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Satz von Ostrowski Der ist ein Lehrsatz aus dem mathematischen Gebiet der Zahlentheorie Bewertungstheorie Er besagt dass

Satz von Ostrowski

Der Satz von Ostrowski ist ein Lehrsatz aus dem mathematischen Gebiet der Zahlentheorie (Bewertungstheorie). Er besagt, dass jeder auf den rationalen Zahlen definierte nichttriviale Absolutbetrag entweder zur üblichen Betragsfunktion oder zu einem -adischen Betrag äquivalent ist.

Ein weiterer Satz von Ostrowski betrachtet Körper, die bezüglich eines archimedischen Betrages vollständig sind, und erkennt, dass es nur zwei Isomorphietypen gibt: und . Ostrowski selbst nannte ihn „Vollständigkeitssatz“. Der Vollständigkeitssatz von Ostrowski erscheint – im Gegensatz zum erstgenannten – seltener unter diesem Namen, mutmaßlich weil er im Satz von Gelfand-Tornheim und einer seiner Folgerungen, dem wichtigen Satz von Gelfand-Mazur, aufgegangen ist.

Beide Sätze Ostrowskis befinden sich in derselben Veröffentlichung in den Acta Mathematica, Band 41 aus dem Jahre 1918, die mit dem Eingangsdatum „April 1916“ unterschrieben ist.

Definitionen Bearbeiten

Ein Absolutbetrag auf einem Körper ist eine Abbildung

die für alle folgende Eigenschaften erfüllt:

Zwei Absolutbeträge und heißen äquivalent, wenn es eine reelle Zahl gibt mit

für alle .

Beispiele Bearbeiten

Der triviale Betrag:

Die auf den reellen Zahlen definierte Betragsfunktion

Der für jede Primzahl auf den rationalen Zahlen definierte p-adische Betrag:

Hierbei wird benutzt, dass sich jede rationale Zahl eindeutig als mit paarweise teilerfremden Zahlen und darstellen lässt. Die -adischen Beträge erfüllen sogar die stärkere Ultra-Dreiecksungleichung

Satz von Ostrowski (über Beträge rationaler Zahlen) Bearbeiten

Jeder auf den rationalen Zahlen definierte nichttriviale Absolutbetrag

ist entweder zur Betragsfunktion oder zu einem -adischen Betrag äquivalent.

Vollständigkeitssatz von Ostrowski (über vollständige archimedisch bewertete Körper) Bearbeiten

Gelegentlich wird auch ein weiter Satz als Satz von Ostrowski bezeichnet: Jeder Körper, der bezüglich eines archimedischen Betrages vollständig ist, ist algebraisch und topologisch isomorph zum Körper der reellen Zahlen oder zum Körper der komplexen Zahlen. Mit anderen Worten: Es gibt keine echte Körpererweiterung der komplexen Zahlen, auf welche der komplexe Absolutbetrag archimedisch fortgesetzt werden könnte. Ostrowski selbst bezeichnete diesen Satz als „Vollständigkeitssatz“.

Beide Sätze von Ostrowski stammen aus seiner Arbeit, die 1918 in den Acta Mathematica (Band 41 (1918)) veröffentlicht wurde. Unterschrieben ist sie jedoch schon mit der Datumsangabe „Marburg an der Lahn, April 1916“.

Aus heutiger Sicht verallgemeinert der Satzes von Gelfand-Mazur diesen Satz von Ostrowski in zweierlei Hinsicht: Zum einen erfüllt ein archimedischer Betrag eine strengere Bedingung als die für den Satz von Gelfand-Mazur vorausgesetzte Norm einer Banachalgebra – an die Stelle der Submultiplikativität einer Norm tritt die Multiplikativität des Absolutbetrages –, und zum anderen müssen Banachalgebren nicht kommutativ sein. Der Satz von Gelfand-Mazur kann kurz und elegant mit transfiniten Methoden (Satz von Hahn-Banach, also mit dem Lemma von Zorn) bewiesen werden.

Beweis und Folgerungen Bearbeiten

Aus dem Vollständigkeitssatz von Ostrowski (und erst recht aus dem Satz von Gelfand-Mazur) lässt sich der Fundamentalsatz der Algebra folgern. Dort ist daher auch der Beweis des Vollständigkeitssatzes von Ostrowski zu finden.

Verallgemeinerungen des Vollständigkeitssatzes Bearbeiten

  • Der Satz von Gelfand-Tornheim betrachtet kommutative komplexe Algebren mit Einselement, die als reelle Algebren normiert sind, und trifft die Aussage, dass ihre Elemente stets Spektralwerte haben. Der Satz lässt sich leicht auf nicht-kommutative Algebren ausweiten und impliziert den Satz von Gelfand-Mazur.
  • Der Satz von Gelfand-Mazur besagt, dass eine komplexe Banachalgebren mit Eins, die zugleich ein Schiefkörper ist, eindimensional ist, das heißt, mit identifiziert werden kann: . Infolgedessen ist sie notwendig kommutativ.

Anmerkungen Bearbeiten

  1. Das adjektivische Suffix „-adisch“ rührt offenbar von griechischen Adjektiva wie dyadisch, dekadisch her. Für etc. könnte man also von „dyadisch“, „triadisch“, „pentadisch“, „heptadisch“, „hendekadisch“, „tridekadisch“ etc. sprechen.

Literatur Bearbeiten

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Veröffentlichungsdatum:
Der Satz von Ostrowski ist ein Lehrsatz aus dem mathematischen Gebiet der Zahlentheorie Bewertungstheorie Er besagt dass jeder auf den rationalen Zahlen definierte nichttriviale Absolutbetrag entweder zur ublichen Betragsfunktion oder zu einem p displaystyle p adischen Betrag aquivalent ist Ein weiterer Satz von Ostrowski betrachtet Korper die bezuglich eines archimedischen Betrages displaystyle cdot vollstandig sind und erkennt dass es nur zwei Isomorphietypen gibt R displaystyle mathbb R cdot und C displaystyle mathbb C cdot Ostrowski selbst nannte ihn Vollstandigkeitssatz Der Vollstandigkeitssatz von Ostrowski erscheint im Gegensatz zum erstgenannten seltener unter diesem Namen mutmasslich weil er im Satz von Gelfand Tornheim und einer seiner Folgerungen dem wichtigen Satz von Gelfand Mazur aufgegangen ist Beide Satze Ostrowskis befinden sich in derselben Veroffentlichung in den Acta Mathematica Band 41 aus dem Jahre 1918 die mit dem Eingangsdatum April 1916 unterschrieben ist Inhaltsverzeichnis 1 Definitionen 2 Beispiele 3 Satz von Ostrowski uber Betrage rationaler Zahlen 4 Vollstandigkeitssatz von Ostrowski uber vollstandige archimedisch bewertete Korper 4 1 Beweis und Folgerungen 4 2 Verallgemeinerungen des Vollstandigkeitssatzes 5 Anmerkungen 6 LiteraturDefinitionen BearbeitenEin Absolutbetrag auf einem Korper K displaystyle K nbsp ist eine Abbildung K R displaystyle vert cdot vert colon K to mathbb R nbsp x x displaystyle x mapsto vert x vert nbsp die fur alle x y K displaystyle x y in K nbsp folgende Eigenschaften erfullt x 0 displaystyle vert x vert geq 0 nbsp x 0 x 0 displaystyle vert x vert 0 Leftrightarrow x 0 nbsp positiv definit x y x y displaystyle vert xy vert vert x vert vert y vert nbsp Multiplikativitat x y x y displaystyle vert x y vert leq vert x vert vert y vert nbsp Dreiecksungleichung Zwei Absolutbetrage displaystyle vert cdot vert nbsp und displaystyle vert cdot vert nbsp heissen aquivalent wenn es eine reelle Zahl c gt 0 displaystyle c gt 0 nbsp gibt mit x c x displaystyle vert x vert c vert x vert nbsp fur alle x K displaystyle x in K nbsp Beispiele BearbeitenDer triviale Betrag x 0 0 fur x 0 1 fur x 0 displaystyle x 0 begin cases 0 amp text fur x 0 1 amp text fur x neq 0 end cases nbsp Die auf den reellen Zahlen definierte Betragsfunktion x x fur x 0 x fur x lt 0 displaystyle x infty begin cases x amp text fur x geq 0 x amp text fur x lt 0 end cases nbsp Der fur jede Primzahl p displaystyle p nbsp auf den rationalen Zahlen definierte p adische Betrag x p 0 fur x 0 p n fur x p n a b mit a b p paarweise teilerfremd und n Z displaystyle x p begin cases 0 amp text fur x 0 p n amp text fur x p n frac a b text mit a b p text paarweise teilerfremd und n in mathbb Z end cases nbsp Hierbei wird benutzt dass sich jede rationale Zahl eindeutig als x p n a b displaystyle x p n frac a b nbsp mit paarweise teilerfremden Zahlen p a b displaystyle p a b nbsp und n Z displaystyle n in mathbb Z nbsp darstellen lasst Die p displaystyle p nbsp adischen Anm 1 Betrage erfullen sogar die starkere Ultra Dreiecksungleichung x y max x y displaystyle vert x y vert leq max vert x vert vert y vert nbsp Satz von Ostrowski uber Betrage rationaler Zahlen BearbeitenJeder auf den rationalen Zahlen Q displaystyle mathbb Q nbsp definierte nichttriviale Absolutbetrag Q R displaystyle vert cdot vert colon mathbb Q to mathbb R nbsp ist entweder zur Betragsfunktion displaystyle vert cdot vert infty nbsp oder zu einem p displaystyle p nbsp adischen Betrag p displaystyle vert cdot vert p nbsp aquivalent Vollstandigkeitssatz von Ostrowski uber vollstandige archimedisch bewertete Korper BearbeitenGelegentlich wird auch ein weiter Satz als Satz von Ostrowski bezeichnet Jeder Korper der bezuglich eines archimedischen Betrages vollstandig ist ist algebraisch und topologisch isomorph zum Korper der reellen Zahlen oder zum Korper der komplexen Zahlen Mit anderen Worten Es gibt keine echte Korpererweiterung der komplexen Zahlen auf welche der komplexe Absolutbetrag archimedisch fortgesetzt werden konnte Ostrowski selbst bezeichnete diesen Satz als Vollstandigkeitssatz Beide Satze von Ostrowski stammen aus seiner Arbeit die 1918 in den Acta Mathematica Band 41 1918 veroffentlicht wurde Unterschrieben ist sie jedoch schon mit der Datumsangabe Marburg an der Lahn April 1916 Aus heutiger Sicht verallgemeinert der Satzes von Gelfand Mazur diesen Satz von Ostrowski in zweierlei Hinsicht Zum einen erfullt ein archimedischer Betrag eine strengere Bedingung als die fur den Satz von Gelfand Mazur vorausgesetzte Norm einer Banachalgebra an die Stelle der Submultiplikativitat einer Norm tritt die Multiplikativitat des Absolutbetrages und zum anderen mussen Banachalgebren nicht kommutativ sein Der Satz von Gelfand Mazur kann kurz und elegant mit transfiniten Methoden Satz von Hahn Banach also mit dem Lemma von Zorn bewiesen werden Beweis und Folgerungen Bearbeiten Aus dem Vollstandigkeitssatz von Ostrowski und erst recht aus dem Satz von Gelfand Mazur lasst sich der Fundamentalsatz der Algebra folgern Dort ist daher auch der Beweis des Vollstandigkeitssatzes von Ostrowski zu finden Verallgemeinerungen des Vollstandigkeitssatzes Bearbeiten Der Satz von Gelfand Tornheim betrachtet kommutative komplexe Algebren mit Einselement die als reelle Algebren normiert sind und trifft die Aussage dass ihre Elemente stets Spektralwerte haben Der Satz lasst sich leicht auf nicht kommutative Algebren ausweiten und impliziert den Satz von Gelfand Mazur Der Satz von Gelfand Mazur besagt dass eine komplexe Banachalgebren mit Eins die zugleich ein Schiefkorper ist eindimensional ist das heisst mit C displaystyle mathbb C nbsp identifiziert werden kann A C 1 A displaystyle mathbb A mathbb C 1 mathbb A nbsp Infolgedessen ist sie notwendig kommutativ Anmerkungen Bearbeiten Das adjektivische Suffix adisch ruhrt offenbar von griechischen Adjektiva wie dyadisch dekadisch her Fur p 2 3 5 7 11 13 displaystyle p 2 3 5 7 11 13 nbsp etc konnte man also von dyadisch triadisch pentadisch heptadisch hendekadisch tridekadisch etc sprechen Literatur BearbeitenAlexander M Ostrowski Uber einige Losungen der Funktionalgleichung f x f y f x y displaystyle varphi x varphi y varphi xy nbsp In Acta Mathematica 41 1918 April 1916 S 271 284 abgerufen am 6 Januar 2023 Emil Artin Algebraic numbers and algebraic functions I Institute for Mathematics and Mechanics New York University New York 1951 Edwin Weiss Algebraic number theory McGraw Hill Book Co Inc New York San Francisco Toronto London 1963 A C M van Rooij Non Archimedean functional analysis Monographs and Textbooks in Pure and Applied Math 51 Marcel Dekker Inc New York 1978 ISBN 0 8247 6556 7 Fernando Q Gouvea p adic numbers An introduction Universitext Springer Verlag Berlin 1993 ISBN 3 540 56844 1 Reinhold Baer Halle und Helmut Hasse Marburg Zusammenhang und Dimension topologischer Korperraume In Journal fur die reine und angewandte Mathematik Crelle Journal Band 167 1931 5 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