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Satz von Bonnet Myers Der Satz von Myers nach Sumner Byron Myers ist eine mathematische Aussage aus dem Gebiet der Riema

Satz von Bonnet-Myers

Der Satz von Myers (nach Sumner Byron Myers) ist eine mathematische Aussage aus dem Gebiet der Riemann'schen Geometrie, einem Teilgebiet der Differentialgeometrie. Diese Aussage kann als Verallgemeinerung des Satzes von Bonnet verstanden werden und wird deshalb auch Satz von Bonnet-Myers genannt. Der Vollständigkeit halber wird hier erst der Satz von Bonnet formuliert, welcher nach dem Mathematiker Pierre Ossian Bonnet benannt ist.

Durchmesser Bearbeiten

Um die Sätze von Bonnet und Myers formulieren zu können, wird zuerst der Begriff des Durchmessers einer Riemann'schen Mannigfaltigkeit definiert. Sei eine Riemann'sche Mannigfaltigkeit mit der Abstandsfunktion , zur Definition siehe hier. Dann nennt man

ihren Durchmesser. Es ist zu beachten, dass der Durchmesser der Sphäre mit Radius nicht sondern ist.

Satz von Bonnet Bearbeiten

Sei eine vollständige, zusammenhängende Riemann'sche Mannigfaltigkeit. Alle Schnittkrümmungen seien durch eine positive Konstante nach unten beschränkt. Dann ist ein kompakter Raum mit endlicher Fundamentalgruppe und der Durchmesser der Riemann'schen Mannigfaltigkeit ist höchstens .

Satz von Myers Bearbeiten

Sei eine vollständige, zusammenhängende, n-dimensionale Riemann'sche Mannigfaltigkeit, für welche der Ricci-Tensor für alle die Ungleichung

erfüllt. Dann ist kompakt, hat eine endliche Fundamentalgruppe und der Durchmesser ist höchstens .

Anmerkungen Bearbeiten

  • Der Satz von Myers ist eine Verallgemeinerung des Satzes von Bonnet, da aus einer strikt positiven Schnittkrümmung die strikt positive Ricci-Krümmung folgt.
  • Das Paraboloid ist zusammenhängend und mit der durch das Skalarprodukt des induzierten riemannschen Metrik vollständig. Außerdem hat es positive Schnittkrümmung, ist jedoch nicht kompakt. Das Paraboloid erfüllt die Voraussetzungen des Satzes von Bonnet deshalb nicht, weil sich seine Schnittkrümmung beliebig an Null annähert. Dieses Beispiel zeigt also, dass die Forderung einer positiven Schnittkrümmung im Satz von Bonnet nicht ausreichen würde.
  • Bemerkenswert an den Sätzen von Bonnet und Myers ist, dass sie einen Zusammenhang zwischen lokalen geometrischen und globalen topologischen Eigenschaften herstellen. So benötigt man die Riemann'sche Metrik für die Definition des entsprechenden Krümmungstensors. Die globalen, topologischen Eigenschaften sind hier die Kompaktheit der Mannigfaltigkeit und die Endlichkeit der Fundamentalgruppe. Diese topologischen Eigenschaften sind in ihrer Definition unabhängig von der Riemann'schen Metrik oder der differenzierbaren Struktur und hängen auch nicht vom Punkt der Mannigfaltigkeit ab. Solche Sätze werden daher local-global-Theoreme genannt. Andere solcher lokal/global-Aussagen sind der Satz von Cartan-Hadamard und der Satz von Gauß-Bonnet.
  • Eine Anwendung findet der Satz von Myers bei Einstein'schen Mannigfaltigkeiten. Für eine Einstein'sche Mannigfaltigkeit mit positiver Skalarkrümmung erfüllt die Voraussetzungen des Satzes. Daraus folgt sofort, dass nicht kompakte Einstein'sche Mannigfaltigkeiten negative oder verschwindende Skalarkrümmung haben müssen.

Literatur Bearbeiten

  • John M. Lee: Riemannian Manifolds. An Introduction to Curvature. Springer, New York 1997, ISBN 0387983228
  • Manfredo Perdigão do Carmo: Riemannian Geometry, Birkhäuser, Boston 1992, ISBN 0-8176-3490-8
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Der Satz von Myers nach Sumner Byron Myers ist eine mathematische Aussage aus dem Gebiet der Riemann schen Geometrie einem Teilgebiet der Differentialgeometrie Diese Aussage kann als Verallgemeinerung des Satzes von Bonnet verstanden werden und wird deshalb auch Satz von Bonnet Myers genannt Der Vollstandigkeit halber wird hier erst der Satz von Bonnet formuliert welcher nach dem Mathematiker Pierre Ossian Bonnet benannt ist Inhaltsverzeichnis 1 Durchmesser 2 Satz von Bonnet 3 Satz von Myers 4 Anmerkungen 5 LiteraturDurchmesser BearbeitenUm die Satze von Bonnet und Myers formulieren zu konnen wird zuerst der Begriff des Durchmessers einer Riemann schen Mannigfaltigkeit definiert Sei M g displaystyle M g nbsp eine Riemann sche Mannigfaltigkeit mit der Abstandsfunktion d displaystyle d nbsp zur Definition siehe hier Dann nennt man diam M sup d p q p q M displaystyle operatorname diam M sup d p q mid p q in M nbsp ihren Durchmesser Es ist zu beachten dass der Durchmesser der Sphare mit Radius R displaystyle R nbsp nicht 2 R displaystyle 2R nbsp sondern p R displaystyle pi R nbsp ist Satz von Bonnet BearbeitenSei M displaystyle M nbsp eine vollstandige zusammenhangende Riemann sche Mannigfaltigkeit Alle Schnittkrummungen seien durch eine positive Konstante 1 R 2 displaystyle textstyle frac 1 R 2 nbsp nach unten beschrankt Dann ist M displaystyle M nbsp ein kompakter Raum mit endlicher Fundamentalgruppe und der Durchmesser der Riemann schen Mannigfaltigkeit ist hochstens p R displaystyle pi R nbsp Satz von Myers BearbeitenSei M g displaystyle M g nbsp eine vollstandige zusammenhangende n dimensionale Riemann sche Mannigfaltigkeit fur welche der Ricci Tensor fur alle V T M displaystyle V in TM nbsp die Ungleichung Ric V V n 1 R 2 g V V displaystyle operatorname Ric V V geq frac n 1 R 2 g V V nbsp erfullt Dann ist M displaystyle M nbsp kompakt hat eine endliche Fundamentalgruppe und der Durchmesser ist hochstens p R displaystyle pi R nbsp Anmerkungen BearbeitenDer Satz von Myers ist eine Verallgemeinerung des Satzes von Bonnet da aus einer strikt positiven Schnittkrummung die strikt positive Ricci Krummung folgt Das Paraboloid x y z R 3 z x 2 y 2 displaystyle x y z in mathbb R 3 mid z x 2 y 2 nbsp ist zusammenhangend und mit der durch das Skalarprodukt des R 3 displaystyle mathbb R 3 nbsp induzierten riemannschen Metrik vollstandig Ausserdem hat es positive Schnittkrummung ist jedoch nicht kompakt Das Paraboloid erfullt die Voraussetzungen des Satzes von Bonnet deshalb nicht weil sich seine Schnittkrummung beliebig an Null annahert Dieses Beispiel zeigt also dass die Forderung einer positiven Schnittkrummung im Satz von Bonnet nicht ausreichen wurde Bemerkenswert an den Satzen von Bonnet und Myers ist dass sie einen Zusammenhang zwischen lokalen geometrischen und globalen topologischen Eigenschaften herstellen So benotigt man die Riemann sche Metrik fur die Definition des entsprechenden Krummungstensors Die globalen topologischen Eigenschaften sind hier die Kompaktheit der Mannigfaltigkeit und die Endlichkeit der Fundamentalgruppe Diese topologischen Eigenschaften sind in ihrer Definition unabhangig von der Riemann schen Metrik oder der differenzierbaren Struktur und hangen auch nicht vom Punkt der Mannigfaltigkeit ab Solche Satze werden daher local global Theoreme genannt Andere solcher lokal global Aussagen sind der Satz von Cartan Hadamard und der Satz von Gauss Bonnet Eine Anwendung findet der Satz von Myers bei Einstein schen Mannigfaltigkeiten Fur eine Einstein sche Mannigfaltigkeit M g displaystyle M g nbsp mit positiver Skalarkrummung S displaystyle S nbsp erfullt Ric X Y 1 n S g X Y displaystyle textstyle operatorname Ric X Y frac 1 n Sg X Y nbsp die Voraussetzungen des Satzes Daraus folgt sofort dass nicht kompakte Einstein sche Mannigfaltigkeiten negative oder verschwindende Skalarkrummung haben mussen Literatur BearbeitenJohn M Lee Riemannian Manifolds An Introduction to Curvature Springer New York 1997 ISBN 0387983228 Manfredo Perdigao do Carmo Riemannian Geometry Birkhauser Boston 1992 ISBN 0 8176 3490 8 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Satz von Bonnet Myers amp oldid 199857179