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Satz von Milnor Thom Im mathematischen Teilgebiet der algebraischen Geometrie gibt der eine Abschätzung für die Anzahl d

Satz von Milnor-Thom

Im mathematischen Teilgebiet der algebraischen Geometrie gibt der Satz von Milnor-Thom eine Abschätzung für die Anzahl der Zusammenhangskomponenten der Nullstellenmenge eines Polynoms und allgemeiner für die Summe der Betti-Zahlen der Nullstellenmenge.

Nullstellenmengen von Polynomen Bearbeiten

Es sei ein Polynom in Variablen vom Grad . Der Satz von Milnor-Thom gibt Abschätzungen für die Topologie der Nullstellenmenge

genauer gesagt für die Summe der Betti-Zahlen .

Weil die Anzahl der Zusammenhangskomponenten von gleich der 0-ten Betti-Zahl ist und alle Betti-Zahlen nichtnegativ sind, gilt offensichtlich

und man erhält aus dem Satz von Milnor-Thom insbesondere eine Abschätzung für die Anzahl der Zusammenhangskomponenten.

Die Ungleichungen Bearbeiten

John Milnor betrachtete in seiner 1964 geschriebenen Arbeit etwas allgemeiner algebraische Varietäten definiert durch Polynome , jedes vom Grad und bewies, dass die Summe ihrer Betti-Zahlen die Ungleichung

erfüllt. Für den Fall, dass durch polynomielle Ungleichungen definiert wird, bewies er

mit . Weiterhin bewies er auch Ungleichungen für komplexe algebraische Varietäten und für projektive Varietäten.

René Thom hatte in seiner 1965 veröffentlichten, aber bereits früher geschriebenen Arbeit für die Nullstellenmenge eines Polynoms vom Grad die Abschätzung bewiesen. Beide Beweise, von Milnor und von Thom, benutzten Morse-Theorie.

Nolan Wallach gab 1996 eine verbesserte Abschätzung für den Fall nichtsingulärer Hyperflächen: Wenn ein Polynom vom Grad und ein regulärer Wert von ist, dann gilt für die Summe der Betti-Zahlen von die Ungleichung

Literatur Bearbeiten

  • Thom: Sur l'homologie des variétés algébriques réelles. Differential and Combinatorial Topology (A Symposium in Honor of Marston Morse) pp. 255–265 Princeton Univ. Press, Princeton, N.J. (1965) Online
  • Milnor: On the Betti numbers of real varieties. Proc. Amer. Math. Soc. 15, 275–280 (1964), JSTOR:2034050.
  • Wallach: On a theorem of Milnor and Thom in: Topics in Geometry (Simon Gindikin, editor), 331–348, Progr. Nonlinear Differential Equations Appl., 20, Birkhäuser Boston, Boston, MA, 1996. Online MR1390322
  • Jacek Bochnak, Michel Coste, Marie-Françoise Roy: Real Algebraic Geometry, Springer 1998, Kapitel 11.5 (Der Satz ist auf S. 284)
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Im mathematischen Teilgebiet der algebraischen Geometrie gibt der Satz von Milnor Thom eine Abschatzung fur die Anzahl der Zusammenhangskomponenten der Nullstellenmenge eines Polynoms und allgemeiner fur die Summe der Betti Zahlen der Nullstellenmenge Nullstellenmengen von Polynomen BearbeitenEs sei P R x 1 x n displaystyle P in mathbb R left x 1 ldots x n right nbsp ein Polynom in n displaystyle n nbsp Variablen vom Grad k displaystyle k nbsp Der Satz von Milnor Thom gibt Abschatzungen fur die Topologie der Nullstellenmenge A x R n P x 0 R n displaystyle A left x in mathbb R n P x 0 right subset mathbb R n nbsp genauer gesagt fur die Summe der Betti Zahlen b i A displaystyle b i A nbsp Weil die Anzahl der Zusammenhangskomponenten von A displaystyle A nbsp gleich der 0 ten Betti Zahl b 0 A displaystyle b 0 A nbsp ist und alle Betti Zahlen nichtnegativ sind gilt offensichtlich Zusammenhangskomponenten von A b 0 A b 0 A b 1 A b n A displaystyle sharp left text Zusammenhangskomponenten von A right b 0 A leq b 0 A b 1 A ldots b n A nbsp und man erhalt aus dem Satz von Milnor Thom insbesondere eine Abschatzung fur die Anzahl der Zusammenhangskomponenten Die Ungleichungen BearbeitenJohn Milnor betrachtete in seiner 1964 geschriebenen Arbeit etwas allgemeiner algebraische Varietaten V R n displaystyle V subset mathbb R n nbsp definiert durch p displaystyle p nbsp Polynome f i 0 i 1 p displaystyle f i 0 i 1 ldots p nbsp jedes vom Grad k displaystyle leq k nbsp und bewies dass die Summe ihrer Betti Zahlen die Ungleichung b 0 V b 1 V b n V k 2 k 1 n 1 displaystyle b 0 V b 1 V ldots b n V leq k 2k 1 n 1 nbsp erfullt Fur den Fall dass V displaystyle V nbsp durch polynomielle Ungleichungen f i 0 i 1 p displaystyle f i geq 0 i 1 ldots p nbsp definiert wird bewies er b 0 V b 1 V b n V 1 2 2 d 1 d n 1 displaystyle b 0 V b 1 V ldots b n V leq frac 1 2 2 d 1 d n 1 nbsp mit d d e g f 1 d e g f p displaystyle d deg f 1 ldots deg f p nbsp Weiterhin bewies er auch Ungleichungen fur komplexe algebraische Varietaten V C n displaystyle V subset mathbb C n nbsp und fur projektive Varietaten Rene Thom hatte in seiner 1965 veroffentlichten aber bereits fruher geschriebenen Arbeit fur die Nullstellenmenge A R n displaystyle A subset mathbb R n nbsp eines Polynoms vom Grad k displaystyle k nbsp die Abschatzung b 0 A b 1 A b n A 2 k n displaystyle b 0 A b 1 A ldots b n A leq 2k n nbsp bewiesen Beide Beweise von Milnor und von Thom benutzten Morse Theorie Nolan Wallach gab 1996 eine verbesserte Abschatzung fur den Fall nichtsingularer Hyperflachen Wenn f R n R displaystyle f colon mathbb R n to mathbb R nbsp ein Polynom vom Grad k displaystyle k nbsp und 0 displaystyle 0 nbsp ein regularer Wert von f displaystyle f nbsp ist dann gilt fur die Summe der Betti Zahlen von A f 1 0 displaystyle A f 1 0 nbsp die Ungleichung b 0 A b 1 A b n A k n displaystyle b 0 A b 1 A ldots b n A leq k n nbsp Literatur BearbeitenThom Sur l homologie des varietes algebriques reelles Differential and Combinatorial Topology A Symposium in Honor of Marston Morse pp 255 265 Princeton Univ Press Princeton N J 1965 Online Milnor On the Betti numbers of real varieties Proc Amer Math Soc 15 275 280 1964 JSTOR 2034050 Wallach On a theorem of Milnor and Thom in Topics in Geometry Simon Gindikin editor 331 348 Progr Nonlinear Differential Equations Appl 20 Birkhauser Boston Boston MA 1996 Online MR1390322 Jacek Bochnak Michel Coste Marie Francoise Roy Real Algebraic Geometry Springer 1998 Kapitel 11 5 Der Satz ist auf S 284 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Satz von Milnor Thom amp oldid 227943607