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Satz von Seifert und van Kampen Der benannt nach Herbert Seifert und Egbert van Kampen ist ein mathematischer Satz aus d

Satz von Seifert und van Kampen

Der Satz von Seifert und van Kampen (benannt nach Herbert Seifert und Egbert van Kampen) ist ein mathematischer Satz aus dem Gebiet der algebraischen Topologie. Er macht eine Aussage über die Struktur der Fundamentalgruppe eines topologischen Raumes X, indem man die Fundamentalgruppen zweier offener, wegzusammenhängender Unterräume U und V, welche X überdecken, betrachtet. So kann man die Fundamentalgruppe von komplizierten Räumen aus denjenigen einfacherer Räume berechnen.

Die einfache Hälfte des Satzes Bearbeiten

Es sei ein wegzusammenhängender punktierter Raum. Weiter sei eine offene Überdeckung von X durch wegzusammenhängende Teilmengen, die alle den Punkt * enthalten und deren paarweise Schnitte jeweils auch wegzusammenhängend sind.

Für sei die Inklusion. Dann wird erzeugt von den Untergruppen

Die Aussage ist also, dass die relativen Homotopieklassen in X von geschlossenen Wegen, die ganz in einem verlaufen, die Fundamentalgruppe von X erzeugen. Insbesondere ist X einfach zusammenhängend, wenn jedes diese Eigenschaft besitzt.

Der eigentliche Satz von Seifert und van Kampen Bearbeiten

Es seien ein wegzusammenhängender topologischer Raum, offen und wegzusammenhängend, sodass gilt, und . Auch sei wegzusammenhängend. Zu den Inklusionen von nach gehören (nicht notwendigerweise injektive) Homomorphismen

Zu den Inklusionen von nach gehören Homomorphismen

Offensichtlich gilt hierbei Es seien weiter H eine beliebige Gruppe, und Gruppenhomomorphismen mit der Eigenschaft

Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Gruppenhomomorphismus , sodass

Also sagt der Satz von Seifert und van Kampen eine universelle Abbildungseigenschaft der ersten Fundamentalgruppe aus.

Kombinatorische Version Bearbeiten

In der Sprache der kombinatorischen Gruppentheorie ist das amalgamierte Produkt von und über via der Homomorphismen und . Wenn diese drei Fundamentalgruppen folgende Präsentierungen haben:

dann kann die Amalgamierung als

präsentiert werden. Die Fundamentalgruppe von ist also erzeugt von den Schleifen in den Teilräumen und ; als zusätzliche Relationen kommt nur hinzu, dass eine Schleife im Schnitt unabhängig davon, ob man sie als Element von oder von auffasst, dasselbe Element repräsentiert.

Beispiel zum Hilfssatz Bearbeiten

Man nehme die n-dimensionale Sphäre und zwei verschiedene Punkte aus . Dann sind und wegzusammenhängend. Ihr Durchschnitt ist wegen auch wegzusammenhängend.

Nun ist aber , mittels der stereographischen Projektion, homöomorph zu . Da kontrahierbar ist, gilt dies also auch für und und daher haben diese triviale Fundamentalgruppen. Dies ist nicht vom Fußpunkt abhängig. Daher ist auch trivial.

Folgerungen Bearbeiten

Wenn die Fundamentalgruppe trivial ist, dann sagt der Satz von Seifert und van Kampen, dass das freie Produkt von und ist. Es wird von diesen Gruppen erzeugt und zwischen den Erzeugern gibt es keine Relationen, die nicht schon in oder gewesen wären. Insbesondere sind und injektiv.

Siehe auch Bearbeiten

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Der Satz von Seifert und van Kampen benannt nach Herbert Seifert und Egbert van Kampen ist ein mathematischer Satz aus dem Gebiet der algebraischen Topologie Er macht eine Aussage uber die Struktur der Fundamentalgruppe eines topologischen Raumes X indem man die Fundamentalgruppen zweier offener wegzusammenhangender Unterraume U und V welche X uberdecken betrachtet So kann man die Fundamentalgruppe von komplizierten Raumen aus denjenigen einfacherer Raume berechnen Inhaltsverzeichnis 1 Die einfache Halfte des Satzes 2 Der eigentliche Satz von Seifert und van Kampen 3 Kombinatorische Version 4 Beispiel zum Hilfssatz 5 Folgerungen 6 Siehe auchDie einfache Halfte des Satzes BearbeitenEs sei X displaystyle X nbsp ein wegzusammenhangender punktierter Raum Weiter sei U l l L displaystyle U lambda lambda in Lambda nbsp eine offene Uberdeckung von X durch wegzusammenhangende Teilmengen die alle den Punkt enthalten und deren paarweise Schnitte jeweils auch wegzusammenhangend sind Fur l L displaystyle lambda in Lambda nbsp sei f l U l X displaystyle f lambda U lambda rightarrow X nbsp die Inklusion Dann wird p 1 X displaystyle pi 1 X nbsp erzeugt von den Untergruppen p 1 f l U l l L displaystyle pi 1 f lambda U lambda lambda in Lambda nbsp Die Aussage ist also dass die relativen Homotopieklassen in X von geschlossenen Wegen die ganz in einem U l displaystyle U lambda nbsp verlaufen die Fundamentalgruppe von X erzeugen Insbesondere ist X einfach zusammenhangend wenn jedes U l displaystyle U lambda nbsp diese Eigenschaft besitzt Der eigentliche Satz von Seifert und van Kampen BearbeitenEs seien X displaystyle X nbsp ein wegzusammenhangender topologischer Raum U 1 U 2 X displaystyle U 1 U 2 subseteq X nbsp offen und wegzusammenhangend sodass X U 1 U 2 displaystyle X U 1 cup U 2 nbsp gilt und U 3 U 1 U 2 displaystyle in U 3 U 1 cap U 2 nbsp Auch U 3 displaystyle U 3 nbsp sei wegzusammenhangend Zu den Inklusionen von U 3 displaystyle U 3 nbsp nach U 1 U 2 displaystyle U 1 U 2 nbsp gehoren nicht notwendigerweise injektive Homomorphismen v i p 1 U 3 p 1 U i i 1 2 displaystyle v i pi 1 U 3 rightarrow pi 1 U i i 1 2 nbsp Zu den Inklusionen von U j displaystyle U j nbsp nach X displaystyle X nbsp gehoren Homomorphismen u j p 1 U j p 1 X 1 j 3 displaystyle u j pi 1 U j rightarrow pi 1 X 1 leq j leq 3 nbsp Offensichtlich gilt hierbei u 3 u i v i i 1 2 displaystyle u 3 u i circ v i i 1 2 nbsp Es seien weiter H eine beliebige Gruppe und p j p 1 U j H displaystyle p j pi 1 U j rightarrow H nbsp Gruppenhomomorphismen mit der Eigenschaft p 3 p i v i i 1 2 displaystyle p 3 p i circ v i i 1 2 nbsp Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Gruppenhomomorphismus p p 1 X H displaystyle p pi 1 X rightarrow H nbsp sodass p j p u j 1 j 3 displaystyle p j p circ u j 1 leq j leq 3 nbsp Also sagt der Satz von Seifert und van Kampen eine universelle Abbildungseigenschaft der ersten Fundamentalgruppe aus Kombinatorische Version BearbeitenIn der Sprache der kombinatorischen Gruppentheorie ist p 1 X displaystyle pi 1 X nbsp das amalgamierte Produkt von p 1 U 1 displaystyle pi 1 U 1 nbsp und p 1 U 2 displaystyle pi 1 U 2 nbsp uber p 1 U 3 displaystyle pi 1 U 3 nbsp via der Homomorphismen u 1 displaystyle u 1 nbsp und u 2 displaystyle u 2 nbsp Wenn diese drei Fundamentalgruppen folgende Prasentierungen haben p 1 U 1 a 1 a k r 1 r l displaystyle pi 1 U 1 langle alpha 1 alpha k r 1 r l rangle nbsp p 1 U 2 b 1 b m s 1 s n displaystyle pi 1 U 2 langle beta 1 beta m s 1 s n rangle nbsp und p 1 U 3 g 1 g p t 1 t q displaystyle pi 1 U 3 langle gamma 1 gamma p t 1 t q rangle nbsp dann kann die Amalgamierung als p 1 X p 1 U 1 p 1 U 3 p 1 U 2 displaystyle pi 1 X pi 1 U 1 pi 1 U 3 pi 1 U 2 nbsp a 1 a k b 1 b m r 1 r l s 1 s n v 1 g 1 v 2 g 1 v 1 g p v 2 g p displaystyle langle alpha 1 alpha k beta 1 beta m r 1 r l s 1 s n v 1 gamma 1 v 2 gamma 1 v 1 gamma p v 2 gamma p rangle nbsp prasentiert werden Die Fundamentalgruppe von X displaystyle X nbsp ist also erzeugt von den Schleifen in den Teilraumen U 1 displaystyle U 1 nbsp und U 2 displaystyle U 2 nbsp als zusatzliche Relationen kommt nur hinzu dass eine Schleife im Schnitt U 3 displaystyle U 3 nbsp unabhangig davon ob man sie als Element von p 1 U 1 displaystyle pi 1 U 1 nbsp oder von p 1 U 2 displaystyle pi 1 U 2 nbsp auffasst dasselbe Element reprasentiert Beispiel zum Hilfssatz BearbeitenMan nehme die n dimensionale Sphare S n n 2 displaystyle S n n geq 2 nbsp und P Q displaystyle P Q nbsp zwei verschiedene Punkte aus S n displaystyle S n nbsp Dann sind U 1 S n P displaystyle U 1 S n setminus P nbsp und U 2 S n Q displaystyle U 2 S n setminus Q nbsp wegzusammenhangend Ihr Durchschnitt ist wegen n 2 displaystyle n geq 2 nbsp auch wegzusammenhangend Nun ist aber S n P displaystyle S n setminus P nbsp mittels der stereographischen Projektion homoomorph zu R n displaystyle mathbb R n nbsp Da R n displaystyle mathbb R n nbsp kontrahierbar ist gilt dies also auch fur U 1 displaystyle U 1 nbsp und U 2 displaystyle U 2 nbsp und daher haben diese triviale Fundamentalgruppen Dies ist nicht vom Fusspunkt abhangig Daher ist auch p 1 S n displaystyle pi 1 S n nbsp trivial Folgerungen BearbeitenWenn die Fundamentalgruppe p 1 U 3 displaystyle pi 1 U 3 nbsp trivial ist dann sagt der Satz von Seifert und van Kampen dass p 1 X displaystyle pi 1 X nbsp das freie Produkt von p 1 U 1 displaystyle pi 1 U 1 nbsp und p 1 U 2 displaystyle pi 1 U 2 nbsp ist Es wird von diesen Gruppen erzeugt und zwischen den Erzeugern gibt es keine Relationen die nicht schon in p 1 U 1 displaystyle pi 1 U 1 nbsp oder p 1 U 2 displaystyle pi 1 U 2 nbsp gewesen waren Insbesondere sind u 1 displaystyle u 1 nbsp und u 2 displaystyle u 2 nbsp injektiv Siehe auch BearbeitenStefan Kuhnlein Skript Einfuhrung in die Topologie 2008 Sebastian Hage Seminarvortrag Der Satz von Seifert van Kampen Gruppoide Pushouts amp der Satz von Brown 2004 PDF 517 kB Enthalt einen kategorientheoretischen sowie einen topologischer Beweis des Satzes Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Satz von Seifert und van Kampen amp oldid 214322831