Satz von Vitali Hahn Saks Der ist ein Satz aus dem mathematischen Teilgebiet der Maßtheorie Er geht auf Giuseppe Vitali

Satz von Vitali-Hahn-Saks

Der Satz von Vitali-Hahn-Saks ist ein Satz aus dem mathematischen Teilgebiet der Maßtheorie. Er geht auf Giuseppe Vitali, Hans Hahn und Stanisław Saks zurück und besagt im Wesentlichen, dass der mengenweise Grenzwert einer Folge von signierten Maßen wieder ein solches ist.

Erste Formulierung des Satzes Bearbeiten

Es sei ein Maßraum und darauf eine Folge von signierten Maßen, so dass für jede messbare Menge konvergiert. Weiter sei ein endliches Maß auf , so dass jedes absolut stetig gegen ist. Dann definiert die Formel ein signiertes Maß auf , das ebenfalls absolut stetig gegen ist.

Der besondere Inhalt dieses Satzes besteht darin, dass sich die σ-Additivität der auf überträgt und dass die Absolutstetigkeit gegen erhalten bleibt. Von der Voraussetzung über die Existenz von kann man sich befreien, denn für jede Folge ist durch ein Maß definiert, gegen das jedes absolutstetig ist. Dabei sind und die Variation bzw. Totalvariationsnorm von . Daher kann man obigen Satz auch ohne die Erwähnung der Absolutstetigkeit formulieren und erhält den folgenden auch als Konvergenzsatz von Nikodým bekannten Satz:

Zweite Formulierung des Satzes Bearbeiten

Es sei ein Maßraum und darauf eine Folge von endlichen signierten Maßen, so dass für jede messbare Menge konvergiert und endlich ist. Dann definiert die Formel ein signiertes Maß auf .

Diese Version ist schwächer, da sie nicht mehr die Erhaltung der Absolutstetigkeit gegen ein weiteres Maß enthält. Man beachte, dass die Endlichkeit der eine notwendige Bedingung ist, wie folgendes Beispiel verdeutlicht. Sei und , wobei die Borelsche sigma-algebra auf bezeichnet. Für , definiere falls , andernfalls definiere . Dann gilt falls nicht nach oben beschränkt ist. Andernfalls gilt . ist kein Maß, da sowohl aber auch gelten müsste.

Anwendungen Bearbeiten

Der Raum der signierten Maße auf einem Maßraum ist ein Vektorraum , der mit der Totalvariation als Norm ein Banachraum wird. Eine wichtige Anwendung des Satzes von Vitali-Hahn-Saks besteht darin, die relativ schwach kompakten Mengen in als genau diejenigen beschränkten Mengen zu charakterisieren, die gleichmäßig absolutstetig gegen ein endliches Maß sind. Als weitere Anwendung ergibt sich, dass schwach folgenvollständig ist, das heißt, dass jede Cauchy-Folge des in der schwachen Topologie uniformen Raums schwach konvergiert.

Einzelnachweise Bearbeiten

G. Vitali: Sull’integrazione per serie, Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo (1907), Band 23, Seiten 137–155
H. Hahn: Über Folgen linearer Operationen, Monatshefte für Mathematik und Physik (1922), Band 32, Seiten 3–88
S. Saks: Addition to the Note on Some Functionals, Transactions of the American Mathematical Society (1933), Band 35, Seiten 965–970
Raymond A. Ryan: Introduction to Tensor Products of Banach Spaces, Springer-Verlag 2002, ISBN 1-85233-437-1, Anhang C, Satz C.3
J. L. Doob: Measure Theory, Kapitel IX, Absatz 10: Vitali-Hahn-Saks-theorem
Raymond A. Ryan: Introduction to Tensor Products of Banach Spaces, Springer-Verlag 2002, ISBN 1-85233-437-1, Anhang C, Satz C.4
Raymond A. Ryan: Introduction to Tensor Products of Banach Spaces, Springer-Verlag 2002, ISBN 1-85233-437-1, Anhang C, Satz C.7
Raymond A. Ryan: Introduction to Tensor Products of Banach Spaces, Springer-Verlag 2002, ISBN 1-85233-437-1, Anhang C, Satz C.5

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Veröffentlichungsdatum: Dezember 06, 2023, 08:36 am

Der Satz von Vitali Hahn Saks ist ein Satz aus dem mathematischen Teilgebiet der Masstheorie Er geht auf Giuseppe Vitali 1 Hans Hahn 2 und Stanislaw Saks 3 zuruck und besagt im Wesentlichen dass der mengenweise Grenzwert einer Folge von signierten Massen wieder ein solches ist Inhaltsverzeichnis 1 Erste Formulierung des Satzes 2 Zweite Formulierung des Satzes 3 Anwendungen 4 EinzelnachweiseErste Formulierung des Satzes BearbeitenEs sei W S displaystyle Omega Sigma nbsp ein Massraum und darauf m n n N displaystyle mu n n in mathbb N nbsp eine Folge von signierten Massen so dass m n E n N displaystyle mu n E n in mathbb N nbsp fur jede messbare Menge E S displaystyle E in Sigma nbsp konvergiert Weiter sei l displaystyle lambda nbsp ein endliches Mass auf W S displaystyle Omega Sigma nbsp so dass jedes m n displaystyle mu n nbsp absolut stetig gegen l displaystyle lambda nbsp ist Dann definiert die Formel m E lim n m n E displaystyle mu E lim n to infty mu n E nbsp ein signiertes Mass auf 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m n E displaystyle mu n E infty nbsp falls E n displaystyle E cap n infty not emptyset nbsp andernfalls definiere m E 0 displaystyle mu E 0 nbsp Dann gilt lim n m n E displaystyle lim n to infty mu n E infty nbsp falls E displaystyle E nbsp nicht nach oben beschrankt ist Andernfalls gilt lim n m n E 0 displaystyle lim n to infty mu n E 0 nbsp m E lim n m n E displaystyle mu E lim n to infty mu n E nbsp ist kein Mass da sowohl m 1 displaystyle mu 1 infty infty nbsp aber auch m 1 i 1 m i i 1 0 displaystyle mu 1 infty sum i 1 infty mu i i 1 0 nbsp gelten musste Anwendungen BearbeitenDer Raum der signierten Masse auf einem Massraum W S displaystyle Omega Sigma nbsp ist ein Vektorraum M W S displaystyle M Omega Sigma nbsp der mit der Totalvariation als Norm ein Banachraum wird Eine wichtige Anwendung des Satzes von Vitali Hahn Saks besteht darin die relativ schwach kompakten Mengen in M W S displaystyle M Omega Sigma nbsp als genau diejenigen beschrankten Mengen zu charakterisieren die gleichmassig absolutstetig gegen ein endliches Mass sind 7 Als weitere Anwendung ergibt sich dass M W S displaystyle M Omega Sigma nbsp schwach folgenvollstandig ist das heisst dass jede Cauchy Folge des in der schwachen Topologie uniformen Raums M W S displaystyle M Omega Sigma nbsp schwach konvergiert 8 Einzelnachweise Bearbeiten G Vitali Sull integrazione per serie Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo 1907 Band 23 Seiten 137 155 H Hahn Uber Folgen linearer Operationen Monatshefte fur Mathematik und Physik 1922 Band 32 Seiten 3 88 S Saks Addition to the Note on Some Functionals Transactions of the American Mathematical Society 1933 Band 35 Seiten 965 970 Raymond A Ryan Introduction to Tensor Products of Banach Spaces Springer Verlag 2002 ISBN 1 85233 437 1 Anhang C Satz C 3 J L Doob Measure Theory Kapitel IX Absatz 10 Vitali Hahn Saks theorem Raymond A Ryan Introduction to Tensor Products of Banach Spaces Springer Verlag 2002 ISBN 1 85233 437 1 Anhang C Satz C 4 Raymond A Ryan Introduction to Tensor Products of Banach Spaces Springer Verlag 2002 ISBN 1 85233 437 1 Anhang C Satz C 7 Raymond A Ryan Introduction to Tensor Products of Banach Spaces Springer Verlag 2002 ISBN 1 85233 437 1 Anhang C Satz C 5 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Satz von Vitali Hahn Saks amp oldid 197824630