz aus dem mathematischen Teilgebiet der Topologie welcher auf den amerikanischen Mathematiker Alexander Doniphan Wallace 1905 1985 1 zuruckgeht 2 3 4 Er behandelt eine spezielle Trennungseigenschaft kompakter Produktunterraume in Produkttopologien Ein Produkt kompakter Mengen in einer offenen Menge liegt in einem darin enthaltenen Produkt offener Mengen Inhaltsverzeichnis 1 Formulierung des Satzes 2 Korollar 3 Literatur 4 EinzelnachweiseFormulierung des Satzes BearbeitenGegeben seien zwei topologische Raume X displaystyle X nbsp und Y displaystyle Y nbsp und darin eingelagert zwei kompakte Unterraume A X displaystyle A subseteq X nbsp und B Y displaystyle B subseteq Y nbsp Sei ferner W displaystyle W nbsp eine offene Obermenge von A B displaystyle A times B nbsp in X Y displaystyle X times Y nbsp Dann existieren offene Teilmengen U X displaystyle U subseteq X nbsp und V Y displaystyle V subseteq Y nbsp mit A B U V W displaystyle A times B subseteq U times V subseteq W nbsp Korollar BearbeitenJeder kompakte Hausdorff Raum ist normal 5 Sind namlich A displaystyle A nbsp und B displaystyle B nbsp abgeschlossene disjunkte Teilmengen des kompakten Hausdorffraums X displaystyle X nbsp so ist A B W x y X X x y X X displaystyle A times B subset W x y in X times X x not y subset X times X nbsp Da X displaystyle X nbsp ein Hausdorffraum ist ist die Diagonale abgeschlossen also ist W displaystyle W nbsp offen Wendet man nun obigen Satz von Wallace an so erhalt man zwei offene Mengen U A displaystyle U supseteq A nbsp und V B displaystyle V supseteq B nbsp mit U V W displaystyle U times V subseteq W nbsp d h U V displaystyle U cap V emptyset nbsp Damit ist X displaystyle X nbsp normal Literatur BearbeitenJohn L Kelley General topology Graduate Texts in Mathematics Band 27 Reprint of the 1955 edition published by Van Nostrand Springer New York NY u a 1975 ISBN 3 540 90125 6 Anthony Connors Shershin Introduction to topological semigroups University Presses of Florida Miami FL 1979 ISBN 0 8130 0664 3 Kapil D Joshi Introduction to General Topology Wiley Eastern New Delhi u a 1983 ISBN 0 85226 444 5 Einzelnachweise Bearbeiten Weiteres zur Vita siehe hier Kelley General topology 1975 S 142 Shershin Introduction to topological semigroups 1979 S 23 Joshi Introduction to General Topology 1983 S 171 Shershin Introduction to topological semigroups 1979 S 24 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Satz von Wallace amp oldid 168462479