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Satz von Moskovitz-Dines

Der Satz von Moskovitz-Dines ist ein mathematischer Lehrsatz, der die Frage der Charakterisierung konvexer Teilmengen topologischer Vektorräume behandelt. Er entstammt einer Arbeit der beiden Mathematiker David Moskovitz und Lloyd Lyne Dines aus dem Jahr 1939 und ist eng verwandt mit zwei anderen Sätzen, die auf Stanisław Mazur bzw. auf Errett Bishop und Robert Ralph Phelps zurückgehen.

Formulierung des Satzes Bearbeiten

Der Monographie von Jürg T. Marti folgend, lässt sich der Satz wie folgt formulieren:

Verwandte Sätze Bearbeiten

Der Satz von Moskovitz-Dines ist (für separable Banachräume) in einem gewissen Sinne die Umkehrung eines Satzes von Stanisław Mazur aus dem Jahre 1933, der (in Anschluss an Marti) folgendermaßen darstellbar ist:

Damit erhält man folgendes Korollar:

In diesem Zusammenhang ist ein Satz von Bishop und Phelps (englisch Bishop-Phelps support point theorem) aus dem Jahre 1961 erwähnenswert, der (zumindest für den Fall der Banachräume) die Bedeutung der Stützpunkte im Zusammenhang mit konvexen Mengen herausarbeitet:

Erläuterungen und Anmerkungen Bearbeiten

  • Ein Stützpunkt ist genau dann ein regulärer Punkt von , wenn jedes seiner zugehörigen Stützfunktionale immer nur als positives Vielfaches eines jeden anderen seiner zugehörigen Stützfunktionale vorkommt.
  • Die Menge der regulären Punkte von ist also eine Teilmenge des Randes von und wird mit bezeichnet.
  • Moskovitz und Dines haben ihren Satz ursprünglich nur für reelle Hilberträume bewiesen. Wie Marti jedoch ausführt, lässt sich der Beweis ohne große Modifikationen auf beliebige topologische -Vektorräume ausdehnen.
  • Der obige Satz von Bishop und Phelps ist verwandt, wenngleich nicht identisch mit demjenigen Resultat, welches in der englischsprachigen Fachliteratur als Bishop-Phelps theorem oder als Bishop-Phelps subreflexivity theorem bekannt ist und demzufolge jeder Banachraum ein subreflexiver Raum ist. Das Konzept des subreflexiven Raums geht auf Phelps zurück und stellt eine Abschwächung des Konzepts der reflexiven Raums dar. Dabei wird ein normierter Raum als subreflexiv bezeichnet, wenn in seinem Dualraum die Menge derjenigen linearen Funktionale , welche ihre Operatornorm in einem Punkte der Einheitskugel annehmen, dort eine dichte Teilmenge bilden.

Literatur Bearbeiten

  • Errett Bishop, Robert R. Phelps: The support functionals of a convex set. In: Victor L. Klee (Hrsg.): Convexity. Proceedings of the seventh Symposium in Pure Mathematics of the American Mathematical Society, held at the University of Washington, Seattle, Washington June 13–15, 1961 (= Proceedings of Symposia in Pure Mathematics. 7). American Mathematical Society, Providence R.I. 1963, S. 27–35, (MR0151352).
  • Jürg T. Marti: Konvexe Analysis (= Lehrbücher und Monographien aus dem Gebiet der Exakten Wissenschaften, Mathematische Reihe. Band 54). Birkhäuser, Basel/ Stuttgart 1977, ISBN 3-7643-0839-7 (MR0511737).
  • Stanisław Mazur: Über konvexe Mengen in linearen normierten Räumen. In: Studia Mathematica. Band 4, 1933, S. 70–84, doi:10.4064/sm-4-1-70-84.
  • Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory (= Graduate Texts in Mathematics. Band 183). Springer, New York NY u. a. 1998, ISBN 0-387-98431-3 (MR1650235 ).
  • David Moskovitz, Lloyd L. Dines: Convexity in a linear space with an inner product. In: Duke Mathematical Journal. Band 5, 1939, S. 520–534 (MR0000349).
  • Albrecht Pietsch: History of Banach Spaces and Linear Operators. Birkhäuser, Boston/ Basel/ Berlin 2007, ISBN 0-8176-4367-2 (MR2300779).

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Marti: Konvexe Analysis. 1977, S. 158–161.
  2. Marti: Konvexe Analysis. 1977, S. 159.
  3. Marti: Konvexe Analysis. 1977, S. 112, S. 160.
  4. Marti: Konvexe Analysis. 1977, S. 160.
  5. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. 1998, S. 275.
  6. Megginson nennt in An Introduction to Banach Space Theory (S. 275) das Jahr 1963, in dem der Band VII der Proceedings of Symposia in Pure Mathematics erschien. Die Tagung selbst fand im Jahre 1961 statt.
  7. Marti: Konvexe Analysis. 1977, S. 70.
  8. ↑ Marti: Konvexe Analysis. 1977, S. 66, S. 108.
  9. Marti: Konvexe Analysis. 1977, S. 158.
  10. Pietsch: History of Banach Spaces and Linear Operators. 2007, S. 81.
  11. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. 1998, S. 270–279.
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Der Satz von Moskovitz Dines ist ein mathematischer Lehrsatz der die Frage der Charakterisierung konvexer Teilmengen topologischer Vektorraume behandelt Er entstammt einer Arbeit der beiden Mathematiker David Moskovitz und Lloyd Lyne Dines aus dem Jahr 1939 und ist eng verwandt mit zwei anderen Satzen die auf Stanislaw Mazur bzw auf Errett Bishop und Robert Ralph Phelps zuruckgehen 1 Inhaltsverzeichnis 1 Formulierung des Satzes 2 Verwandte Satze 3 Erlauterungen und Anmerkungen 4 Literatur 5 EinzelnachweiseFormulierung des Satzes BearbeitenDer Monographie von Jurg T Marti folgend lasst sich der Satz wie folgt formulieren 2 Gegeben seien ein topologischer R displaystyle mathbb R nbsp Vektorraum X displaystyle X nbsp sowie eine darin enthaltene abgeschlossene Teilmenge T X displaystyle T subseteq X nbsp welche mindestens einen inneren Punkt besitzen soll Weiterhin genuge T displaystyle T nbsp der Bedingung dass die regularen Punkte von T displaystyle T nbsp eine dichte Teilmenge der Randpunktmenge T displaystyle partial T nbsp bilden Dann gilt T displaystyle T nbsp ist eine konvexe Teilmenge von X displaystyle X nbsp Verwandte Satze BearbeitenDer Satz von Moskovitz Dines ist fur separable Banachraume in einem gewissen Sinne die Umkehrung eines Satzes von Stanislaw Mazur aus dem Jahre 1933 der in Anschluss an Marti folgendermassen darstellbar ist 3 Gegeben seien ein separabler R displaystyle mathbb R nbsp Banachraum X displaystyle X nbsp und darin eine abgeschlossene konvexe Teilmenge T X displaystyle T subseteq X nbsp welche mindestens einen inneren Punkt besitzen soll Dann ist die Menge der regularen Punkte von T displaystyle T nbsp eine dichte Teilmenge der Randpunktmenge T displaystyle partial T nbsp Damit erhalt man folgendes Korollar 4 Ist X displaystyle X nbsp ein separabler Banachraum uber R displaystyle mathbb R nbsp und U X displaystyle U subseteq X nbsp eine darin enthaltene abgeschlossene Umgebung des Nullpunktes so ist U displaystyle U nbsp eine konvexe Teilmenge von X displaystyle X nbsp genau dann wenn die Beziehung r T T displaystyle overline partial r T partial T nbsp gilt In diesem Zusammenhang ist ein Satz von Bishop und Phelps englisch Bishop Phelps support point theorem 5 aus dem Jahre 1961 6 erwahnenswert der zumindest fur den Fall der Banachraume die Bedeutung der Stutzpunkte im Zusammenhang mit konvexen Mengen herausarbeitet 7 Ist T displaystyle T nbsp eine abgeschlossene konvexe Teilmenge eines R displaystyle mathbb R nbsp Banachraums X displaystyle X nbsp so die Menge der Stutzpunkte von T displaystyle T nbsp eine dichte Teilmenge der Randpunktmenge T displaystyle partial T nbsp Erlauterungen und Anmerkungen BearbeitenEin Stutzpunkt p T displaystyle p in partial T nbsp ist genau dann ein regularer Punkt von T displaystyle T nbsp wenn jedes seiner zugehorigen Stutzfunktionale immer nur als positives Vielfaches eines jeden anderen seiner zugehorigen Stutzfunktionale vorkommt 8 Die Menge der regularen Punkte von T displaystyle T nbsp ist also eine Teilmenge des Randes T displaystyle partial T nbsp von T displaystyle T nbsp und wird mit r T displaystyle partial r T nbsp bezeichnet 8 Moskovitz und Dines haben ihren Satz ursprunglich nur fur reelle Hilbertraume bewiesen Wie Marti jedoch ausfuhrt lasst sich der Beweis ohne grosse Modifikationen auf beliebige topologische R displaystyle mathbb R nbsp Vektorraume ausdehnen 9 Der obige Satz von Bishop und Phelps ist verwandt wenngleich nicht identisch mit demjenigen Resultat welches in der englischsprachigen Fachliteratur als Bishop Phelps theorem oder als Bishop Phelps subreflexivity theorem bekannt ist und demzufolge jeder Banachraum ein subreflexiver Raum ist Das Konzept des subreflexiven Raums geht auf Phelps zuruck und stellt eine Abschwachung des Konzepts der reflexiven Raums dar Dabei wird ein normierter Raum X displaystyle X nbsp als subreflexiv bezeichnet wenn in seinem Dualraum X displaystyle X nbsp die Menge derjenigen linearen Funktionale x X displaystyle x in X nbsp welche ihre Operatornorm x displaystyle x nbsp in einem Punkte der Einheitskugel B X X displaystyle B X subset X nbsp annehmen dort eine dichte Teilmenge bilden 10 11 Literatur BearbeitenErrett Bishop Robert R Phelps The support functionals of a convex set In Victor L Klee Hrsg Convexity Proceedings of the seventh Symposium in Pure Mathematics of the American Mathematical Society held at the University of Washington Seattle Washington June 13 15 1961 Proceedings of Symposia in Pure Mathematics 7 American Mathematical Society Providence R I 1963 S 27 35 MR0151352 Jurg T Marti Konvexe Analysis Lehrbucher und Monographien aus dem Gebiet der Exakten Wissenschaften Mathematische Reihe Band 54 Birkhauser Basel Stuttgart 1977 ISBN 3 7643 0839 7 MR0511737 Stanislaw Mazur Uber konvexe Mengen in linearen normierten Raumen In Studia Mathematica Band 4 1933 S 70 84 doi 10 4064 sm 4 1 70 84 Robert E Megginson An Introduction to Banach Space Theory Graduate Texts in Mathematics Band 183 Springer New York NY u a 1998 ISBN 0 387 98431 3 MR1650235 David Moskovitz Lloyd L Dines Convexity in a linear space with an inner product In Duke Mathematical Journal Band 5 1939 S 520 534 MR0000349 Albrecht Pietsch History of Banach Spaces and Linear Operators Birkhauser Boston Basel Berlin 2007 ISBN 0 8176 4367 2 MR2300779 Einzelnachweise Bearbeiten Marti Konvexe Analysis 1977 S 158 161 Marti Konvexe Analysis 1977 S 159 Marti Konvexe Analysis 1977 S 112 S 160 Marti Konvexe Analysis 1977 S 160 Megginson An Introduction to Banach Space Theory 1998 S 275 Megginson nennt in An Introduction to Banach Space Theory S 275 das Jahr 1963 in dem der Band VII der Proceedings of Symposia in Pure Mathematics erschien Die Tagung selbst fand im Jahre 1961 statt Marti Konvexe Analysis 1977 S 70 a b Marti Konvexe Analysis 1977 S 66 S 108 Marti Konvexe Analysis 1977 S 158 Pietsch History of Banach Spaces and Linear Operators 2007 S 81 Megginson An Introduction to Banach Space Theory 1998 S 270 279 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Satz von Moskovitz Dines amp oldid 213052053 Verwandte Satze