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Satz von Bernstein Doetsch Der ist ein Lehrsatz des mathematischen Teilgebiets der Analysis der auf eine Arbeit der beid

Satz von Bernstein-Doetsch

Der Satz von Bernstein-Doetsch ist ein Lehrsatz des mathematischen Teilgebiets der Analysis, der auf eine Arbeit der beiden Mathematiker Felix Bernstein und Gustav Doetsch aus dem Jahre 1915 zurückgeht. Der Satz gibt eine hinreichende Bedingung, unter der gewisse konvexe Funktionen des euklidischen Raums bereits stetig sind.

Formulierung des Satzes Bearbeiten

Der Satz von Bernstein-Doetsch lässt sich angeben wie folgt:

für alle genügen möge.
Weiter gebe es mindestens einen Punkt derart, dass für eine offene Umgebung die Einschränkung nach oben beschränkt sei.
Dann gilt:
ist in jedem Punkt von stetig.

Historische Anmerkung Bearbeiten

Johan Ludwig Jensen hat schon im Jahre 1906 ein Vorläuferresultat zum Satz von Bernstein-Doetsch geliefert, indem er nämlich zeigte, dass der entsprechende Sachverhalt für konvexe Funktionen auf offenen reellen Intervallen gilt.

Folgerungen Bearbeiten

Der Satz von Bernstein-Doetsch zieht unmittelbar das folgende Korollar nach sich:

Darüber hinaus gewinnt man mit dem Satz von Bernstein-Doetsch das folgende grundlegende Resultat, welches der polnische Mathematiker Marek Kuczma in seiner bekannten Monographie An Introduction to the Theory of Functional Equations and Inequalities als The basic theorem betitelt. Dieses besagt:

erfüllt ist.

Die Sätze von Sierpiński und Fréchet Bearbeiten

Auf den polnischen Mathematiker Wacław Sierpiński geht ein Satz zurück, dessen Fragestellung der des Satzes von Bernstein-Doetsch gleicht, wenngleich dessen Beweis auf anderen Methoden beruht. Er lautet:

Der Satz von Sierpiński wiederum führt unmittelbar zu einem Satz, der für den Fall der Dimension schon von dem französischen Mathematiker Maurice Fréchet im Jahre 1913 formuliert wurde:

Verwandtes Resultat für normierte Räume Bearbeiten

Zum Satz von Bernstein-Doetsch gibt es ein verwandtes Resultat, welches den Fall der konvexen reellwertigen Funktionen auf normierten Räumen behandelt. Es lässt sich folgendermaßen formulieren:

Ist darüber hinaus ein Banachraum, so sind sogar gleichwertig:

Literatur Bearbeiten

  • F. Bernstein und G. Doetsch: Zur Theorie der konvexen Funktionen. In: Mathematische Annalen. Band 76, 1915, S. 514–526, doi:10.1007/BF01458222 (MR1511840).
  • Maurice Fréchet: Pri la fukncia equacio f(x+y) = f(x) + f(y). In: Enseignement Math. Band 15, 1913, S. 390–393.
  • Maurice Fréchet: A propos d'un article sur l'équation fonctionelle f(x+y) = f(x) + f(y). In: Enseignement Math. Band 16, 1914, S. 136.
  • J. L. W. V. Jensen: Sur les fonctions convexes et les inégalités entre les valeurs moyennes. In: Acta Mathematica. Band 30, 1906, S. 175–193 (MR1555027).
  • Peter Kosmol: Optimierung und Approximation (= De Gruyter Studium). 2. Auflage. Walter de Gruyter & Co., Berlin 2010, ISBN 978-3-11-021814-5 (MR2599674).
  • Marek Kuczma: An Introduction to the Theory of Functional Equations and Inequalities. Cauchy's Equation and Jensen's Inequality. 2. Auflage. Birkhäuser Verlag, Basel 2009, ISBN 978-3-7643-8748-8 (MR2467621).
  • Wacław Sierpiński: Sur un problème concernant les ensembles mesurables superficiellement. In: Fundamenta Mathematicae. Band 1, 1920, S. 112–115 (->Weblink).
  • Wacław Sierpiński: Sur les fonctions convexes mesurables. In: Fundamenta Mathematicae. Band 1, 1920, S. 125–128 (->Weblink).

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. ↑ F. Bernstein, G. Doetsch: Zur Theorie der konvexen Funktionen. in: Math. Ann. 76, S. 514–526
  2. ↑ Marek Kuczma: An Introduction to the Theory of Functional Equations and Inequalities. 2009, S. 155 ff
  3. Bernstein/Doetsch, op. cit., S. 514
  4. Kuczma. op. cit., S. 158
  5. Kuczma. op. cit., S. 161–162
  6. ↑ Kuczma. op. cit., S. 241 ff
  7. W. Sierpiński: Sur un problème concernant les ensembles mesurables superficiellement . in: Fund. Math. 1, S. 112–115
  8. Sierpiński, op. cit., S. 125–128
  9. Peter Kosmol: Optimierung und Approximation. 2010, S. 328 ff., S. 331 ff.
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Der Satz von Bernstein Doetsch ist ein Lehrsatz des mathematischen Teilgebiets der Analysis der auf eine Arbeit der beiden Mathematiker Felix Bernstein und Gustav Doetsch aus dem Jahre 1915 zuruckgeht Der Satz gibt eine hinreichende Bedingung unter der gewisse konvexe Funktionen des euklidischen Raums bereits stetig sind 1 2 Inhaltsverzeichnis 1 Formulierung des Satzes 2 Historische Anmerkung 3 Folgerungen 4 Die Satze von Sierpinski und Frechet 5 Verwandtes Resultat fur normierte Raume 6 Literatur 7 EinzelnachweiseFormulierung des Satzes BearbeitenDer Satz von Bernstein Doetsch lasst sich angeben wie folgt 2 1 Sei W displaystyle Omega nbsp eine konvexe und zugleich offene Teilmenge des R n n N displaystyle mathbb R n n in mathbb N nbsp Sei f W R displaystyle f colon Omega to mathbb R nbsp eine Jensen konvexe Funktion also eine reellwertige Funktion welche der Bedingungf x y 2 f x f y 2 displaystyle f left frac x y 2 right leq frac f x f y 2 nbsp dd fur alle x y W displaystyle x y in Omega nbsp genugen moge Weiter gebe es mindestens einen Punkt x 0 W displaystyle x 0 in Omega nbsp derart dass fur eine offene Umgebung U x 0 W displaystyle U x 0 subseteq Omega nbsp die Einschrankung f U x 0 displaystyle f U x 0 nbsp nach oben beschrankt sei Dann gilt f displaystyle f nbsp ist in jedem Punkt von W displaystyle Omega nbsp stetig Historische Anmerkung BearbeitenJohan Ludwig Jensen hat schon im Jahre 1906 ein Vorlauferresultat zum Satz von Bernstein Doetsch geliefert indem er namlich zeigte dass der entsprechende Sachverhalt fur konvexe Funktionen auf offenen reellen Intervallen gilt 3 Folgerungen BearbeitenDer Satz von Bernstein Doetsch zieht unmittelbar das folgende Korollar nach sich 4 Eine auf einer offenen und konvexen Teilmenge des euklidischen Raums gegebene Jensen konvexe Funktion ist entweder stetig oder in jedem Punkt unstetig Daruber hinaus gewinnt man mit dem Satz von Bernstein Doetsch das folgende grundlegende Resultat welches der polnische Mathematiker Marek Kuczma in seiner bekannten Monographie An Introduction to the Theory of Functional Equations and Inequalities als The basic theorem betitelt Dieses besagt 5 Ist f W R displaystyle f colon Omega to mathbb R nbsp eine reellwertige Funktion fur eine konvexe offene Teilmenge W displaystyle Omega nbsp des R n n N displaystyle mathbb R n n in mathbb N nbsp so ist f displaystyle f nbsp sowohl Jensen konvex als auch stetig genau dann wenn fur je zwei Punkte x y W displaystyle x y in Omega nbsp und jede reelle Zahl l 0 1 displaystyle lambda in 0 1 nbsp stets die Ungleichungf l x 1 l y l f x 1 l f y displaystyle f left lambda x 1 lambda y right leq lambda f x 1 lambda f y nbsp dd erfullt ist Die Satze von Sierpinski und Frechet BearbeitenAuf den polnischen Mathematiker Waclaw Sierpinski geht ein Satz zuruck dessen Fragestellung der des Satzes von Bernstein Doetsch gleicht wenngleich dessen Beweis auf anderen Methoden beruht Er lautet 6 7 8 Gegeben seien eine konvexe offene Teilmenge W displaystyle Omega nbsp des R n n N displaystyle mathbb R n n in mathbb N nbsp und darauf eine Jensen konvexe Funktion f W R displaystyle f colon Omega to mathbb R nbsp Dann gilt Ist f displaystyle f nbsp messbar so ist f displaystyle f nbsp bereits stetig Der Satz von Sierpinski wiederum fuhrt unmittelbar zu einem Satz der fur den Fall der Dimension n 1 displaystyle n 1 nbsp schon von dem franzosischen Mathematiker Maurice Frechet im Jahre 1913 formuliert wurde 6 Jede messbare additive Funktion f R n R displaystyle f colon mathbb R n to mathbb R nbsp ist stetig Verwandtes Resultat fur normierte Raume BearbeitenZum Satz von Bernstein Doetsch gibt es ein verwandtes Resultat welches den Fall der konvexen reellwertigen Funktionen auf normierten Raumen behandelt Es lasst sich folgendermassen formulieren 9 Gegeben seien ein normierter R displaystyle mathbb R nbsp Vektorraum X displaystyle X nbsp und darin eine konvexe offene Teilmenge W X displaystyle Omega subseteq X nbsp sowie eine konvexe reellwertige Funktion f W R displaystyle f colon Omega to mathbb R nbsp Dann sind die folgenden Aussagen gleichwertig a f displaystyle f nbsp ist stetig b f displaystyle f nbsp ist oberhalbstetig c Es gibt eine nichtleere offene Teilmenge U 0 W displaystyle U 0 subseteq Omega nbsp derart dass f U 0 displaystyle f U 0 nbsp nach oben beschrankt ist d Es gibt mindestens einen Punkt x 0 W displaystyle x 0 in Omega nbsp in dem f displaystyle f nbsp stetig ist dd Ist X displaystyle X nbsp daruber hinaus ein Banachraum so sind sogar gleichwertig a f displaystyle f nbsp ist stetig b f displaystyle f nbsp ist oberhalbstetig c f displaystyle f nbsp ist unterhalbstetig dd Literatur BearbeitenF Bernstein und G Doetsch Zur Theorie der konvexen Funktionen In Mathematische Annalen Band 76 1915 S 514 526 doi 10 1007 BF01458222 MR1511840 Maurice Frechet Pri la fukncia equacio f x y f x f y In Enseignement Math Band 15 1913 S 390 393 Maurice Frechet A propos d un article sur l equation fonctionelle f x y f x f y In Enseignement Math Band 16 1914 S 136 J L W V Jensen Sur les fonctions convexes et les inegalites entre les valeurs moyennes In Acta Mathematica Band 30 1906 S 175 193 MR1555027 Peter Kosmol Optimierung und Approximation De Gruyter Studium 2 Auflage Walter de Gruyter amp Co Berlin 2010 ISBN 978 3 11 021814 5 MR2599674 Marek Kuczma An Introduction to the Theory of Functional Equations and Inequalities Cauchy s Equation and Jensen s Inequality 2 Auflage Birkhauser Verlag Basel 2009 ISBN 978 3 7643 8748 8 MR2467621 Waclaw Sierpinski Sur un probleme concernant les ensembles mesurables superficiellement In Fundamenta Mathematicae Band 1 1920 S 112 115 gt Weblink Waclaw Sierpinski Sur les fonctions convexes mesurables In Fundamenta Mathematicae Band 1 1920 S 125 128 gt Weblink Einzelnachweise Bearbeiten a b F Bernstein G Doetsch Zur Theorie der konvexen Funktionen in Math Ann 76 S 514 526 a b Marek Kuczma An Introduction to the Theory of Functional Equations and Inequalities 2009 S 155 ff Bernstein Doetsch op cit S 514 Kuczma op cit S 158 Kuczma op cit S 161 162 a b Kuczma op cit S 241 ff W Sierpinski Sur un probleme concernant les ensembles mesurables superficiellement in Fund Math 1 S 112 115 Sierpinski op cit S 125 128 Peter Kosmol Optimierung und Approximation 2010 S 328 ff S 331 ff Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Satz von Bernstein Doetsch amp oldid 199764172