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Satz von Gelfond Schneider Mithilfe des Satzes von Gelfond Schneider konnte zum ersten Mal eine umfangreiche Klasse von

Satz von Gelfond-Schneider

Mithilfe des Satzes von Gelfond-Schneider konnte zum ersten Mal eine umfangreiche Klasse von transzendenten Zahlen erzeugt werden. Der Zusammenhang wurde zuerst 1934 von dem russischen Mathematiker Alexander Gelfond und unabhängig davon wenig später von Theodor Schneider gefunden und bewiesen. Der Satz beantwortet Hilberts siebtes Problem.

Aussage des Satzes Bearbeiten

Es seien und algebraische Zahlen (mit ). sei darüber hinaus nicht rational.

Dann besagt der Satz von Gelfond-Schneider:

Für und dürfen auch komplexe Zahlen eingesetzt werden. Dann gilt . Der komplexe Logarithmus ist nur bis auf Vielfache von eindeutig bestimmt. Der Satz ist für jede Wahl des Zweigs des Logarithmus richtig.

Er lässt sich auch so formulieren, dass für Logarithmen zweier algebraischer Zahlen aus der linearen Unabhängigkeit über den rationalen Zahlen die lineare Unabhängigkeit über den algebraischen Zahlen folgt. In dieser Formulierung ist der Satz von Gelfond-Schneider in den 1960er Jahren von Alan Baker erheblich erweitert worden.

Der Satz von Baker lautet: Wenn die algebraische Zahlen sind, sodass über den rationalen Zahlen linear unabhängig sind, dann sind linear unabhängig über den algebraischen Zahlen.

Anwendungen Bearbeiten

Aus dem Satz von Gelfond-Schneider folgt unmittelbar die Transzendenz der folgenden Zahlen:

  • Die Gelfond-Schneider-Konstante sowie
  • Die Gelfond-Konstante , da . Man beachte, dass keine rationale Zahl ist.
  • Die Zahl , die wegen eine reelle Zahl ist.
  • ist transzendent, denn sonst erhält man durch Einsetzen von , (wobei b irrational ist) einen Widerspruch

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • Alexander Gelfond: On Hilbert's seventh problem. In: Doklady Akademii Nauk SSSR. Izvestija Akedemii Nauk, Moskau 2.1934, S. 177–182. ISSN 0002-3264
  • Th. Schneider: Transzendenzuntersuchungen periodischer Funktionen. Bd. I. Transzendenz von Potenzen. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik. de Gruyter, Berlin 172.1934, S. 177–182. ISSN 0075-4102

Weblinks Bearbeiten

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Mithilfe des Satzes von Gelfond Schneider konnte zum ersten Mal eine umfangreiche Klasse von transzendenten Zahlen erzeugt werden Der Zusammenhang wurde zuerst 1934 von dem russischen Mathematiker Alexander Gelfond und unabhangig davon wenig spater von Theodor Schneider gefunden und bewiesen Der Satz beantwortet Hilberts siebtes Problem Inhaltsverzeichnis 1 Aussage des Satzes 2 Anwendungen 3 Siehe auch 4 Literatur 5 WeblinksAussage des Satzes BearbeitenEs seien a displaystyle alpha nbsp und b displaystyle beta nbsp algebraische Zahlen mit a 0 1 displaystyle alpha neq 0 1 nbsp b displaystyle beta nbsp sei daruber hinaus nicht rational Dann besagt der Satz von Gelfond Schneider a b displaystyle alpha beta nbsp ist transzendent Fur a displaystyle alpha nbsp und b displaystyle beta nbsp durfen auch komplexe Zahlen eingesetzt werden Dann gilt a b exp b ln a displaystyle alpha beta exp beta cdot ln alpha nbsp Der komplexe Logarithmus ist nur bis auf Vielfache von 2 p i displaystyle 2 pi mathrm i nbsp eindeutig bestimmt Der Satz ist fur jede Wahl des Zweigs des Logarithmus richtig Er lasst sich auch so formulieren dass fur Logarithmen zweier algebraischer Zahlen aus der linearen Unabhangigkeit uber den rationalen Zahlen die lineare Unabhangigkeit uber den algebraischen Zahlen folgt In dieser Formulierung ist der Satz von Gelfond Schneider in den 1960er Jahren von Alan Baker erheblich erweitert worden Der Satz von Baker lautet Wenn die a i 0 displaystyle a i neq 0 nbsp algebraische Zahlen sind sodass 1 log a 1 log a n displaystyle 1 log a 1 cdot cdot cdot log a n nbsp uber den rationalen Zahlen linear unabhangig sind dann sind 1 log a 1 log a n displaystyle 1 log a 1 cdot cdot cdot log a n nbsp linear unabhangig uber den algebraischen Zahlen Anwendungen BearbeitenAus dem Satz von Gelfond Schneider folgt unmittelbar die Transzendenz der folgenden Zahlen Die Gelfond Schneider Konstante 2 2 displaystyle 2 sqrt 2 nbsp sowie 2 2 displaystyle sqrt 2 sqrt 2 nbsp Die Gelfond Konstante e p displaystyle e pi nbsp da e p e i p i 1 i displaystyle e pi e mathrm i pi mathrm i 1 mathrm i nbsp Man beachte dass i displaystyle mathrm i nbsp keine rationale Zahl ist Die Zahl i i displaystyle rm i i nbsp die wegen i i e i p 2 i e p 2 0 207 879 displaystyle rm i i left e mathrm i pi 2 right mathrm i e pi 2 approx 0 207879 nbsp eine reelle Zahl ist log 2 log 3 displaystyle frac log 2 log 3 nbsp ist transzendent denn sonst erhalt man durch Einsetzen von a 3 displaystyle a 3 nbsp b log 2 log 3 displaystyle b frac log 2 log 3 nbsp wobei b irrational ist einen WiderspruchSiehe auch BearbeitenSatz von Lindemann Weierstrass Vermutung von Schanuel die diesen Satz verallgemeinertLiteratur BearbeitenAlexander Gelfond On Hilbert s seventh problem In Doklady Akademii Nauk SSSR Izvestija Akedemii Nauk Moskau 2 1934 S 177 182 ISSN 0002 3264 Th Schneider Transzendenzuntersuchungen periodischer Funktionen Bd I Transzendenz von Potenzen In Journal fur die reine und angewandte Mathematik de Gruyter Berlin 172 1934 S 177 182 ISSN 0075 4102Weblinks BearbeitenBeweis auf Englisch PDF Datei 89 kB Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Satz von Gelfond Schneider amp oldid 224660205