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Satz von Hartman Grobman Der auch bekannt als Linearisierungssatz besagt dass das Verhalten eines dynamischen Systems in

Satz von Hartman-Grobman

Der Satz von Hartman-Grobman, auch bekannt als Linearisierungssatz, besagt, dass das Verhalten eines dynamischen Systems in Form eines Autonomen Differentialgleichungssystems in der Umgebung eines hyperbolischen Fixpunkts dem Verhalten des um diesen Punkt linearisierten Systems gleicht. Hyperbolischer Fixpunkt bedeutet, dass keiner der Eigenwerte des linearisierten Systems den Realteil Null hat.

Benannt ist der Satz nach dem US-Amerikaner Philip Hartman und dem Russen David Grobman, die den Satz unabhängig voneinander 1960 bzw. 1959 veröffentlichten.

Nach dem Satz kann man in der Umgebung eines solchen Fixpunkts also lokal das Verhalten eines nichtlinearen Systems aus dem der linearisierten Gleichungen erschließen.

Satz Bearbeiten

Das Differentialgleichungssystem ist nach Entwicklung mit der Taylor-Formel um den Fixpunkt, der bei sei, durch die Abbildung:

gegeben mit den nichtlinearen Resttermen

und den konstanten Matrizen und . Der Vektorraum ist schon so aufgeteilt, dass die Eigenwerte mit positivem Realteil des linearisierten Systems in B sind, die Eigenwerte mit negativem Realteil in A:

Dann gibt es einen Homöomorphismus

zwischen einer Umgebung von auf eine Umgebung von so, dass

mit

Etwas allgemeiner lässt sich ein System der Form mit durch eine lineare Koordinatentransformation immer auf obige Form bringen, falls alle Eigenwerte von nichtverschwindenden Realteil haben.

Beispiel Bearbeiten

Sei

Der einzige Fixpunkt des Systems ist . Dann ist

die Jacobi-Matrix an dieser Stelle, mit die Linearisierung des Systems entsprechend

also

Die Eigenwerte von ,

haben Realteile verschieden von null, somit ist ein hyperbolischer Fixpunkt und die Voraussetzungen des Satzes von Hartman-Grobman sind erfüllt. Da die Eigenwerte unterschiedliches Vorzeichen aufweisen, handelt es sich um einen Sattelpunkt und damit einen instabilen Fixpunkt. Nach Satz gilt dies nun nicht nur für das linearisierte, sondern auch für das ursprüngliche System.

Literatur Bearbeiten

  • D. M. Grobman: О гомеоморфизме систем дифференциальных уравнений. Dokl. Akad. Nauk SSSR 128, 1959, S. 880–881.
  • Philip Hartman: A Lemma in the Theory of Structural Stability of Differential equations. (PDF; 800 kB)In: Proc. Amer. Math. Soc., 11, 1960, S. 610–620.
  • Gerald Teschl: Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems (= Graduate Studies in Mathematics. Band 140). American Mathematical Society, Providence 2012, ISBN 978-0-8218-8328-0 (mat.univie.ac.a).
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Veröffentlichungsdatum:
Der Satz von Hartman Grobman auch bekannt als Linearisierungssatz besagt dass das Verhalten eines dynamischen Systems in Form eines Autonomen Differentialgleichungssystems in der Umgebung eines hyperbolischen Fixpunkts dem Verhalten des um diesen Punkt linearisierten Systems gleicht Hyperbolischer Fixpunkt bedeutet dass keiner der Eigenwerte des linearisierten Systems den Realteil Null hat Benannt ist der Satz nach dem US Amerikaner Philip Hartman und dem Russen David Grobman die den Satz unabhangig voneinander 1960 bzw 1959 veroffentlichten Nach dem Satz kann man in der Umgebung eines solchen Fixpunkts also lokal das Verhalten eines nichtlinearen Systems aus dem der linearisierten Gleichungen erschliessen Satz BearbeitenDas Differentialgleichungssystem ist nach Entwicklung mit der Taylor Formel um den Fixpunkt der bei x y 0 0 displaystyle x y 0 0 nbsp sei durch die Abbildung T x y x y displaystyle T x y to dot x dot y nbsp T x A x X x y y B y Y x y displaystyle T dot x Ax X x y dot y By Y x y nbsp gegeben mit den nichtlinearen Resttermen X Y C 1 displaystyle X Y in C 1 nbsp X Y o x y displaystyle X Y o left x right left y right nbsp fur x y 0 displaystyle x y to 0 nbsp und den konstanten Matrizen A displaystyle A nbsp und B displaystyle B nbsp Der Vektorraum ist schon so aufgeteilt dass die n displaystyle n nbsp Eigenwerte b 1 b n displaystyle b 1 b nu nbsp mit positivem Realteil des linearisierten Systems in B sind die m displaystyle m nbsp Eigenwerte a 1 a m displaystyle a 1 a mu nbsp mit negativem Realteil in A R e a m lt 0 lt R e b n displaystyle Re a m lt 0 lt Re b n nbsp fur 1 m m displaystyle 1 leqq m leqq mu nbsp bzw 1 n n displaystyle 1 leqq n leqq nu nbsp Dann gibt es einen Homoomorphismus R u U x y v V x y displaystyle R u U x y v V x y nbsp zwischen einer Umgebung von x y 0 displaystyle x y 0 nbsp auf eine Umgebung von u v 0 displaystyle u v 0 nbsp so dass R T R 1 L displaystyle RTR 1 L nbsp mit L u A u v B v displaystyle L dot u Au dot v Bv nbsp Etwas allgemeiner lasst sich ein System der Form x C x Z x displaystyle dot x Cx Z x nbsp mit Z o x displaystyle Z o left x right nbsp durch eine lineare Koordinatentransformation immer auf obige Form bringen falls alle Eigenwerte von C displaystyle C nbsp nichtverschwindenden Realteil haben Beispiel BearbeitenSei T x x y y x 2 displaystyle T dot x x dot y y x 2 nbsp Der einzige Fixpunkt des Systems ist 0 0 displaystyle 0 0 nbsp Dann ist J T 0 0 1 0 0 1 displaystyle J T 0 0 begin pmatrix 1 amp 0 0 amp 1 end pmatrix nbsp die Jacobi Matrix an dieser Stelle mit r u v displaystyle r u v nbsp die Linearisierung des Systems entsprechend r 1 0 0 1 r displaystyle dot r begin pmatrix 1 amp 0 0 amp 1 end pmatrix r nbsp also T u u v v displaystyle tilde T dot u u dot v v nbsp Die Eigenwerte von J T 0 0 displaystyle J T 0 0 nbsp l 1 1 l 2 1 displaystyle lambda 1 1 lambda 2 1 nbsp haben Realteile verschieden von null somit ist 0 0 displaystyle 0 0 nbsp ein hyperbolischer Fixpunkt und die Voraussetzungen des Satzes von Hartman Grobman sind erfullt Da die Eigenwerte unterschiedliches Vorzeichen aufweisen handelt es sich um einen Sattelpunkt und damit einen instabilen Fixpunkt Nach Satz gilt dies nun nicht nur fur das linearisierte sondern auch fur das ursprungliche System Literatur BearbeitenD M Grobman O gomeomorfizme sistem differencialnyh uravnenij Dokl Akad Nauk SSSR 128 1959 S 880 881 Philip Hartman A Lemma in the Theory of Structural Stability of Differential equations PDF 800 kB In Proc Amer Math Soc 11 1960 S 610 620 Gerald Teschl Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems Graduate Studies in Mathematics Band 140 American Mathematical Society Providence 2012 ISBN 978 0 8218 8328 0 mat univie ac a Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Satz von Hartman Grobman amp oldid 223062616